Читать книгу Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I - Денис Владимирович Соломатин - Страница 12

Вернемся к модели леса, представленной в разделе 2.1 этой главы. Напомним, что уравнением , при , моделировали численность двух типов деревьев в лесу.

Вектор , описывающий численность популяции, к которой лес приблизился в ходе машинного эксперимента, характеризуется тем свойством, что . Убедитесь в этом путём непосредственного вычисления. Используя терминологию главы 1, можно назвать  вектором равновесия для данной модели.

На самом деле, существует еще один вектор, который ведёт себя хорошо почти так же, как  для этой конкретной модели. А именно, если , то . Проверить это тоже можно непосредственными вычислениями. Хотя  и не является равновесием, он демонстрирует довольно простое поведение при умножении на матрицу  – эффект от умножения  на  точно такой же, как при умножение его на скаляр .

Определение. Если  – квадратная матрица порядка , и  – ненулевой вектор арифметического пространства , а  – скаляр такой, что , то  называется собственным вектором матрицы , а  называется собственным значением.

Почему требуется, чтобы собственные векторы не были нулевым вектором? Да просто потому, что  для любых действительных чисел . А когда собственный вектор , с ним может быть связано только одно собственное значение .

Используя эту терминологию, приведенная выше матрица  имеет собственный вектор  с собственным значением  и собственный вектор  с собственным значением .

Заметим, однако, что, как и , векторы ,  и  тоже являются собственными векторами  с собственным значением . Однако, поскольку названные векторы являются скалярно кратными друг другу, это может показаться не удивительным. Что объясняет следующая теорема.

Теорема. Если  является собственным вектором матрицы  с собственным значением , то для любого скаляра  вектор  тоже является собственным вектором матрицы  с тем же собственным значением .

Доказательство. Если , то .

Практическим следствием этого является тот факт, что, хоть и можно говорить о паре  как о «собственном» векторе  с собственным значением , например, на самом деле это не означают, что существует только один такой собственный вектор. Любой ненулевой скалярно кратный ему вектор вида  также является собственным вектором.

Понимание сути собственных векторов имеет решающее значение для понимания линейных моделей. В качестве первого шага к пониманию того, почему так происходит, рассмотрим, что будет если начальные значения линейной модели задать собственным вектором. Рассмотрим модель , для которой . Затем, положив , получаем таблицу 2.2.

Таблица 2.2. Прогон линейной модели с собственным вектором в качестве начальных значений.

0 

1            

2            

3            

…           …

Строки в таблице 2.2 описываются одной формулой . Это означает, что, когда начальный вектор является собственным вектором, моно вывести простую формулу для всех последующих значений . Заметим, что эта формула использует скалярную экспоненту точно так же, как было в соответствующей формуле из линейной модели главы 1. Единственное различие заключается в том, что экспонента умножается на собственный вектор начальных значений популяции, а не на единственное начальное значение популяции, используемое в главе 1.

Пример. Если модель леса с  и вектор начальных значений , то получим . Таким образом, с увеличением времени компоненты вектора  будут уменьшаться, хоть и довольно медленно, но до 0.

Есть, по крайней мере, два вопроса, которые вызывают лёгкое недоумение при первом изучении темы: 1) Поскольку численности групп в популяции не могут быть отрицательными, как в этой модели интерпретировать собственный вектор с отрицательными компонентами? 2) Как был найден собственный вектор ? Далее обратимся к первому из этих вопросов, а второй ожидает рассмотрения в следующем разделе.

Зададимся вопросом об интерпретации собственных векторов на примере лесной модели с матрицей , которая имеет два собственных вектора. Если начинать моделирование с численности популяции, которая не является одним из собственных векторов, то как тогда использовать собственные векторы, для описания динамики повеления модели?

Ключевая идея состоит в том, чтобы попытаться выразить начальный вектор значений численности популяции в терминах собственных векторов. В частности, учитывая начальный вектор популяции , найдём два скаляра,  и , такие, что .

Задача эквивалентна решению матричного уравнения .

