Читать книгу Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I - Денис Владимирович Соломатин - Страница 11

Хотя линейные модели и имеют широкое применение, выходящее за рамки моделирования популяций, существует несколько важных приложения именно линейной алгебры для моделирования популяций. В этом случае матрицы перехода часто имеют довольно хорошую структуру, поскольку существуют естественные способы разбиения популяции на подгруппы по возрасту или стадии развития.

Проиллюстрируем сказанное на примере модели Лесли. Суть необходимости использования этой модели в том, что у некоторых видов темпы размножения очень индивидуальны.  Например, рассмотрим две разные популяции людей с одинаковой общей численностью. Если бы в одной присутствовали в основном люди в возрасте старше 50 лет, а в другой в основном 20-летние, то ожидались бы совершенно разные скорости роста популяций. Очевидно, что возрастная структура населения имеет важное значение.

Люди развиваются достаточно долго до момента полового созревания, на всём протяжении этого времени размножение не происходит. После полового созревания различные социальные факторы препятствуют или поощряют деторождение в определенном возрасте. Наконец, менопауза ограничивает размножение пожилых женщин.

Чтобы смоделировать влияние возраста на скорость роста населения, можно начать моделирование популяции людей с создания пяти возрастных групп:  – численность лиц в возрасте от 0 до 14 лет в момент времени ;  – численность лиц в возрасте от 15 до 29 лет в момент времени ;  – численность лиц в возрасте от 30 до 44 лет в момент времени ;  – численность лиц в возрасте от 45 до 59 лет в момент времени ;  – численность лиц в возрасте от 60 до 75 лет в момент времени . Хотя предложенная формализация допускает нереалистичное предположение о том, что никто не выживает после 75 лет, но этот недостаток, конечно, может быть исправлен путем создания дополнительных возрастных групп. Используя временной шаг 15 лет, можно описать всю популяцию с помощью следующих пяти линейных уравнений: , , , , .

 Здесь  обозначает коэффициент рождаемости (за 15-летний период) для родителей в -й возрастной категории, а  обозначает выживаемость для тех, кто находится в -й возрастной категории, переходящих в -вую категорию. Поскольку одна пара родителей может оказаться в разных возрастных группах, нужно отнести половину их потомства к каждой группе при выборе значений . В матричной записи модель упрощается до линейной , где  – вектор столбец размеров возрастных подгрупп в момент времени  и  – матрица перехода.

Можно ожидать, что  будет меньше, чем , потому что скорее всего меньше детей родят в возрасте от 0 до 15 лет, чем от 15 до 30 лет. Однако, в течение определенного периода времени подростки в возрасте от 0 до 15 лет фактически стареют на 15 лет; поэтому рождаемость у таких родителей, вероятно, не так мала, как можно было бы подумать. Также возможно, что некоторые из  равны нулю; например, очень старые могут не воспроизводиться.

Вопросы для самопроверки:

– Если бы данные были собраны, какое из чисел , по вашему мнению, было бы самым большим? Какой из них будет самым маленьким? Как это может варьироваться в зависимости от того, какая конкретная популяция моделируется?

– Каковы разумные значения для ? Какие из них, вероятно, будут самыми большими? А какие будут наименьшими?

Конечно, можно улучшить модель, используя больше возрастных групп меньшей продолжительности, например, 5 лет или даже 1 год, и добавив дополнительные возрастные группы для тех, кто старше 75 лет. Для людей возрастные категории продолжительностью 15 лет слишком длинны для большой точности. Демографы часто используют 5-летние группы и отслеживают людей в возрасте до 85 лет, что приводит к матрице размером 17 × 17.

С улучшенной моделью матрица была бы больше, но она все равно имела бы ту же форму: верхний ряд имел бы информацию о плодовитости, ряд под диагональю имел бы ключевую информацию, а все остальные элементы равнялись бы нулю. Модель, матрица перехода которой имеет такую форму, называется моделью Лесли.

