Читать книгу Видатні наукові відкриття. Дитяча енциклопедія - Группа авторов - Страница 3

Люди почали рахувати задовго до того, як з’явилася писемність. Математичні знання використовувалися в далекому минулому для розв’язання повсякденних задач, і тому саме практика значною мірою керувала всім подальшим розвитком математики. Датський фізик Нільс Бор казав, що саме математика є чимось значно більшим, ніж просто наука, бо вона є мовою науки. І справді, математика стала для багатьох галузей знань не тільки знаряддям кількісного обрахунку, але ще й методом точного дослідження та засобом чіткого формулювання понять і проблем.

До періоду 30 тисяч років до нашої ери історики відносять перший документ, який свідчив про знайомство наших предків із зародками лічби. Це так звана «вестоницька кістка» з зарубками. У V–IV тисячолітті до нашої ери набув розвитку вимір затоплених площин, що свідчило про зародження геометрії. У шумерських клинописних табличках (ІІІ тис. до н. е.) почала застосовуватися десятково-шістдесяткова система числення. Водночас числова символіка поширилася в Єгипті і являла собою десяткову систему. Месопотамські математики вже приблизно вирахували число π ≈ 3,125. Вавилоняни склали таблиці обернених чисел (які використовувалися при виконанні ділення), таблиці квадратів і квадратних коренів, а також таблиці кубів і кубічних коренів. Вони також користувалися квадратичною формулою для розв’язання квадратних рівнянь і могли розв’язувати деякі спеціальні типи задач, які включали до десяти рівнянь із десятьма невідомими, а також окремі різновиди кубічних рівнянь і рівнянь четвертого степеня!

Найдавнішою математичною діяльністю була лічба. Вона була необхідною, щоб стежити за поголів’ям худоби й вести торгівлю. Деякі первісні племена підраховували кількість предметів, зіставляючи різні частини свого тіла, головним чином пальці рук і ніг. Наскельний малюнок, що зберігся до наших часів від кам’яного віку, зображує число 35 у вигляді серії вишикуваних у ряд 35 паличок-пальців. Першими істотними успіхами в арифметиці стали концептуалізація числа й винахід чотирьох основних дій: додавання, віднімання, множення й ділення. Перші досягнення геометрії пов’язані з такими простими поняттями, як пряма й коло. Подальший розвиток математики почався приблизно в 3000 році до нашої ери завдяки вавилонянам і єгиптянам.

Близько 700 року до нашої ери вавилоняни почали застосовувати математику для дослідження руху Місяця й планет. Це дало їм змогу завбачувати розташування планет, що було важливо як для астрології, так і для астрономії. У геометрії вавилоняни знали про такі співвідношення, як, наприклад, пропорційність відповідних сторін подібних трикутників. Їм була відома теорема Піфагора й те, що кут, уписаний у півколо, є прямим, а також правила обчислення площ простих плоских фігур, у тому числі правильних багатокутників і об’ємів простих тіл.

Хоч майя, які жили в Центральній Америці, і не мали впливу на розвиток математики, проте їхні досягнення, що належать приблизно до IV століття до нашої ери, заслуговують на увагу. Майя, очевидно, першими використовували спеціальний символ для позначення нуля у своїй двадцятковій системі. У них були дві системи числення: в одній застосовувалися ієрогліфи, а в другій, більш поширеній, крапка позначала одиницю, горизонтальна риска – число 5, а символ ока – нуль.

Аксіома – вихідне положення, яке приймається без логічних доведень, як незаперечне.

Але з точки зору ХХ століття родоначальниками математики були греки класичного періоду (VІ—ІV ст. до н. е.). Екстраординарним кроком стало твердження греків про те, що висновків можна дійти шляхом дедуктивного доведення. Жодна інша цивілізація не дійшла до ідеї одержувати їх винятково на основі дедуктивних міркувань, що виходять із сформульованих аксіом.

Дедуктивний характер грецької математики повністю сформувався в час Платона й Арістотеля. Відкриття дедуктивної математики приписують Фалесу Мілетському (бл. 640–546 рр. до н. е.), що, як і багато давньогрецьких математиків класичного періоду, був ще й філософом. Висловлювалося припущення, що Фалес використовував дедукцію для доведення деяких результатів у геометрії, хоча це сумнівно. Йому також належить одна з найдавніших теорем з геометрії: «Якщо паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки і на іншій його стороні».

