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CAPÍTULO 1

EL MISTERIOSO FENÓMENO

DE LA ESPIRAL DE ULAM

En 1963 Ulam, aburrido durante una charla científica en un congreso, comenzó a garabatear, comenzando por el número 1, los números naturales en forma espiral. Sorprendentemente los números primos, bajo esta disposición, «exhibían una fuerte apariencia no aleatoria». Tal vez había encontrado un patrón en el caos de la distribución de números primos...

Stanislaw M. Ulam (1909-1986) cuenta en su autobiografía, Aventuras de un matemático, que sufrió una grave encefalitis vírica que estuvo a punto de acabar con su vida. Después de despertar de un coma postoperatorio de varios días, el cirujano quiso comprobar sus facultades mentales preguntándole cuánto sumaban 8 más 13.

Que me preguntase una cosa así me ofendió tanto que simplemente sacudí la cabeza. Entonces me preguntó cuál era la raíz cuadrada de 20, y repliqué: aproximadamente 4,4. Como permanecía en silencio, le pregunté: ¿no es así? Recuerdo que el doctor Rainey rió con evidente alivio y dijo: ¡No lo sé!

Cuando llega la hora de pagar en una cena de varios comensales, donde se sabe que uno de ellos es matemático, siempre se oye la frase: «que calcule el matemático a cuánto tocamos cada uno». La mayor parte de la gente piensa que los matemáticos sencillamente «hacen números» y por tanto deben tener una extraordinaria capacidad para «calcular». Eso, en la mayoría de los casos, no es cierto: los matemáticos calculan tan mal como el resto de los humanos. ¿A qué se dedican entonces? Muchos le dirían que buscan patrones, relaciones y analogías que no han sido todavía descubiertos, que buscan belleza. Los mejores, como decía Banach, «ven analogías entre analogías», buscan relaciones entre relaciones, belleza pura.

BUSCADORES DE PATRONES

Estamos preparados por la evolución para detectar patrones, orden en el mundo. Los humanos tenemos una disposición evolutiva a sustraer orden del desorden, somos buscadores de patrones. Los mejores buscadores son un grupo conocido como matemáticos. Y cómo no, en los números, los encuentran a raudales.

Los números primos son aquellos que sólo son divisibles por ellos mismos y por el 1. Los primeros son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41... (por razones técnicas que no vienen al caso, el número 1 no se considera primo). Como puede observarse en la lista, el sexto número primo es el 13. No se conoce fórmula sencilla alguna para determinar los primos. Pero que no se conozca semejante fórmula no significa que no exista. Durante siglos los matemáticos se han estado preguntando si los números primos están repartidos al azar o podemos determinar a priori sus posiciones. El esfuerzo matemático por desvelar la distribución de los números primos ha sido ímprobo. Leonhard Euler (1707-1783), uno de los matemáticos más grandes de la historia, determinó una sencilla fórmula: n² + n + 41, donde si sustituimos n por 0, 1, 2..., obtenemos una secuencia de 40 primos consecutivos hasta llegar al valor n = 40 que nos proporciona el número compuesto 1.681. Euler llegó a decir al respecto:

Los matemáticos han intentado en vano hasta hoy descubrir un orden en la secuencia de los números primos, y tenemos razones para creer que esto es un misterio al que no podrá nunca penetrar la mente humana.

Muchos de los intentos, como veremos ahora en un famoso ejemplo, se han encaminado a visualizar esa distribución.

LA ESPIRAL DE ULAM

En 1963 Ulam, aburrido durante una charla científica en un congreso, comenzó a garabatear sobre una hoja cuadriculada. Se le ocurrió, comenzando por el número 1, disponer los números naturales en forma espiral de la siguiente manera:

17	16	15	14	13
18	5	4	3	12
19	6	1	2	11
20	7	8	9	10
21	22	...

y distinguir los primos del resto de números (en nuestro ejem-plo los primos están en negrita y subrayados). Sorprendentemente los primos parecían disponerse con mucha más frecuencia de lo esperado a lo largo de diagonales. En palabras de Ulam: «Exhibían una fuerte apariencia no aleatoria». Tal vez había en contrado un patrón en el caos de la distribución de números primos...