Пример. Модель Лесли, описывающую население США в 1964 году, сформулировали Кейфиц и Мерфи в 1967 году. Отслеживая только численность женщин и, следовательно, игнорируя рождение мужчин при расчете урочная рождаемости. Было использовано 10 возрастных групп продолжительностью по 5 лет каждая. Верхняя строка матрицы состояла из чисел (0.0000, 0.0010, 0.0878, 0.3487, 0.4761, 0.3377, 0.1833, 0.0761, 0.0174, 0.0010), в то время как под диагональю находились значения (0.9966, 0.9983, 0.9979, 0.9968, 0.9961, 0.9947, 0.9923, 0.9987, 0.9831).

Вопросы для самопроверки:

– Что означает тот факт, что первый элемент под диагональю меньше второго? Какие возможные объяснения этому?

– Почему седьмое число под диагональю может быть меньше, чем числа по обе стороны от него? Какую возрастную группу описывает это число?

– Почему разумно включать в эту модель только женщин в возрасте до 50 лет?

Следующая модель называется моделью Ашера. Эта модель является небольшой вариацией модели Лесли, в ней на диагонали могут лежать ненулевые значения. Например, вернёмся к вышеописанной 5×5-матричной модели, продолжая использовать 15-летние возрастные группы, но сделаем шаг времени равный 5 годам. В то время как некоторые люди из одной группы перейдут в следующую группу, другие останутся там, где они были. В результате получается матрица перехода следующего вида:

с параметрами , описывающими нарушения развития -той возрастной группы, часть которой остается прежней при переходе к следующему временному периоду. Обратите внимание, что значения записей  и  будут отличаться от тех, которые были выше в модели Лесли, так как размер приращения по времени был изменен.

Возможно, более естественным примером использования модели Ашера в математическом образовании является модель, основанная на трёх уровнях обучения, через которые проходит студент высшего учебного заведения. Например, для освоения физико-математической направленности, у студентов уходит по несколько лет на преодоления каждой стадии, а также может изменяться индивидуальная образовательная траектория, основанная на трехступенчатой модели с бакалавриатом, магистратурой и аспирантурой математического образования. Матрица Ашера, которая могла бы описать такую популяцию примет вид  .

Вопросы для самопроверки:

– Почему в этой матрице есть только один ненулевой параметр ?

Существуют и другие структурные модели популяции. Хотя модели Лести и Ашера являются естественными и достаточно общи для описания популяций, они не особо специфичны для задействования распространенных математических форм. Если матрица другого вида может лучше моделировать ситуацию, нет причин не воспользоваться ею.

Общеизвестен факт «дети цветы жизни». В качестве следующего примера рассмотрим растение, которому требуется несколько лет, чтобы созреть до стадии цветения, и которое не цветет каждый год после созревания плода. Кроме того, семена могут находиться в состоянии покоя в течение нескольких лет, прежде чем прорасти.

Такой жизненный цикл может хорошо моделироваться с использованием временных рядов и группирования. Пусть  равно количеству посеянных семян в момент времени ,  равно числу зрелых растений в момент времени ,  равно числу цветущих растений в момент , и наконец  равно числу оставшихся зрелых растений, не цветущих в момент .

При  матрица перехода для данной модели может принять вид

Здесь параметр  описывает зрелые растения, которые не цвели в течение одного сезона, переходя в класс цветущих на следующий год. Кроме того, есть два параметра, описывающих плодородие –  описывает производство семян, которые не прорастают сразу, тогда как  описывает производство саженцев через новые семена, которые прорастают к следующему временному шагу.

Вопросы для самопроверки:

– Какой параметр описывает семена, произведенные в предыдущие годы, которые снова не прорастают, но могут прорасти в будущем?

Пример. Для этой модели с конкретным выбором параметров, заданных матрицей перехода  и начальным вектором популяции , динамика популяции в течение последующих 12 временных шагов показаны на рисунке 2.2.

Время t

Рисунок 2.2. Численный эксперимент с моделью; в правой части графика классы расположены сверху вниз в порядке 1, 2, 3 и 4.

Видим четкую тенденцию роста размеров всех классов, с некоторыми вышележащими колебаниями, по крайней мере, в течение первых нескольких шагов. Более того, существует примерно постоянное соотношение между размерами классов после нескольких шагов.