Іншим великим греком був Піфагор (бл. 585–500 рр. до н. е.). Важко знайти людину, у якої ім’я Піфагора не асоціювалося б із однойменною теоремою. Усі, хто у шкільні роки вивчав математику, пам’ятають, що квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів довжин його катетів. Причина такої популярності теореми Піфагора зрозуміла: це її простота, краса і значущість. Справді, теорема Піфагора проста, але не очевидна. Вона має величезне значення і застосовується в геометрії на кожному кроці.

Фалес Мілетський

Існує близько п’ятисот різних доведень цієї теореми, що свідчить про гігантську кількість її конкретних реалізацій.

Майбутній великий математик і філософ Піфагор уже в дитинстві виявив неабиякі здібності до наук. У свого першого вчителя Гермодамаса він здобув знання з основ музики, живопису та літератури, а ще той прищепив юному Піфагору любов до природи і її таєм ниць. На острові Лесбос відбулося знайомство Піфагора з філософом Перекідом, який більш відомий як Фалес Мілетський. У нього Піфагор навчався астрології, віщуванню затемнень, таємницям чисел, медицині й іншим обов’язковим для того часу наукам. Побував Піфагор і у Фінікії, де, за переказами, переймав науку у відомих сідонских жерців.

Піфагор

Відповідно до стародавніх легенд, у вавилонському полоні Піфагор зустрічався з перськими магами, прилучився до східної астрології й містики, познайомився із вченням халдейських мудреців. Халдеї познайомили Піфагора зі знаннями, накопиченими східними народами протягом багатьох століть: астрономією й астрологією, медициною й арифметикою. Дванадцять років Піфагор перебував у полоні, поки його не звільнив перський цар Дарій Гістасп, що почув про уславленого грека. Піфагору на той час уже виповнилося шістдесят років. Він вирішив повернутися на батьківщину, щоб прилучити до накопичених знань свій народ, створивши у Кротоні власну філософську школу.

У школі Піфагора вперше було висловлено здогад про кулястість Землі. Слід також завважити, що вчений уявляв Землю кулею, що обертається навколо Сонця. Коли у XVI столітті церква почала переслідувати вчення Коперника, його ще вперто називали піфагорійським.

Цікаво, що теорема Піфагора була відома ще на початку ІІ тисячоліття до нашої ери в давньому Вавилоні. Одна з клинописних табличок містила 15 чисел, що відповідали цій теоремі. І в Китаї в ХІ столітті до нашої ери вже використовували «трикутник Піфагора» зі сторонами 3, 4 та 5.

Відкриття теореми Піфагором оточено ореолом красивих легенд. Прокл, коментуючи книгу Евкліда «Начала», пише: «Якщо послухати тих, хто любить повторювати давні легенди, то слід сказати, що ця теорема бере свій початок від Піфагора; розповідають, що він на честь цього відкриття приніс у жертву бика». Згодом один бик перетворився на сотню. Втім, у це важко повірити, бо ще Ціцерон казав, що будь-яке пролиття крові було ворожим уставу Піфагорійського ордена, але ця легенда міцно зрослася із теоремою Піфагора й через дві тисячі років ще й досі тривають палкі відгуки на неї.

Багато чого зробив учений і в геометрії. Саме у школі Піфагора геометрія вперше оформилася в самостійну наукову дисципліну. Піфагор та його учні першими стали вивчати геометрію системно – як теоретичне вчення про властивості абстрактних геометричних фігур, а не як збірник прикладних ілюстрацій в галузі до землеробства.

Найважливішою науковою заслугою Піфагора вважається те, що він системно ввів доведення в математику і, насамперед, у геометрію. Власне кажучи, тільки із цього моменту математика й починає існувати як наука. З народженням же математики зароджується й наука взагалі, бо «жодне людське дослідження не може називатися справжньою наукою, якщо воно не пройшло через математичні доведення», як казав Леонардо да Вінчі.