Заметим, что матрица, появляющаяся в этом уравнении, имеет собственные векторы матрицы  в качестве своих столбцов. Составленное уравнение можно решить при условии, что такая матрица обратима. Итак, была проиллюстрирована 2 × 2- версия следующей теоремы.

Теорема. Пусть  это -матрица, имеющая  собственных векторов, образующих столбцы матрицы . Тогда, если  обратима, то любой вектор представим линейной комбинацией собственных векторов.

Пример. Когда проводилось численное исследование модели леса, использовали исходный вектор популяции . Матрица собственных векторов равна . Чтобы решить уравнение , вычисляем . Таким образом, поучили . Следовательно, .

Техническое замечание: не каждая матрица имеет собственные векторы, которые можно использовать в качестве столбцов для формирования обратимой матрицы . Однако можно доказать, что если матрица не обладает свойством обратимости, то, изменив её элементы на «сколь угодно малую» величину, можно получить матрицу, которая будет обратимой. Более того, «почти все» матрицы в действительности обладают свойством обратимости – если генерировать матрицу случайным образом, то она с вероятностью близкой в 1 имеет свойство обратимости. Последствия этих фактов для применения теории собственных векторов к математическим моделям заключаются в том, что нет необходимости беспокоиться о недостаточном количестве хороших собственных векторов.

Теперь, когда пришло понимание, как выразить вектор начальных значений через собственные векторы, возникает естественный вопрос, где использовать это выражение? Пусть -матрица  имеет  собственных векторов , чьи собственные значения равны  соответственно. Представим начальный вектор  как . Тогда получим, . Но каждый член последнего выражения представляет собой результат умножения матрицы  на собственный вектор, поэтому .

Теперь , и поскольку каждый член это опять-таки результат умножения матрицы  на собственный вектор, получим . Продолжая умножение на , получаем общую формулу .

Понимание природы собственных векторов позволило найти формулу для вычисления значений  в любой момент времени . Обратите внимание на сходство этой формулы с соответствующей для мальтузианской модели главы 1. Хотя есть несколько слагаемых, по своей совокупности каждое из них имеет простую экспоненциальную форму, которая уже знакома.

Пример. Для популяции, возникающей в ходе численного эксперимента с моделью леса, ранее уже представлялся . Теперь можно спокойно вычислить значение вектора  при любом наперёд заданном .

Таким образом, найдена формула, дающая значения любой из строк в таблице 2.1, которые изначально получались в результате громоздких вычислений. Попробуйте выбрать несколько произвольных значений , чтобы убедиться в том, как получаются ровно те же результаты, которые ранее были занесены в таблице. Отметим также, что выведенные формулы дают возможность ясно понять, как именно популяция приближается к равновесию в точке  по мере роста значений .

Как это работает? Что касается собственного вектора, то его умножение на матрицу такое же, как умножение на скаляр (собственное значение). Таким образом, начальные значения, заданные собственными векторами, будут иметь легко прогнозируемое поведение (экспоненциальный рост или спад). Если разложить любой начальный вектор на собственные векторы, то можно понять влияние модели на исходный вектор через его влияние на собственные векторы, как на своеобразные новые базисные вектора линейного пространства, преобразуемого матрицей перехода в данной модели.

Зададимся вопросом асимптотического поведения модели. Зная матрицу перехода  в линейной модели  и зафиксировав вектор начальных значений , можно найти явную формулу для вычисления значений : если  являются собственными значениями  соответствующими собственным векторам , можно выразить   в виде линейной комбинации  и найти .

Эта форма записи  дает исчерпывающую информацию о модели. Предположим, например, что все  удовлетворяют неравенству; тогда, степени  стремятся к 0, а численность популяции  также устремлена в   по  мере увеличения . С другой стороны, если хотя бы для одного  имеем  и соответствующий множитель , то  будет иметь слагаемое экспоненциального роста. Также видим, что отрицательное значение  должно производить некоторую форму колебательного движения, потому что его значение чередуется по знаку. Внимательный анализ формулы таким образом показывает, что собственные значения матрицы перехода в действительности являются ключом к качественному описанию поведения модели.

