Читать книгу Sobre las líneas indivisibles. Mecánica. Óptica. caóptrica. Fenómenos. - Aristoteles - Страница 10

¿Existen acaso las líneas indivisibles y hay en todas las [968a] magnitudes, en general, algo sin partes, como afirman algunos?

I. Pues ¹ si se da semejantemente lo «mucho» y lo «grande» y los opuestos de éstos, lo «poco» y lo «pequeño» y, [5] por otra parte, lo que tiene divisiones casi infinitas no es «poco», sino «mucho», es evidente que lo «poco» y lo «pequeño» tendrán divisiones finitas. Y si sus divisiones son finitas, es necesario que exista una magnitud sin partes, de modo que en todas las magnitudes habrá alguna sin partes, puesto que en todas hay lo «poco» y lo «pequeño».

II. Además, si existe la idea de «línea» y la idea es la [10] primera de las de su nombre y las partes son previas al todo por su naturaleza, esta línea ² sería indivisible, de la misma manera que el cuadrado y el triángulo y las demás figuras y, en general, el propio plano y el cuerpo ³ . Pues ocurrirá que aquéllas son previas a éstas.

III. Además, si existen los elementos de un cuerpo y no [15] hay nada previo a los elementos, y las partes son previas al todo, el fuego sería indivisible y, en general, lo sería cada uno de los elementos del cuerpo, de manera que existe algo sin partes no sólo en los inteligibles sino también en los sensibles.

IV. Además, por otro lado, según el argumento de Zenón, [20] es necesario que exista una magnitud sin partes, si es que es imposible en un tiempo finito tocar un número infinito de cosas tocadas una por una; y es necesario que lo que se mueve llegue primero a la mitad; y de lo que tiene partes [25] sin duda existe la mitad. En ese caso, si lo que es transportado sobre la línea también toca un número infinito de cosas en un tiempo finito y lo más rápido también consigue más en el mismo tiempo y el movimiento del pensamiento es el más rápido, entonces el pensamiento tocaría una por una un [968b] número infinito de cosas en un tiempo finito; de esa manera, si tocar las cosas una por una el pensamiento es contar, se admite como posible contar lo infinito en un tiempo finito: y si esto es imposible, existiría una línea indivisible ⁴ .

[5] V. Además, también a partir de lo que afirman los que se ocupan de las matemáticas existiría una línea indivisible, según dicen; si «conmensurables» son las que se miden con la misma medida ⁵ , son conmensurables todas cuantas son medidas, pues existiría una longitud con la que todas son medidas. Y esa longitud por fuerza ha de ser indivisible, [10] pues si fuera divisible también sus partes tendrían una medida, pues son conmensurables con el todo. De manera que su mitad sería el doble de una parte. Pero puesto que esto es imposible, sería una medida indivisible.

Así, se componen de elementos sin partes tanto las líneas medidas una sola vez por esta medida como todas las líneas compuestas de la medida. Lo mismo ocurrirá en el [15] caso de las figuras planas. Todas las compuestas por rectas racionales ⁶ serán conmensurables entre sí, de manera que la medida de éstas carecerá de partes. Pero si una medida va a ser cortada de acuerdo con una línea fijada y determinada, esa línea no será ni racional ni irracional —ni ninguna de [20] aquéllas de las que se ha venido hablando ⁷ , como la apótoma o la binomial ⁸ — sino que ni siquiera por sí mismas tendrán características naturales; por el contrario, serán entre sí racionales e irracionales.

I. Ahora bien ⁹ , en primer lugar, no es preciso que lo que admite divisiones infinitas no pueda ser «pequeño» y «poco». Y es que llamamos «pequeño» al espacio, a la magnitud [25] y, en general, a lo continuo —incluso en los casos en los que conviene el calificativo «poco»— y sin embargo decimos que tienen infinitas divisiones.