Динамика, показанная на рисунке 2.2. также характерна для моделей Лесли и Ашера, независимо от количества задействованных классов. Как правило, существует доминирующая тенденция роста или упадка, хотя колебания меньшего масштаба также часто присутствуют. Доминирующая тенденция похожа на экспоненциальный рост или спад в мальтузианской модели. Однако классовая структура модели порождает и более сложное поведение.

Модель леса в разделе 2.1 является еще одним примером линейной модели, которая не является ни моделью Лесли, ни Ашера. Поскольку она отслеживает два типа деревьев, а не организмы, проходящие через свой жизненный цикл, матрица перехода имеет совершенно другую форму. Это пример марковской модели, идею которой разовьём далее в главе 4. Однако по рисунку 2.1 видно, что эта модель также показывает долгосрочную тенденцию, к равновесию. В следующем разделе разработаем средство извлечения информации об основных тенденциях, создаваемых любой линейной моделью.

При моделировании этапов какого-либо развития на примере модели Ашера или иной другой нужно учитывать ряд факторов. Понимание жизненного цикла моделируемой системы позволяется выбрать естественный набор классов. Однако трудности поиска хороших оценок параметров накладывают свои ограничения, поскольку если в модели используется избыточное число классов, то появляется и много лишних параметров. Использование очень маленьких возрастных групп или множества различных этапов теоретически должно привести к более точной модели. Тем не менее, это также потребует более подробного наблюдения, чтобы получить обоснованное уточнение параметрических значений.

Введём теперь понятия единичной матрица и обратных матриц. Рассмотрев подробно типы матриц, используемых в линейных популяционных моделях, вернемся к разработке некоторых математических инструментов для их понимания.

Предположим, что линейная модель популяции использует только два класса и, следовательно, имеет 2×2-матрицу перехода . Если популяция в момент времени  задается вектором , то вычисление популяций на следующем шаге времени просто требует умножения .

Но представьте, что заинтересованы в вычислении популяций на предыдущем временном шаге. Если знаем  и , как найти ? Другими словами, можно ли отматывать численность популяции назад во времени, если известна матрица  , описывающая, как меняются значения при протекании времени вперед?

Если бы  был скаляром, а не матрицей, знали бы, как это сделать. Просто «разделили» бы с обеих частей уравнения  на  , чтобы решить его относительно . Остаётся придумать, что значит «деление на матрицу».

Можно подумать об этом следующим образом: на что умножить обе части уравнения  с левой стороны, чтобы быть исчезло  в правой части? Предположим, существует матрица  такая, что после умножения на неё получается равенство . Для избавления от , нужно, чтобы результат матричного произведения  исчез из уравнения, как-то сократился. Очевидно, что  будет матрицей размерности , и обойти это невозможно. Тем не менее, существует -матрица специального вида, которая подходит на роль нейтрального по матричному умножению элемента.

Определение. Единичная -матрица имеет вид . В общем случае, единичная -матрица – это квадратная матрица , элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные элементы равны 0.

Обратите внимание, что в задаче 2.1.1. (в-г) такие матрицы были нейтральны по умножению, то есть вели себя как число 1 в обычной алгебре со скалярами. Умножение любого вектора на единичную матрицу с любой стороны оставляет этот вектор неизменным. Можно проверить, что для любой матрицы  имеют место равенства .

Возвращаясь к попытке моделирования численности популяции при переходе назад во времени, получаем  , поэтому, если выбрать  так, чтобы , то уравнение становится разрешимым: . Другими словами, удастся решить уравнение относительно , вычислив .

Определение. Если  и  являются квадратными -матрицами и , то говорим, что  является обратной к  и используем обозначение .

Не будем доказывать здесь, но можно показать, что для квадратных матриц если , то . Таким образом, если  является обратной для , то  обратная для .

