Читать книгу Видатні наукові відкриття. Дитяча енциклопедія - Группа авторов - Страница 7

Так математики й фізики називають останню третину XVII століття й першу чверть XVIII століття – той час, коли був створений сучасний математичний аналіз (обчислення похідних та інтегралів від будь-яких гладких функцій). Цю величезну роботу здійснила велика група вчених з різних країн Європи. Але англієць Ісаак Ньютон (1643–1727) посідає серед них особливе місце. Він був надзвичайно талановитий, йому багато в чому пощастило, і він блискуче скористався цим.

Ньютон дійсно вніс у науку стільки нового, скільки внесли Евклід і Архімед, разом узяті. Або Гільберт і Архімед – теж узяті разом. Але Ньютон придумав все це один – і за лічені роки! Втім, сам Ньютон не вважав себе одинаком у науці. Ось його слова: «Якщо я бачив далі, ніж інші, це тому, що стояв на плечах гігантів». Але, звичайно, не тільки тому! Ньютон сам був гігантом; його постать помітно піднімається над плечима Декарта, Кеплера й Галілея. Адже Ньютон винайшов першу систему аксіом математичної фізики: це рівнозначно досягненням Евкліда в геометрії. Він створив також математичний аналіз гладких функцій: це можна порівняти з винаходом планіметрії або алгебри. Для таких успіхів треба бути не тільки генієм, але ще треба й вчасно народитися.

Ісаак Ньютон

Наукову революцію почав Декарт і продовжив Ньютон. Він перший зрозумів, що будь-яку функцію з гладким графіком слід подати у вигляді степеневого ряду, тобто у вигляді нескінченно довгого багаточлена із числовими коефіцієнтами!

Ще в студентські роки Ньютон відкрив біноміальне розкладання для якого завгодно цілого додатного показника. Молодий учений відразу ж знайшов застосування своєму відкриттю: записав ряди для відображення сегмента й сектора кола, синуса, арксинуса, логарифмічної функції. За допомогою рядів Ньютон міг тепер вивчати властивості функцій, робити наближені обчислення. Слід зазначити, що в алгебрі ряди були не менш важливі, ніж десяткові дроби в арифметиці.

За допомогою степеневих рядів неважко обчислити похідну або інтеграл від будь-якої функції. Володіючи цими двома діями у світі функцій, можна розв’язати будь-яке диференціальне рівняння – тобто зрозуміти будь-який процес у фізичному світі. Кожен крок Ньютона на цьому шляху породжував нову теорему або виявляв новий закон природи, що відразу потрапляли в підручники. Наприклад, операції диференціювання й інтегрування функцій виявилися взаємно зворотними. Нині цей факт називають теоремою Ньютона – Лейбніца (німецький учений відкрив її незалежно від англійця), яку постійно використовують при складанні таблиць інтегралів. Без цієї теореми життя студентівпершокурсників було б набагато важче!

Наукову діяльність Ньютона можна поділити на три періоди. В 1665–1667 роках він натхненно працював, відкриваючи основні закони природи й математики. Вже в 27 років професор Ньютон став визнаним «королем математиків і фізиків». Наступні 20 років він присвятив строгому доведенню відкритих ним законів, розрахунку найважливіших задач (включаючи рух Місяця й планет) і написанню своєї головної книги: «Математичні принципи філософії природи». В останні 40 років життя Ньютон мало займався наукою: він лише публікував раніше підготовлені ним книги, часом відволікаючись на розв’язування особливо важкої й цікавої задачі за допомогою математичного аналізу.

Розробка диференціального й інтегрального числень стала важливим етапом у розвитку математики. Велике значення мали роботи Ньютона з алгебри, інтерполяції й геометрії. Завдяки йому алгебра остаточно звільнилася від геометричної форми; і його визначення числа не як зібрання одиниць, а як відношення довжини будь-якого відрізка до довжини відрізка, прийнятого за одиницю, стало важливим етапом у розвитку вчення про дійсне число.

Ньютон створив свій метод, опираючись на колишні відкриття, зроблені ним у галузі аналізу, але в найголовнішому питанні він звернувся по допомогу до геометрії й механіки.

Коли саме Ньютон відкрив свій новий метод, достеменно невідомо. Зважаючи на тісний зв’язок цього способу з теорією тяжіння, можна припустити, що це відбулось між 1666 і 1669 роками, але в усякому разі раніше перших відкриттів, зроблених у цій галузі Лейбніцем. Математику Ньютон вважав основним інструментом фізичних досліджень і розробляв її для численних подальших додатків. Після тривалих міркувань він дійшов до обчислення нескінченно малих на основі концепції руху; математика для нього не була абстрактним продуктом людського розуму. Він вважав, що геометричні образи – лінії, поверхні, тіла – утворюються внаслідок руху: лінія – при русі точки, поверхня – при русі лінії, тіло – при русі поверхні. Ці рухи здійснюються в часі, і за будь-який малий час точка, наприклад, пройде будь-який малий шлях. Для визначення миттєвої швидкості, швидкості в даний момент, необхідно знайти відношення приросту шляху (за сучасною термінологією) до приросту часу, а потім – границі цього відношення, тобто взяти «останнє відношення», коли приріст часу прагне до нуля. Так Ньютон увів відшукання «останніх відношень», похідних, які він називав флюксіями.