Графічне зображення теореми Піфагора

Отже, заслуга Піфагора й полягала в тому, що він, очевидно, першим прийшов до такої думки: геометрія, по-перше, повинна розглядати абстрактні ідеальні об’єкти і, по-друге, властивості цих ідеальних об’єктів мають встановлюватися не за допомогою вимірів з обмеженою кількістю об’єктів, а за допомогою міркувань, справедливих для нескінченної кількості об’єктів. Цей ланцюжок міркувань, що за допомогою законів логіки зводить неочевидні твердження до відомих або очевидних істин, і є математичним доведенням. Піфагор заснував школу, розквіт якої припадає на період близько 550–300 років до нашої ери. Піфагорійці створили чисту математику у формі теорії чисел і геометрії. Цілі числа вони подавали у ви гляді конфігурацій із крапок або камінчиків, класифікуючи ці числа відповідно до форми фігур («фігурні числа»), що виникали. До речі, слово «калькуляція» (розрахунок, обчислення) бере початок від грецького слова, що означає «камінчик». Числа 3, 6, 9 і т. д. піфагорійці називали трикутними, бо відповідну кількість камінчиків можна розташувати у вигляді трикутника, числа 4, 8, 16 і т. д. – квадратними, оскільки відповідну кількість камінчиків можна розташувати у вигляді квадрата, тощо.

Коли Піфагор зробив необхідні обчислення своєї теореми, він одержав дивний результат: співвідношення діагоналі квадрата до його сторони не може дорівнювати ніякому дробу! Піфагор був вражений. Виходить, навіть серед ідеальних тіл геометрії не існує повної гармонії! Він вирішив, що цей факт слід приховати від невігласів до тих пір, поки знавці до кінця збагнуть гармонію математичного світу! Так і було зроблено. Тому вчення Піфагора не відбилося ні в якій книзі, а передавалося з вуст у вуста – з суворою забороною говорити відверто з чужинцями.

Із простих геометричних конфігурацій виникали певні властивості цілих чисел. Наприклад, піфагорійці відкрили, що сума двох послідовних трикутних чисел завжди дорівнює певному квадратному числу. Вони відкрили, що якщо (у сучасних позначеннях) п² – квадратне число, то n² + 2n +1 = (η + 1)·2. Число, рівне сумі всіх своїх власних дільників, крім самого цього числа, піфагорійці називали досконалим числом. Прикладами досконалих чисел можуть бути такі цілі числа, як 6, 28 і 496. Два числа піфагорійці називали дружніми, якщо кожне із чисел дорівнює сумі дільників іншого; наприклад, 220 і 284 – дружні числа (і тут саме число виключається із власних дільників).

Стародавні греки розв’язували рівняння з невідомими за допомогою геометричних побудов. Були розроблені спеціальні побудови для виконання додавання, віднімання, множення й поділу відрізків, добування квадратного кореня із довжин відрізків; нині цей метод називається геометричною алгеброю.

Приведення задач до геометричного вигляду мало ряд важливих наслідків. Зокрема, числа стали розглядатися окремо від геометрії, оскільки працювати з несумірними співвідношеннями можна було тільки за допомогою геометричних методів. Геометрія стала основою майже всієї строгої математики принаймні до 1600 року. І навіть в XVIII столітті, коли вже були досить розвинені алгебра й математичний аналіз, строга математика трактувалася як геометрія, і слово «геометр» було рівнозначне слову «математик».

Саме піфагорійцям ми багато в чому завдячуємо тією математикою, що потім була систематизовано викладена й доведена в «Началах» Евкліда. Є підстави думати, що саме вони відкрили те, що нині відомо як теореми про трикутники, паралельні прямі, багатокутники, кола, сфери і правильні багатогранники.

Одним із найвидатніших піфагорійців став Арістокл (бл. 427–347 рр. до н. е.), який був учнем Сократа і дістав прізвисько Широкоплечий, тобто Платон, під яким і ввійшов в історію. Платон був переконаний, що фізичний світ можна збагнути лише за допомогою математики. Вважають, що саме йому належить заслуга винаходу аналітичного методу доведення. (Аналітичний метод починається із твердження, яке потрібно довести, і потім з нього послідовно виводяться наслідки доти, доки не буде доведене якесь незаперечне твердженя.) Гадають, що послідовники Платона винайшли метод доведення, який дістав назву «доведення від зворотного».