Прежде чем научиться вычислить обратную матрицу, проанализируем, всегда ли такая матрица будет существовать. Например, , поэтому . С другой стороны, если , то  необратима. Чтобы понять это, посмотрите на  . Невозможно заполнить пропущенные места в верхней строке левой матрицы так, чтобы верхняя левый элемент первой строки в произведении оказался равен 1. Из-за нулевого столбца в  верхний левый элемент произведения всегда будет равным 0. Этот пример показывает, что некоторые матрицы необратимы.

Попытка найти обратную матрицу в общем случае даст больше понимания проблемы. Зададимся вопросом, чем заполнить матрицу в уравнении  .

Сосредоточившись на правом верхнем элементе произведения, легко получить там ноль, поместив  и  в верхнюю строку искомой матрицы. Чтобы получить ноль в нижнем левом элементе произведения, можно поставить  и  в нижнем ряду.  Это приводит нас к равенству . Теперь, чтобы получить 1 по диагонали, достаточно просто нужно разделить каждый элемент левой матрицы на . Таким образом, . Число  имеет специальное название:

Определение.  Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы  второго порядка называется число , которое обозначается как  или .

Формула для обращения квадратной матрицы второго порядка теперь выглядит следующим образом: если , то .

В общем случае обращение матрицы происходит по формуле , то есть на определитель делится матрица, транспонированная к присоединённой. Транспонирование осуществляется путём замены строк матрицы её столбцами, а для нахождения -элемента -й строки -го столбца в присоединённой матрице вычисляется алгебраическое дополнение к элементу -й строки -го столбца исходной матрицы. Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со знаком . А минором называется определитель матрицы, получаемой из исходной путём вычёркивания из неё -й строки и -го столбца.

Пример. .

Поскольку не каждая матрица имеет обратную, невозможно найти универсальную формулу для обращение любой матрицы. Иногда что-то будет мешать. Глядя на формулу, видим, что она не имеет смысла, при . На самом деле, не будем доказывать это, но если , то  не имеет обратной. Другими словами, чтобы найти обратную матрицу 2 × 2, можем просто попытаться использовать вышеописанную формулу. Если формула неприменима, то матрица не имеет обратного. Резюмируем сказанное следующей теоремой.

Теорема. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю.

Пример. Матрица  необратима, так как её определитель равен .

Для матриц размерности 3 × 3 и выше, ручное вычисление обратной матрицы (если она существует) через детерминант очень громоздко. Несмотря на то, что задача алгоритмически разрешима и хорошо распараллеливается процесс вычисления по формулам обращения любой квадратной матрицы, они слишком сложны, чтобы быть полезными с практической точки зрения. Поэтому обратные матрицы обычно вычисляются с помощью другого метода, называемого методом Гаусса-Джордана, который преподается на курсах линейной алгебры. Для нужд математического моделирования громоздкие операции с большими матрицами выполняются средствами программного обеспечения, такого как MATLAB, чтобы ускорить вычисления.

Однако важно помнить, что не каждая матрица будет иметь обратную. Если попытаетесь вычислить значение, когда его не существует, MATLAB сообщит об этом. К счастью, большинство квадратных матриц обратимы. По этой причине необратимые матрицы называются особенными, сингулярными или вырожденными.

Вернемся к первоначальной проблеме нахождения обратной матрицы.

Пример. Для леса, моделируемого в разделе 2.1, предположим, что в момент времени  численность деревьев двух видов составляла . Какова была их численность в момент времени ? Чтобы ответить на этот вопрос, зная о соотношении , просто умножаем обе части равенства слева на , чтобы найти .

Задачи для самостоятельного решения:

2.2.1. Первый раздел настоящей главы начинается с двух примеров моделей популяции. Является ли каждая из них моделью Лесли? Является ли каждая из них моделью Ашера? Объясните, почему, описав форму матриц перехода для них.

2.2.2. В MATLAB создайте матрицу Лесли для модели численности населения, описанной с помощью команд

sd=[0.9966, 0.9983, 0.9979, 0.9968, 0.9961, …

    0.9947, 0.9923, 0.9987, 0.9831]

P=diag(sd,-1)

P(1,:)=[0.0000, 0.0010, 0.0878, 0.3487, 0.4761, …

        0.3377, 0.1833, 0.0761, 0.0174, 0.0010]

Для нескольких вариантов начальных значений популяции постройте графики популяции в течение следующих 10 временных шагов. Опишите свои наблюдения.