Además, si hay líneas indivisibles en la longitud compuesta, [969a] «pequeño» se dice en relación con ésas indivisibles, y en ellas hay infinitos puntos. En tanto que línea, admite una división por un punto, y de la misma manera por cualquier otro punto. Por tanto, cualquier línea que no fuera indivisible tendría infinitas divisiones. Algunas de éstas son pequeñas. Y las razones ¹⁰ son infinitas y es posible cortar cualquier recta que no sea indivisible según la razón dada. [5]

Además, si lo «grande» se compone de varias cosas pequeñas, o bien «grande» no significará nada o bien «grande» consistirá en tener divisiones finitas; pues de manera semejante lo «entero» tiene las divisiones de sus partes. Pero es irracional que lo «pequeño» tenga divisiones finitas y lo «grande» infinitas: eso opinan. [10]

De modo que es evidente que no se les llamaría «grande» y «pequeño» por la razón de tener divisiones finitas o infinitas. Y si alguien creyera que porque en los números lo «poco» tiene divisiones finitas, también las tendrá ¹¹ en las líneas lo «pequeño», es que es tonto. Pues en aquel caso ¹² el origen procede de cosas sin partes y existe algo que es el [15] principio de los números; y todo lo que no es infinito tiene divisiones finitas. Pero en el caso de las magnitudes no es lo mismo.

II. Por otro lado, los que proponen que las líneas indivisibles están en las Ideas toman quizás como axioma de lo precedente el argumento menos valioso, a saber: suponer que existen Ideas de estas cosas; y, en cierto modo, invalidan [20] el razonamiento mediante aquello que demuestran. Y es que por estos razonamientos se invalidan las Ideas.

III. A la vez, es estúpido considerar que lo que no tiene partes se cuenta entre los elementos corpóreos. Aunque algunos demuestren que es así, toman como argumento para la investigación propuesta lo mismo que tomaron como principio. Y sobre todo, que cuanto más parece que usan el [25] principio, tanto más parece que el cuerpo y la longitud son divisibles en volúmenes y en longitudes.

IV. Y el razonamiento de Zenón no prueba que en un tiempo finito lo movido toque infinitas cosas así, en este [30] sentido. Pues «infinito» y «finito» se dicen del tiempo y de la longitud, y tienen las mismas divisiones.

Y a la vez, el que el pensamiento toque una por una las infinitas cosas no es contar, si es que alguien cree que el pensamiento toca así las infinitas cosas, lo cual es tal vez imposible, pues el movimiento del pensamiento no transcurre, [969b] como el de las cosas movidas, entre sujetos continuos.

Y si, en efecto, cabe que se mueva así, eso no es contar, pues contar va acompañado de pausas. Pero quizá sea irracional que presten sumisión a su debilidad quienes no han [5] tenido fuerza para resolver el razonamiento y se engañen a sí mismos con engaños mayores reforzando su incapacidad.

V. En lo relativo a las líneas conmensurables, lo de que todas son medidas por una cierta y única medida es un argumento completamente sofístico y en completo desacuerdo con las hipótesis matemáticas, que ni plantean esa hipótesis [10] ni les es útil. A la vez, incluso es contradictorio pensar que cualquier recta es conmensurable y que existe una medida común a todas las conmensurables.

De manera que es ridículo, tras decir que se va a demostrar las opiniones de aquéllos ¹³ y aquello sobre lo que las fundan, inclinar el discurso a lo erístico y a lo sofístico y [15] eso tan débilmente. Pues es débil en muchos sentidos para escapar plenamente a las paradojas y a las refutaciones ¹⁴ .

Además, sería irracional, de un lado, que por causa del argumento de Zenón que establece que algunas líneas son indivisibles nos desviemos del razonamiento correcto por no poder argüir en contra. Y por otro lado es fácil dejarse persuadir por el argumento del movimiento de la recta que genera un semicírculo, que es necesario si es que alcanza los [20] puntos infinitos que hay entre los arcos y los radios; y lo mismo cuando genera un círculo, porque por fuerza ha de moverse de un punto a otro si se mueve por el semicírculo; y por los restantes teoremas que se han estudiado en relación con las líneas, que no es posible admitir que exista un movimiento semejante si no cae primero sobre cada uno de [25] los puntos intermedios ¹⁵ . Pues estos argumentos son más aceptados que el primero ¹⁶ .