У 387 році до нашої ери Платон заснував Академію – перший загальнодоступний університет Європи, що діяв понад вісім століть – до 529 року нашої ери. Свою назву ця школа дістала від імені давнього героя Академа. Йому був присвячений гай, у якому прогулювалися учні Платона, ведучи нескінченні диспути про все на світі. Вимога до учасників цих диспутів була одна: добре знання геометрії. Хто її засвоїв – той зможе осягти все, що йому заманеться, бо геометрія править усім світом! При цьому сам Платон, здається, не зробив великих відкриттів у математиці: основні теореми геометрії були вже відомі, а диспути вирували навколо їхнього осмислення. Так, вони дискутували над ідеєю Зенона, що шляхом послідовного поділу навпіл можна як завгодно точно встановити довжину будь-якого відрізка – навіть діагоналі квадрата, що непорівнянна з його стороною. Цікаво: чи можна таким шляхом довідатися точну довжину кола й площу круга?

Платон

З цією задачею учні Платона не впоралися. Вони не змогли побудувати циркулем і лінійкою ні відрізок із довжиною, що дорівнював би довжині даного кола, ні квадрат із площею, який би дорівнював площі даного кола. Так проблема «квадратури кола» ввійшла до класичних задач давнього світу – поряд з подвоєнням куба й трисекцією кута.

У середині IV століття до нашої ери нащадки Платона піднялися на вершину класичної геометрії, водночас досягнувши меж цієї науки. Після цього школа Платона розділилася. Одні вихованці Академії взялися порядкувати в уже освоєному світі планіметрії й стереометрії; інші намагалися вийти за його межі за допомогою нових методів роботи.

Арiстотель

Помітне місце в історії математики посідає Арістотель із Стагіри (384–322 рр. до н. е.) – найупертіший і найнеслухняніший з учнів Платона. Після смерті вчителя він заснував в Афінах свою школу – Лікей. Пізніше Арістотель виїхав у Македонію, де став учителем царевича Александра – майбутнього завойовника Еллади й східних країн. Арістотель вважав, що головні відкриття в геометрії вже зроблені. Настав час переносити її методи в інші науки: фізику й зоологію, ботаніку й політику. Але найважливіше знаряддя геометрії – це логічний метод міркувань, що веде до вірних висновків з будь-яких вірних передумов. Цей метод Арістотель виклав у книзі «Органон»; нині її називають початком математичної логіки. Арістотель заклав основи науки логіки й висловив низку ідей щодо визначень, аксіом, нескінченності й можливості геометричних побудов.

Євдокс

Найбільшим із грецьких математиків класичного періоду, що поступалися за значущістю отриманих результатів тільки Архімедові, був Євдокс (бл. 408–355 рр. до н. е.). Саме він увів поняття величини для таких об’єктів, як відрізки прямих і кути. Маючи у своєму розпорядженні поняття величини, Євдокс логічно строго обгрунтував піфагорійський метод дій з ірраціональними числами. В галузях математики він перевершив навіть Піфагора, створивши першу теорію ірраціональних чисел.

Нині здається дивним, що Євдокс не розвинув теорію чисел у більш простому напрямку. Адже він фактично відкрив числовий промінь. Чому він не відкрив числову пряму, ввівши нуль і від'ємні числа? Напевно, Євдокс потрапив у полон до вигаданого ним самим визначення: числа суть довжини відрізків. Що таке відрізок довжини (-2)? Чим він відрізняється від відрізка довжини 2? На таке питання у Євдокса не було відповіді. Інша річ, коли б від'ємні числа вже були б задіяні математиками Еллади. Наприклад, таке число може позначати борг купця – якщо позитивне число зображує його майно. Тоді майно жебрака доведеться зобразити нулем! Таке «купецьке» подання про числа склалося десь на Близькому Сході через п'ять-шість століть після відкриття Євдокса…

Праці Євдокса дали змогу встановити дедуктивну структуру математики на основі чітко сформульованих аксіом. Йому ж належить і перший крок у створенні математичного аналізу, оскільки саме він винайшов метод обчислення площ і об’ємів, що дістав назву «методу вичерпування». Цей метод полягає в побудові вписаних і описаних пласких фігур або просторових тіл, які заповнюють («вичерпують») площу або об’єм тієї фігури чи того тіла, що є предметом дослідження. Євдоксу ж належить і перша астрономічна теорія, яка пояснює рух планет. Запропонована Євдоксом теорія була суто математичною; вона показувала, яким чином комбінації обертових сфер з різними радіусами й вісями обертання можуть пояснити нерегулярні рухи Сонця, Місяця й планет.