2.2.3. Без помощи компьютера найдите определители и обратные матрицы для следующих матриц  , ,  при условии, что они существуют. Затем проверьте свои ответы с помощью компьютера. В MATLAB для поиска обратной матрицы и определителя матрицы  используются команды

inv(A)

det(A)

2.2.4. При помощи компьютера найдите определители и обратные матрицы для  и  при условии, что они существуют. Убедитесь, что обратная матрица найдена верно, путём её умножения на исходную матрицу и получением в результате единичной матрицы.

2.2.5. Простая модель Ашера в пройденном параграфе описывает незрелые и зрелые группы, задаётся матрицей .

а. Сколько рождений в среднем доступно каждому члену зрелой группы за один временной интервал?

б. На сколько процентов уменьшается численность каждой группы в каждом временном интервале?

в. Предполагая, что незрелые не способны размножаться с течением времени, каково значение верхнего левого элемента матрицы ?

г. Что означает левый нижний элемент матрицы ?

2.2.6. Для модели из предыдущей задачи:

а. Найдите .

б. Пусть , найдите  и .

2.2.7. Предположим, что структурированная популяционная модель имеет матрицу перехода , которая обратима.

а. В чем смысл матрицы ? Если вектор численности популяции умножить на эту матрицу, то что получится? Если вектор численности популяции умножить на , то что получится?

б. В чем смысл матрицы ? Если вектор численности популяции умножить на эту матрицу, то что получается?

в. Основываясь на ответах из частей (а) и (б), объясните, почему  для любого положительного целого числа . Эта матрица часто обозначается как .

2.2.8. Модель, которую предложил Каллен в 1985 году, данные для которой собрали Неллис и Кит в 1976 году, описывает популяцию койотов. Динамика возрастных групп – щенок, сеголетка и взрослая особь – описывается матрицей  c шаг времени 1 год. Объясните, каков смысл каждого элемента матрицы. Будьте внимательны при объяснении значения 0.11 в левом верхнем углу.

2.2.9. а. Покажите, что из  не обязательно следует равенство  вычислив  и  для ,  и .

б. Объясните, почему если  и существует , то .

2.2.10. В отличие от скаляров, умножение которых коммутативно, для матриц как правило . Вместо этого, если обратные значения существуют, то .

а. Для   и  , без использования компьютера вычислите ,  и  для проверки этих утверждений.

б. Выберите любые две другие обратимые 2 × 2 матрицы  и , и для них убедитесь в том, что .

в. Выберите две обратимые матрицы 3 × 3 матриц   и , и с помощью компьютера убедитесь, что .

2.2.11. Тождество  можно доказать разными способами.

а. Объясните, почему .  Почему это доказывает, что ?

б. Предположим, как и в первом разделе пройденной главы, что  является матрицей перехода для популяции лесов в засушливый год, а  – матрицей для влажного года. Затем, если первый год сухой, а второй влажный, имеем . Как выразить  через ? Как найти  зная ? Объедините полученные результаты, чтобы объяснить, как найти  через . Как это доказывает, что ?

2.2.12. Пусть лес состоит из двух видов деревьев,  и . Каждый год  числа деревьев вида  заменяются деревьями вида , в то время как   деревьев вида  заменяются деревьями вида . Численность остальных деревьев не меняется.

а. Пусть  и  обозначают количество деревьев каждого типа в год . Выразите  и  через  и .

б. Запишите уравнения из пункта (а) в матричном виде.

в. Используйте пункт (б) для получения формулы, выражающей  и через  и .

г. Выразите  и  через  и  в матричной форме.

д. Предположим, что  и . Вычислите вручную  и  для . Используйте MATLAB для самопроверки и продрожите счет до . Что происходит с популяцией?

е. Выберите несколько разных значений  и . Используйте MATLAB для анализа динамики популяции с течением времени. Как результаты соотносятся с результатами пункта (д)?