De manera que a partir de los razonamientos expuestos es evidente que no es necesario que existan rectas indivisibles, ni creíble. Y a partir de los que siguen será aún más [30] evidente. Primero, por lo demostrado y propuesto en los tratados matemáticos, que lo justo es o bien mantenerlo o bien rechazarlo mediante argumentos más convincentes ¹⁷ .

I. Y es que ni la definición de «línea» ni la de «recta» concordarán con la de «indivisible», puesto que ni está entre nada ni tiene medio ¹⁸ .

[970a] II. Además, todas las líneas serán conmensurables, pues todas serán medidas por las indivisibles, tanto las conmensurables en longitud como las conmensurables en cuadrado ¹⁹ . Y las indivisibles serán todas conmensurables en longitud, puesto que son iguales; de manera que también serán conmensurables en cuadrado. Y si es así, el cuadrado será siempre racional ²⁰ .

[5] III. Además, si la recta aplicada a la mayor produce determinada anchura, el 〈paralelogramo〉 igual al cuadrado de la indivisible —tómese como tal una recta de un pie de largo ²¹ — aplicado al doble de esa recta, producirá una anchura menor que la indivisible; luego esa anchura será menor que la indivisible ²² .

IV. Además, si un triángulo se compone de tres rectas dadas ²³ , también se compondrá de indivisibles. Pero en todo [10] equilátero la perpendicular ²⁴ cae sobre su punto medio, de manera que también sobre el punto medio de la indivisible.

V. Además, si existe el cuadrado de las indivisibles, trazada la diagonal y la perpendicular a ésta, el cuadrado que tenga un lado tal ²⁵ será igual al cuadrado que tenga por lado la perpendicular más media diagonal, de manera que no es la recta más pequeña posible ²⁶ .

[15] VI. Y tampoco el área del cuadrado de la diagonal será el doble del cuadrado de la indivisible. Pues una vez restada la parte igual, la recta restante será menor que la indivisible; y, si fuera igual, la diagonal habría producido un cuadrado que fuera el cuádruple.

Se podrían reunir otras muchas objeciones semejantes; pues, por así decirlo, se opone ²⁷ a todo lo que hay en las obras matemáticas.

[20] I. A la vez, la indivisible tiene una forma de contacto, mientras que la línea tiene dos, ya que la línea puede estar en contacto ella entera con otra línea entera y por los extremos enfrentados ²⁸ .

II. Además, una línea ²⁹ unida a una línea no hará la línea entera mayor, pues las cosas indivisibles unidas no harán una cosa mayor.

III. Además, si a partir de dos indivisibles no surge ningún continuo, ya que todo lo continuo admite múltiples divisiones y toda línea es continua salvo la indivisible, no [25] existiría la línea indivisible.

IV. Además, si toda línea salvo la indivisible se puede dividir en partes iguales y desiguales, aun si hubiera una línea compuesta de tres indivisibles y, en general, de un número impar de indivisibles, la indivisible sería divisible. Y lo mismo si se corta en partes iguales. Pues se puede cortar también cualquiera compuesta de un número impar de indivisibles. Pero si no se puede cortar por la mitad cualquiera, [30] sino la compuesta de un número par de indivisibles, y también si es posible cortar cualquier número de veces la línea cortada por la mitad, también así quedará dividida la indivisible, cuando se divida en partes desiguales la línea compuesta de un número par de indivisibles.

V. A la vez, si lo movido recorre el trayecto completo [970b] en determinado tiempo, recorrerá la mitad en la mitad y en un tiempo menor, menos de la mitad, de manera que si la magnitud está compuesta de un número impar de partes, se repetirá el corte medio de las indivisibles, si es que en la mitad de tiempo va a recorrer la mitad del trayecto; pues el [5] tiempo y la línea quedarán cortados de manera semejante. De manera que ninguna de las líneas compuestas quedará cortada en partes iguales y desiguales. Y si van a ser cortadas de manera semejante a los tiempos, no serán líneas indivisibles. Lo propio de este mismo argumento es, como se había dicho, el hacer que todas estas cosas ³⁰ estén compuestas [10] de indivisibles.