Використання теореми про взаємну оборотність операцій диференціювання й інтегрування, про яку було відомо ще Барроу, і знання похідних багатьох функцій дало Ньютонові можливість одержати інтеграли (за його термінологією, флюєнти). Якщо інтеграли безпосередньо не обчислювалися, Ньютон розкладав підінтегральну функцію в степеневий ряд і інтегрував його почленно. Для розкладання функцій у ряди він найчастіше користувався відкритим ним розкладанням бінома, застосовував і елементарні методи.

Новий математичний апарат був апробований ученим у головній праці його життя – «Математичних початках натуральної філософії». У той період Ньютон вже вільно володів диференціюванням, інтегруванням, розкладанням у ряд, інтегруванням диференціальних рівнянь, інтерполяцією.

Свої відкриття Ньютон зробив раніше за Лейбніца, але вчасно не опублікував їх, бо всі його математичні твори були видані після того, як він став знаменитим. У 1666 році він підготував рукопис «Наступні пропозиції достатні, щоб розв’язувати задачі за допомогою руху», що містить основні відкриття з математики. Рукопис залишався в чорновому варіанті й був опублікований тільки через триста років.

У книзі «Аналіз за допомогою рівнянь із нескінченною кількістю членів», написаній у 1665 році, Ньютон виклав результати своєї праці про нескінченно малі ряди, у додатку рядів до розв’язання рівнянь. У 1670–1671 роках Ньютон підготував до видання більш повну роботу – «Метод флюксій і нескінченних рядів», де його вчення подається як система: розглядається обчислення флюксій, додаток їх до визначення дотичних, знаходження екстремумів, кривизни, обчислення квадратур, розв’язування рівнянь із флюксіями, що відповідає сучасним диференціальним рівнянням. Ця праця була опублікована тільки в 1736 році, вже після смерті автора.

Метод Ньютона – Лейбніца починається із заміни кривої, що обмежує площу, яку потрібно визначити послідовністю ламаних, аналогічно тому, як це робилося у винайденому греками методі вичерпування. Точна площа дорівнює границі суми площ п прямокутників, коли п наближується до нескінченності. Ньютон показав, що цю межу можна знайти, обертаючи процес знаходження швидкості зміни функції. Операція, зворотна диференціюванню, називається інтегруван ням. Твердження про те, що підсумовування можна здійс нити, обертаючи ди ференціювання, називається основною теоремою математичного аналізу. Подібно до того, як диференціювання застосоване до набагато ширшого класу задач, ніж пошук швидкостей і прискорень, інтегрування застосовується до будь-якої задачі, пов’язаної з підсумовуванням, наприклад, до фізичних задач на додавання сил.

У листі, написаному в червні 1677 року, Лейбніц прямо розкривав Ньютонові свій метод диференціального числення, але той не відповів. Ньютон вважав, що відкриття належить йому навічно, і при цьому досить того, що воно було заховане лише в його голові. Учений щиро вважав: своєчасна публікація не дає ніяких прав. Перед Богом першовідкривачем завжди залишиться той, хто відкрив першим.

Протягом тривалого часу Ньютон навіть і не підозрював, що на континенті досить успішно досліджує подібну проблему Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646–1716). Він, як і Ньютон, був вундеркіндом: ще у вісім років він самостійно вивчив латину, а ще через два роки – давньогрецьку мову. А нині багато хто називає Лейбніца останнім ученим епохи Відродження, або першим ученим епохи Просвітительства. Те й те вірно. Перше – тому, що до наших днів ще в жодної людини не було поєднання такого яскравого математичного таланту з широтою гуманітарних схильностей. Щодо цього Лейбніца можна зрівняти з Арістотелем, Леонардо да Вінчі або Рене Декартом. Інше звання Лейбніца також виправдане, адже він став першим академіком двох найвизначніших наукових співдружностей Європи: Лондонського Королівського Товариства й Паризької Академії наук. А пізніше Лейбніц виявився засновником ще двох академій. В 1700 році він став президентом і організатором Прусської Академії наук у Берліні. До Петербурга він не дістався, але, на прохання Петра І, встиг скласти проект Російської Академії наук, що була заснована в 1725 році – вже після смерті її ініціаторів.

