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CAPÍTULO 3

VIDEOITERANDO, VIDEOITERANDO, EL CAOS SE VA ALCANZANDO

¿Qué ocurre si enfocamos una cámara a la pantalla de un televisor que está emitiendo justamente las imágenes que capta la propia cámara? Descubra una ruta televisiva hacia el caos determinista.

En la naturaleza abundan formas y estructuras complejas. Esta imagen es un ejemplo cotidiano. Al contemplar un árbol no advertimos cómo crece, pero su estructura nos sugiere algún mecanismo de desarrollo en ramificaciones sucesivas. Tras su forma intuimos un proceso de generación.

Los cristales de nieve que cubren este árbol no están vivos, pero también «crecen». La forma de los copos de nieve no nos sugiere, en este caso, reglas de crecimiento tan obvias. ¿Serán terriblemente complicadas? Hoy, gracias al estudio de los sistemas complejos, sabemos que no necesariamente. Quizá el mayor impacto de esta nueva visión científica en la corriente general del conocimiento haya sido demostrar qué patrones complejos pueden ser generados por procesos simples.

La intención de este pequeño ensayo es mostrar uno de los procesos simples más comunes capaces de generar complejidad: la iteración, que ilustraremos a partir de unos sencillos experimentos al alcance del lector.

ITERACIÓN

Antes de abordar el experimento propiamente dicho jugaremos con una calculadora para dejar clara la idea de iteración. Introduzca un número en su calculadora y extraiga su raíz cuadrada. Vuelva a extraer al resultado la raíz cuadrada. Hágalo sucesivamente. Está realizando un proceso iterativo. ¿Acaba el proceso en algún valor que no cambia? ¿Siempre e independientemente del número inicial? Observe que, al resultado de aplicar una operación, le volvemos a aplicar la misma operación: estamos iterando. En un proceso iterativo se dispone de una entrada –en este caso un número–, una regla dinámica que nos dice cómo se transforma la entrada –extraer la raíz cuadrada– y una salida –el resultado–. Lo que hace que el proceso se convierta en una iteración es que la salida se reinyecta en el paso siguiente como entrada, cerrando el proceso en un bucle de repetición infinita. Matemáticamente podemos expresar esta iteración como:

x_n+1= (x_n)^1/2

donde x_n es el valor en el paso n-ésimo.

Nuestro sencillo experimento con la calculadora nos muestra que siempre que comencemos con un número x₀ mayor o igual a 1, la iteración sucesiva acabará en 1. Y si el número x₀ se encuentra entre 0 y 1 acabará en 0. Pero no todas las iteraciones producen resultados tan sencillos como en este caso de la raíz cuadrada. De hecho, una iteración aparentemente tan inocente como: x_n+1= r x_n (1 - x_n), donde r se fija con un valor entre 1 y 4, fue piedra fundamental en el estudio del caos determinista. La logística, que es el nombre que recibe la iteración anterior, muestra una riqueza de comportamientos dinámicos inusitada en función del valor que tomemos para el valor r.

Observemos que la iteración con la calculadora es en realidad un proceso simbólico. Son ecuaciones sencillas que generan cadenas de números. ¿Podemos construir un proceso iterativo físico, digamos, de forma tan sencilla?

VIDEORRETROALIMENTACIÓN

El término iteración suele usarse en matemáticas, los ingenie-ros prefieren utilizar la palabra retroalimentación (feed-back) pa-ra referirse al mismo. Vamos a crear un sencillo circuito de re-troalimentación. Necesitamos simplemente una cámara de vídeo y un televisor.

Conecte la salida de una cámara de vídeo a la entrada de señal de un televisor. De esa manera las imágenes recogidas por la cámara serán vistas en la pantalla. ¿Qué ocurre si apuntamos la cámara a la propia pantalla del televisor? La imagen que aparece en el televisor es capturada por la cámara, que la devuelve de nuevo al televisor, que vuelve a ser capturada por la cámara, que... ¡Estamos iterando la imagen! En nuestra calculadora conseguíamos iterar un paso cada vez que apretábamos el botón de raíz cuadrada. Con este experimento conseguimos 25 iteraciones por segundo y sin tan siquiera mover un dedo. Y además obtenemos imágenes físicas y no cadenas simbólicas.

¿Qué observaremos mediante este sencillo montaje? Si situamos la cámara a larga distancia obtendremos una secuencia de pantallas dentro de pantallas en una sucesión que se aleja. En la fotografía puede observar uno de estos efectos conseguido con un astuto giro de la cámara.