VI. Además, toda la que no es infinita tiene dos extremos, pues ellos delimitan la línea ³¹ . Pero la indivisible no es infinita, así que tendrá extremo: luego es divisible, pues una cosa es el extremo y otra aquello de lo que es extremo. O habrá, aparte de éstas, una línea que no sea ni infinita ni finita.

VII. Además, no habrá un punto en cualquier línea: en [15] la indivisible no lo habrá. Pues si hay sólo uno, la línea será un punto y si hay más la línea será divisible. Por consiguiente, si en la indivisible no hay un punto, tampoco lo habrá, en absoluto, en la línea, pues las demás se componen de las indivisibles.

VIII. Además, o no habrá nada entre medias de los [20] puntos o habrá una línea. Y si entre medias hay una línea, como en todas las líneas hay muchos puntos, la línea no será indivisible.

IX. Además, no existirá el cuadrado de una línea cualquiera, pues tendrá longitud y anchura, de modo que será divisible, ya que lo uno y lo otro son magnitudes. Y si el cuadrado es divisible, también lo será la línea.

X. Además, el extremo de la línea será una línea, pero [25] no un punto, pues lo último es el extremo, pero último es la línea indivisible ³² . Y si el extremo es un punto, el punto será el extremo de la línea indivisible, y habrá una línea mayor que otra línea en un punto; pero si el punto está dentro de la línea indivisible, por ser extremo común de las líneas que se continúan, existirá el extremo de lo que no tiene partes. Y entonces, en general, ¿en qué diferirá el punto de la línea? Pues la línea indivisible no tendrá nada propio frente al punto excepto el nombre. [30]

XI. Además, de manera semejante, también el plano y el cuerpo serán indivisibles. Pues siendo uno indivisible, se seguirá también lo restante, por dividirse el uno según el otro. Pero el cuerpo no es indivisible, ya que en él hay profundidad [971a] y anchura; luego tampoco la línea sería indivisible, pues el cuerpo es divisible por planos y el plano por líneas.

Y puesto que los razonamientos mediante los cuales intentan convencer son débiles y falsos, y esas opiniones son contrarias a todos los argumentos vigentes que gozan de crédito, es evidente que no existiría una línea indivisible. [5]

* * *

A partir de esto queda claro que la línea tampoco se compondría de puntos ³³ , y para ello convendrá la mayoría de los mismos argumentos.

I. Así, el punto quedará necesariamente cortado cuando se corte en partes iguales la recta compuesta de un número impar de partes o en partes desiguales la compuesta de un número par de partes.

II. Y también es necesario que una parte de una recta no [10] sea una recta, ni tampoco una parte del plano, un plano.

III. Y también sería necesario que exista una línea mayor que una línea en un punto, pues podrá excederla en aquello de lo que está compuesta. (Que eso es imposible queda claro a partir de lo que se contiene en las obras matemáticas; y además ocurrirá que un objeto transportado [15] atravesará el punto en un tiempo, si es que va a recorrer la distancia mayor en un tiempo mayor y la igual en uno igual; y si es que el exceso en el tiempo es tiempo. Pero quizá también el tiempo está formado de los «ahora» y afirmar ambas cosas corresponde al mismo discurso. Si efectivamente el «ahora» fuera el principio y el extremo del tiempo y el punto lo fuera de la línea —y no cabe que el principio y [20] el extremo sean continuos, sino que hay algo entre medias— no existirían ni los «ahora» ni los puntos continuos por sí mismos.)

IV. Además, la línea es una magnitud y la suma de los puntos no forma ninguna magnitud, puesto que no ocupa un espacio mayor. Pues cuando a una línea se le añade y aplica [25] una línea, no resulta una anchura mayor. Y si los puntos están dentro de la línea, los puntos no ocuparían un espacio mayor, de manera que no formarían una magnitud.