Ще в 1676 році Лейбніц заклав перші підвалини великого математичного методу, відомого за назвою «диференціальне числення». Факти досить переконливо доводять, що Лейбніц хоча й не знав про ньютонівський метод флюксій, але був підведений до його відкриття листами великого вченого. З іншого боку, нема ніякого сумніву, що відкриття Лейбніца за рівнем сприйняття, за зручністю позначень й докладною розробкою методу стало знаряддям аналізу значно могутнішим й популярнішим за ньютонівське. Навіть співвітчизники Ньютона, що довгий час із національного самолюбства надавали перевагу методу флюксій, помалу засвоїли більш зручні позначення Лейбніца. Стосовно ж німців і французів, то вони взагалі мало звернули уваги на спосіб Ньютона.

Готфрід Вiльгельм Лейбніц

«Лейбніц, на противагу конкретному, емпіричному, обачному Ньютону, – пише один з біографів Ньютона В. П. Карцев, – був в галузі числень великим систематиком, зухвалим новатором. Він з юності мріяв створити символічну мову, знаки якої відбивали б цілі зчеплення думок, давали б вичерпну характеристику явища. Цей амбіційний і нереальний проект був, звичайно, нездійсненний; але він, видозмінившись, перетворився на універсальну систему позначень обчислювання малих, якою ми користуємося дотепер».

Математичний метод Лейбніца перебуває в найтіснішому зв’язку з його пізнішим вченням про монади – нескінченно малі елементи, з яких він намагався побудувати Всесвіт. Математична аналогія, застосування теорії найбільших і найменших величин до моральної сфери дали Лейбніцу те, що він уважав провідною ниткою в моральній філософії.

Хоча політична діяльність Лейбніца (він був дипломатом) значною мірою відволікала його від занять математикою, весь свій вільний час він присвячував обробці винайденого ним диференціального числення й у проміжок часу між 1677 і 1684 роками встиг створити нову галузь математики.

У 1684 році Лейбніц надрукував у журналі «Праці вчених» систематичний виклад початків диференціального числення. Усі опубліковані ним трактати, особливо останній, що з’явився майже на три роки раніше першого видання «Начал» Ньютона, надали науці такого величезного поштовху, що за тих часів важко навіть було оцінити все значення реформи, яку здійснив Лейбніц у галузі математики. Те, про що кращі французькі й англійські математики, окрім Ньютона, що володів своїм методом флексій, мали лише невиразне уявлення, стало раптом ясним, виразним і загальнодоступним, чого не можна сказати про геніальний метод Ньютона. Лейбніц бачив у своїх диференціалах і інтегралах загальний метод, тому свідомо дійшов до створення твердого алгоритму спрощеного розв’язання задач, що не розв’язувалися раніше.

У поширенні методів математичного аналізу серед математиків Європи головну роль відіграв не Ньютон, а його однодумці: голландець Хрістіан Гюйгенс (Гейгенс) і Готфрід Лейбніц. Обидва вони поступалися Ньютонові у «пробивній силі» при розв’язуванні важких задач; але вони не поступалися йому в науковій фантазії й перевершували в майстерності. Саме Лейбніц склав першу таблицю похідних та інтегралів від елементарних функцій. Тому найсильніші математики наступного покоління – брати Бернуллі й Лопіталь – вивчали свою науку за статтями Лейбніца, а не за книгами Ньютона.

Лейбніц був дуже різнобічним ученим. Крім «безперервної» математики функцій і похідних, він дуже цікавився «дискретною» математикою. Почавши з винаходу вдалого арифмометра, Лейбніц невдовзі помітив особливу зручність двійкової системи числення для математичних машин. Він також розвив математичну логіку, перейшовши від словесних міркувань (силогізмів) Арістотеля до алгебричного обчислювання логічних висловлювань. Про це ще в XIV столітті мріяв Раймонд Луллій. Розвиваючи його ідеї, Лейбніц замислився над повною формалізацією людського мислення, над створенням «розумних машин». У своїх сподіваннях Лейбніц помилився – але щоб виявити його помилку, математикам ХХ століття довелося побудувати електронні комп’ютери та зрівняти їхню роботу з діяльністю людського мозку.

Хрістіан Гюйгенс

А Хрістіан Гюйгенс (1629–1695) мав чудове чуття в галузі математичної фізики: ним захоплювався навіть Ньютон, який жодного не вважав рівним собі за талантом. Тому в математичній оптиці Гюйгенс зумів перевершити і Ферма, і Ньютона. Він запропонував хвильову теорію світла, що більш вдало описувала природні явища (дифракцію й інтерференцію), ніж корпускулярна теорія Ньютона. У рамках своєї теорії Гюйгенс зробив чудове відкриття: кожна точка, збуджена хвилею, що проминає, сама стає джерелом таких самих хвиль. Цей принцип Гюйгенса й давній принцип Ферма (про рух світла по траєкторії найменшого часу) у ХХ столітті склали основу квантової фізики, злившись у єдиний принцип Фейнмана.

Але для побудови повної математичної теорії світла Гюйгенсу забракло багатьох експериментальних результатів і ще однієї галузі математичного аналізу – теорії функцій комплексного змінного. Її відкрив Леонард Ейлер – найславетніший математик XVIII століття.