Curiosamente, siete años antes, el escritor de ciencia ficción Arthur C. Clarke había descrito una espiral de primos semejante en su novela La ciudad y las estrellas (1956). En ella el personaje de nombre Jeserac, ayudado por su ordenador, buscaba patrones en la distribución de primos. Clarke nunca llegó a realizar ese experimento realmente, sin embargo, cuando Ulam regresó del congreso a su lugar de trabajo en Los Álamos fue lo primero que hizo. Con la ayuda de Myron L. Stein y Mark B. Wells programó para esta tarea el ordenador mastodóntico Maniac II que disponía en su memoria de los primeros 90 millones de primos. Hablamos de una época en la que no existían ni siquiera las pantallas de ordenador. Para vislumbrar el patrón usaron un osciloscopio a modo de pantalla primitiva y fotografiaron el resultado. Para su regocijo, en la espiral que construyeron para todos los primos por debajo de los 10 millones, los primos mostraban tendencia a aparecer en las diagonales y también en líneas horizontales y verticales, como podemos ver en el siguiente ejemplo de pequeña espiral donde sólo hemos señalado la posición de los primos:

De hecho, estas líneas escondían fórmulas para primos. Los alineamientos corresponden a fórmulas como la de Euler, del tipo an² + bn + c, donde a, b y c son enteros. Por ejemplo, tenemos una diagonal, abajo a la izquierda del dibujo, con los primos 5, 19, 41, 71 y 109. Esa línea corresponde a la expresión: 4n² + 10n + 5. Si damos valores a n de 0 a 4 generamos estos cinco primos consecutivos en la diagonal. Similarmente, la secuencia de primos 7, 23, 47 y 79, en diagonal abajo a la derecha, ajusta a 4n² + 4n – 1 dando valores a n de 1 a 4. Si en vez de comenzar la espiral con el número 1 en el centro comenzamos con otros números, como hicieron en sus experimentos Ulam y sus colaboradores, se obtienen líneas y expresiones cuadráticas de primos adicionales. Por ejemplo, comenzando por el 41 en el centro obtenemos precisamente la expresión de Euler.

Ulam constató que, para valores de n por debajo de los diez primeros millones de primos, la fórmula de Euler proporcionaba primos en un 47,5% de las veces. Evidentemente, no todas las expresiones cuadráticas proporcionan gran cantidad de primos. Por ejemplo, la expresión 2n² + 4n + 117 sólo los proporciona un 5% de las veces. Los teóricos han demostrado que no existe ninguna fórmula sencilla que sea capaz de generar solamente primos. Sin embargo, el motivo por el cual algunas de estas funciones cuadráticas presentan una tal riqueza de números primos no se ha desvelado todavía.

ARTE Y BELLEZA ESPIRAL

Ahora el lector está preparado para comprender el sentido de las dos creaciones digitales, infografías, con las que ilustramos este ensayo. La primera, debida a Adrian J. F. Leatherland, se titula Ábaco de madera. Sin duda, Leatherland acierta al usar bolas de madera sobre una espiral de varilla metálica insinuando un ábaco, la calculadora más antigua. Ojalá algún artista plástico se animara a realizar un modelo real.

Ábaco de madera, Adrian J. F. Leatherland (<yoyo.cc.monash.edu.au/~bunyip/primes>).

La segunda creación, debida a Jean-Francois Colonna, se titula: La espiral de Ulam generalizada mostrando 1.024 números naturales. Colonna opta por incluir más información en la espiral: el radio de la esfera número N es proporcional a la raíz cuadrada del número de divisores de N (sin contar al propio N). De modo que los números primos tienen radio 1 y todos están representados por pequeñas esferas de color blanco. El resto de números aparecen en colores que varían su luminosidad también en función de su número de divisores.

La espiral de Ulam generalizada mostrando 1.024 números naturales, Jean- Francois Colonna (<www.lactamme.polytechnique.fr>).

La espiral de Ulam abrió toda una serie de nuevas preguntas: ¿existen líneas que contienen una infinidad de números primos? ¿Cuál es la densidad máxima en una línea? ¿Es la densidad de primos la misma en cualquiera de los cuatro cuadrantes? ¿Qué sucede con otras formas de empaquetar los números como por ejemplo espirales en enrejados hexagonales? ¿Y empaquetamientos tridimensionales y n-dimensionales?

La espiral de Ulam nos ofrece evidencia visual de que existe algún orden oculto en la distribución de los números primos. Tan sólo un año después del descubrimiento o creación de la espiral de Ulam (¿qué opina el lector que es?), en marzo de 1964, fue portada de la famosa revista Scientific American. La espiral es un magnífico ejemplo de cómo un experimento gráfico puede desvelar patrones ocultos y producir resultados matemáticos inesperados. Y como apunta Ivars Peterson en su libro Mathematical Trek, también nos muestra que: «es verdad que no sólo hay misterio, sino también belleza en la distribución de los números primos».