V. Además, si en todo ³⁴ todas las cosas tocan o bien la cosa entera a la cosa entera, o bien una parte toca otra, o bien el todo toca una parte y, si el punto carece de partes, el contacto sería completo. Pues sería necesario que la cosa entera tocada por la cosa entera fuera una sola cosa. Pero si una de las cosas es algo que la otra no es, entonces la cosa entera no sería tocada por la cosa entera. Y a la vez, si las [30] cosas sin partes existen, varias cosas ocupan el mismo espacio que ocupaba antes una sola cosa. Puesto que es propio [971b] de las cosas que existen simultáneamente y carecen de amplitud por sí mismas que ambas ocupen el mismo espacio. Y lo que no tiene partes no tiene dimensiones, de manera que no existiría una magnitud continua compuesta de cosas sin partes. Luego tampoco la línea se compone de puntos ni el tiempo de «ahoras».

VI. Y además, si es posible que se componga de puntos, [5] el punto tocará al punto. Por consiguiente, si desde el punto K se trazan las rectas AB y GD , tocarán a K tanto el punto que hay en AK como el que hay en KD , de manera que se tocarán ambos entre sí, ya que lo que no tiene partes entero toca entero a lo que no tiene partes. De manera que ocupará el mismo lugar de K y estarán en contacto mutuo los puntos que ocupan el mismo lugar ³⁵ . Y si están en el mismo lugar, [10] también están en contacto; pues es necesario que las cosas que están las primeras en el mismo lugar se toquen y, si es así, una recta toca a una recta en dos puntos, pues el punto que hay en AK toca al punto que hay en KG y a otro punto, de manera que la recta AK toca a la GD en varios puntos. El [15] mismo razonamiento se aplicaría también si se tratara no de dos rectas, sino de un número cualquiera de ellas que se tocaran entre sí.

Y además, también la circunferencia del círculo tocaría a la tangente en varios puntos ³⁶ , pues el punto de contacto tanto el que hay en la circunferencia como el que hay en la tangente se tocarían entre sí. Y si eso no es posible, entonces tampoco es posible que un punto toque a un punto; y si [20] no es posible que se toquen, entonces tampoco es posible que la línea esté hecha de puntos, pues de otra manera sería necesario que se tocaran.

VII. Y además, ¿cómo será entonces lo de la línea recta y curva? En nada diferirá el contacto de los puntos en la recta y en la curva. Pues lo que no tiene partes entero toca entero a lo que no tiene partes, y no cabe que se toquen de otra manera; por consiguiente, si las líneas son distintas y el [25] contacto es indiferente, no habrá una línea que se componga del contacto, de manera que tampoco compuesta de puntos.

VIII. Además, es necesario que los puntos entre sí o bien se toquen o bien no se toquen; y si por fuerza tocan al adyacente, será el mismo razonamiento. Pero si cabe que haya uno adyacente al que no toque, lo que llamamos continuo [30] no es nada distinto de lo compuesto de cosas que se tocan, de manera que también así es menester que los puntos se toquen entre sí o que la línea no sea continua.

IX. Además, si es absurdo que haya un punto junto a un [972a] punto para que exista la línea y junto a un punto para que la línea sea un plano, es imposible que se dé lo dicho ³⁷ .

Pues si los puntos están uno a continuación del otro, la línea no quedará cortada en ninguno de los puntos, sino entre medias de ellos. Y si se tocan, la línea será el lugar de un [5] punto: pero eso es imposible.

X. Y además, todas las cosas se dividirían y se podrían analizar en puntos, y el punto sería una parte del cuerpo, si es que el cuerpo está formado de planos y el plano de líneas y las líneas de puntos. Pero si cada cosa está compuesta de [10] las primeras que hay en ellas, ésos son sus elementos, y los puntos serían elementos de los cuerpos. De manera que los elementos serían sinónimos y no diversos en especie.