El proceso de retroalimentación puede describirse como una reducción de la imagen hacia un punto interior de la pantalla. Si acercamos la cámara lo suficiente como para que desde su visor de cámara sólo observemos pantalla, observaremos lo contrario. La imagen se expandirá. Para conseguir imágenes que le resultarán hipnóticas, baje el brillo del televisor y ponga alto el contraste. Apague la luz de la habitación y ajuste ahora el zoom de la cámara de modo que la pantalla del televisor quede perfectamente encuadrada sin que aparezca el marco de éste. Es decir, nos encontramos en la región ni demasiado lejos para que la imagen se contraiga, ni demasiado cerca para que la imagen se expanda. En este sencillo sistema puede modificar muchas variables como el zoom, el foco, el ángulo con que encaramos la pantalla del televisor, etc.

Al igual que en nuestra calculadora podíamos comenzar a partir de un número x0 cualquiera (excepto negativos) como condición inicial, en nuestro experimento podemos utilizar un sinfín de objetos como imagen inicial. Pruebe a mover una vela o un mechero encendidos entre la cámara y el televisor para obtener resultados semejantes al de las siguientes fotografías.

CLASIFICANDO LOS RESULTADOS

Después de experimentar un rato observará que los patrones espaciales se pueden clasificar en cuatro clases según su evolución en el tiempo:

1. La pantalla se vuelve totalmente blanca o se fija una mancha de luz estable. Este resultado es, en lenguaje de los sistemas dinámicos, un punto fijo.

2. Aparece una mancha de luz pulsante (estado estacionario periódico).

3. Asistimos a una frenética aparición y desaparición de manchas de luz sin orden ni concierto (caos determinista).

4. Nuestra pantalla exhibe un patrón organizado o complejo de manchas, de reminiscencias orgánicas, que parecen crecer, decrecer y evolucionar (dinámica compleja o auto-organizada).

Sin duda las imágenes más interesantes corresponden a esta cuarta categoría. Aquí tiene algunos ejemplos:

SIMULAR PARA ENTENDER

Los experimentos con videorretroalimentación se remontan al nacimiento de la televisión. Muchos artistas se han mostrado interesados en sus posibilidades estéticas. Si ha experimentado con el sistema habrá observado que el efecto de algunos controles sobre el resultado final es relativamente fácil de entender. Sin embargo, el de otros es endemoniadamente difícil. Fue el físico J. P. Crutchfield («Space-time dynamics in video feedback», Physica 10D, 1984, pp. 229-245) quien primero estudió teóricamente el sistema. Crutchfield propone un modelo matemático para emular lo que ocurre en nuestro experimento con vídeo y televisor. Asume que una imagen se describe como una matriz dos dimensional que puede ser rotada o magnificada. Para iterar una imagen se acopla cada píxel de la matriz con sus píxeles vecinos de manera especificada por el valor del foco, se rota la imagen de manera especificada por el án-gulo escogido y se magnifica por el valor z del zoom, los tres parámetros regulables del modelo. El proceso viene descrito por una ecuación de iteración semejante a las que expusimos al comienzo del ensayo, pero, como el lector puede suponer, matemáticamente mucho más compleja.

Para iterar la ecuación, Crutchfield utilizó un ordenador. De esta manera determinó que existían dos tipos básicos de comportamientos dependientes del valor del zoom. Cuando el zoom era menor que 1 los puntos de luz en la imagen, se obtenían patrones en espiral hacia el centro. Cuando el zoom es mayor que 1 los puntos de luz se magnifican hacia el exterior, formando en algunos casos espirales con estructura autosimilar, fractal. La siguiente tabla muestra una clasificación de los resultados:

PARA SEGUIR EXPLORANDO

Si dispone de una cámara acoplada a su ordenador, una típica web-cam, puede construir igualmente el circuito de retroalimentación que hemos descrito. Y además, con un poco de pericia informática podrá medir la intensidad luminosa de los patrones dinámicos que genere. En la gráfica que acompaña a este texto presentamos el resultado de la variación de intensidad con el tiempo. Las primeras gráficas muestran el comportamiento de una mancha pulsante periódica. Al variar convenientemente las variables del sistema se observan cambios en el período. En concreto, la quinta, sexta y séptima líneas muestran un período de duración doble. Así que al variar los parámetros de forma continua, el período se va doblando una y otra vez, hasta que alcanzamos el comportamiento de la octava gráfica, que no muestra periodicidad: hemos alcanzado el caos determinista. El sistema de videoiteración exhibe lo que los físicos y matemáticos denominan cascada de bifurcaciones. Un comportamiento que estaba presente, de manera simbólica, en la ecuación logística que presentamos al comienzo del ensayo y con la que se suele enseñar en la mayor parte de cursos sobre sistemas dinámicos esta ruta hacia el caos. La sencilla ecuación logística nos desvela un patrón dinámico oculto en muchos sistemas del mundo físico real, un patrón universal.