Близько 300 року до нашої ери досвід багатьох грецьких математиків був зведений в одне ціле Евклідом, що написав математичний шедевр «Начала». З деяких інтуїтивно відібраних аксіом Евклід вивів близько 500 теорем, що охопили всі найважливіші результати класичного періоду. Свій твір Евклід почав з визначення таких термінів, як пряма, кут і коло. Потім він сформулював десять самоочевидних істин, таких як «ціле більше кожної із частин». І із цих десяти аксіом Евклід зміг вивести всі теореми. Для математиків текст евклідових «Начал» тривалий час був зразком чіткості. Знаменита книга «Начал» є першою й найкращою енциклопедією елементарної математики. Двадцять століть геометрію вивчали саме за цією книгою, перш ніж у неї з’явилися гідні суперниці – праці Гаусса і Лобачевського, Больяя й Ріманна. Та все одно геометрія, що її вивчають у школі, називається іменем видатного вченого – евклідовою.

Цікаво, що Евклід у своїй енциклопедії описав лише дві різні лінії – пряму та коло. Але в його епоху вже були відомі еліпс, парабола й гіпербола. Сам Евклід вивчав ці криві, навіть написав про них окрему книгу (яка не збереглася, але стала основою для подібної книги Аполлонія). Чому він жодим словом не згадав про нові криві в «Началах»? Мабуть, тому, що Евклід і його сучасники не знали про ці лінії всього, що їм хотілося знати. Наприклад, як обчислити площу, обмежену еліпсом або параболою? Як провести дотичну до еліпса або гіперболи в даній точці? Це зумів зробити тільки Архімед – через піввіку після Евкліда. Автор «Начал» цього не зумів – і вирішив за краще промовчати про складні криві, щоб не бентежити уми новачків-геометрів необгрунтованими міркуваннями. Напевно, Евклід мав рацію: так само роблять автори сучасних підручників.

Евклід

Інакше стояла справа з арифметикою: тут Евклід сам був першовідкривачем. Але прикро те, що в еллінів не було вдалої системи позначень навіть для натуральних чисел. Замість цифр греки користувалися буквами; позиційної системи для запису більших чисел вони не знали. Тому навіть звичайна (для нас) таблиця множення мала в Елладі вигляд досить грубого сувою. А працювати із числами, коли вони зображені буквами, дуже непросто! Цим займається особлива наука – алгебра; сучасники Евкліда про неї не підозрювали.

В арифметиці Евклід зробив три значних відкриття.

• По-перше, він сформулював (без доведення) теорему про ділення з залишком.

• По-друге, він створив «алгоритм Евкліда» – швидкий спосіб знаходження найбільшого загального дільника чисел або загальної міри відрізків (якщо вони порівнянні).

• По-третє, Евклід перший почав вивчати властивості простих чисел і довів, що їхня множина нескінченна.

Загальні властивості фігур, які багаторазово використовуються в міркуваннях і не виводяться зі складніших тверджень, Евклід назвав аксіомами. Наприклад: «Всі прямі кути рівні між собою». Крім аксіом, Евклід увів постулати – це твердження про властивості основних геометричних конструкцій. Наприклад: «Через дві точки проходить лише одна пряма», або «Через точку поза прямою на площині проходить лише одна пряма, що не перетинає цю пряму». Це останнє твердження про паралельність прямих на площині називають п’ятим постулатом Евкліда.

Одна з легенд розповідає, що цар Птолемей вирішив вивчити геометрію. Але з’ясувалося, що зробити це не так просто. Тоді він покликав Евкліда й попросив визначити йому легкий шлях до математики. «До геометрії немає царської дороги», – відповів йому вчений. Так у вигляді легенди дійшов до нас цей крилатий вислів.

Кульмінацією розвитку грецької геометрії стала основна праця Аполлонія (бл. 262–200 рр. до н. е.), яка була витримана в дусі класичних традицій. Він запропонував аналіз конічних перетинів – кола, еліпса, параболи й гіперболи. Аполлоній також став засновником кількісної математичної астрономії.