Es evidente, a partir de lo dicho, que la línea no se compone de puntos ³⁸ ; pero tampoco es posible hacer desaparecer el punto de la línea; pues si cabe hacerlo desaparecer, [15] también es posible añadirlo. Y una vez añadido, aquello a lo que le fue añadido será mayor que lo del principio, si es que lo añadido era de tal clase que formara una unidad entera. Luego habrá una línea mayor que una línea en un punto: pero eso es imposible. Ahora bien, no es posible en cuanto al [20] punto en sí, pero cabe que casualmente de una línea se quite un punto, porque formara parte de la línea quitada. Pues si al quitar algo entero también se quitan su principio y su extremo y el principio y el extremo de una línea era el punto, y si también cabe quitar de una línea una línea, también cabría [25] quitar un punto. Esta es la resta casual. Y si el extremo toca aquello de lo que es extremo, bien a ello mismo bien a alguna de sus partes, y el punto, que es el extremo de una línea, la toca, la línea será mayor que la línea en un punto, y el punto estará formado de puntos, pues no puede haber nada entre las cosas que se tocan.

El mismo razonamiento se utilizaría en el caso de la sección si la sección lo es de un punto y la sección toca algo, y lo mismo en el caso del sólido y en el del plano: de la [30] misma manera el sólido se compone de planos y el plano de líneas.

* * *

Y no es cierto tampoco decir respecto al punto que es lo más pequeño que hay en la recta ³⁹ .

I. Pues si se dice «lo más pequeño de lo que hay», lo más pequeño, en lo que es lo más pequeño, ha de ser también más pequeño que algo, y en la línea no hay ninguna [972b] cosa más que puntos ⁴⁰ y líneas, y la línea no es mayor que el punto (como tampoco es mayor el plano que la recta), de manera que lo más pequeño que haya en la línea no será el punto.

II. Y si el punto es comparable con la línea y lo más pequeño [5] lo es en tres sentidos, el punto no será lo más pequeño que hay en la línea. Y aparte de los puntos y las líneas hay otras cosas en la longitud, pues no se compone de puntos. Y si lo que está en el espacio o es un punto o una longitud o un plano o un cuerpo o está compuesto de ellos, aquello de lo que se compone la línea está en el espacio [10] (puesto que también lo está la línea) y en la línea no hay ni un cuerpo ni un plano ni se compone de ellos, en la longitud no habrá nada en absoluto aparte de los puntos y las líneas.

III. Además, de lo que hay en el espacio lo llamado mayor es una longitud o un plano o un cuerpo; y el punto está [15] en el espacio; y lo que hay en la longitud no es nada de lo mencionado anteriormente salvo los puntos y las líneas, de manera que el punto no será la menor de las cosas que hay en él ⁴¹ .

IV. Además, si aquello de lo que decimos «es lo más pequeño que hay en la casa» ni se compara con la casa ni, al comparar la casa, se dice en relación a ello, y lo mismo en [20] los demás casos, tampoco lo más pequeño que hay en la línea habrá de compararse con la línea. De manera que no le convendrá el nombre de «lo más pequeño».

V. Además, si lo que no está en la casa tampoco es lo más pequeño de lo que hay en la casa, y de la misma manera en los otros casos (puesto que cabe que el punto exista por sí mismo) tampoco será verdadero decir con relación al punto que es lo más pequeño que hay en la linea.

[25] Además, el punto no es una articulación indivisible.

I. Pues la articulación siempre tiene dos extremos, mientras que el punto es límite de una línea.

II. Además, éste es un extremo, mientras que aquélla ⁴² es más bien una división.

III. Además, la línea y el plano serán articulaciones, pues tienen cierta analogía.

IV. Además, la articulación existe en cierto modo por causa del movimiento, por lo cual Empédocles escribió lo de «requiere dos articulaciones». Mientras que el punto se [30] cuenta también entre las cosas inmóviles ⁴³ .

V. Además, nadie tiene articulaciones infinitas en el cuerpo o en la mano, pero los puntos son infinitos.

VI. Además, no existe la articulación de una piedra, ni la tiene, pero sí tiene puntos ⁴⁴ .