Определение. Собственные значения матрицы , которые являются наибольшими по абсолютной величине, называются доминирующими собственными значениями матрицы . Соответствующий им собственный вектор называется доминирующим собственным вектором.

Обратите внимание, на множественное число доминирующих собственных значений в определении, потому что несколько собственных значений могут иметь одинаковое абсолютное значение. Если существует собственное значение, абсолютное значение которого строго больше всех остальных (например,  для всех ), говорим, что он строго доминирует.

Перенумеровав собственные значения таким образом, чтобы  было доминирующим, получим выражение .

Предполагая, что  является строго доминирующим, получим  для всех . Так как увеличение  уменьшает все слагаемые, за исключением первого, отбрасывание стремящихся к нулю слагаемых показывает, что поведение вектора  аппроксимируется .

Таким образом, в целом модель отображает примерно экспоненциальный рост или спад, в зависимости от доминирующего значения . Например, модель, изображенная рисунке 2.2. должна иметь доминирующее собственное значение больше, чем 1, так как график показывает экспоненциальный рост.

Доминирующее собственное значение описывает основной компонент поведения модели. Для линейной модели популяции доминирующее собственное значение часто называют внутренним темпом роста популяции, и это единственное наиболее важное число, описывающее, как популяция меняется с течением времени. Это яркий пример сводной статистики, потому что извлекается наиболее важная характеристика из всех элементов матрицы перехода.

Однако выведенное уравнение может рассказать больше. Разделив каждую его часть на , получим . При , имеем  .

Другими словами, если пытаться нейтрализовать рост, который модель предсказывает для , вектор значений просто устремится к кратному доминирующему собственному вектору. Поэтому для большого  компоненты вектора  должны быть примерно в тех же пропорциях друг к другу, что и компоненты вектора . Это можно было наблюдать на рисунке 2.2 после того, как прошли первые несколько временных шагов.

Поэтому для популяционной модели доминирующий собственный вектор часто называют стабильным возрастным распределением или стабильным распределением стадий, потому что он дает пропорции популяции, которые должны появляться в каждом возрастном или сценическом классе, как только обнаруживаем тенденцию роста.

До этого момента избегали комментировать значения коэффициентов  в выводимых уравнениях.  Напомним, что они были найдены как вектор  решения уравнения , где  – матрица с собственными векторами в качестве столбцов. Это означает, что если изменить , то изменятся и значения . Только через  исходный вектор  раскладывается в формулах на линейную комбинацию из собственных векторов.

Несмотря на то, что ранее это не указывалось, обсуждение темпов роста и стабильного распределения фактически требовало предположения о том, что . Если углубиться в этот вопрос, то придем к довольно существенному выводу: основные черты качественного поведения моделей – синтетического роста и стабильного распределения – являются независимыми от их собственного вектора. Только доминирующий собственный вектор и собственное значение говорят о наиболее важных особенностях модели. Этот результат иногда называют сильной эргодической теоремой для линейных моделей или, в контексте популяционных моделей, фундаментальной теоремой демографии.

Хотя определенные варианты значений  могут привести к , это происходит очень редко; для большинства вариантов  ожидается . Более того, во многих случаях можно доказать, что  для всех статистически значимых вариантов значений .

Пример. Рассмотрим модель Ашера для популяции с двумя классами стадий, заданными матрицей перехода .

Поскольку есть только два класса, можно сделать некоторые предположения относительно того, как должна измениться популяция. Обратите внимание, что каждая взрослая особь производит двух потомков, но только половина из них доживает до зрелого возраста. Если бы нижний правый элемент не был бы равен , можно было бы ожидать стабильного размера популяции, но небольшая часть взрослых особей, выживает после каждой итерации и, следовательно, размножаются снова, это должно привести к росту популяции. Поскольку доля взрослых особей, выживающих в течение дополнительного временного этапа, невелика, популяция, вероятно, будет расти медленно.

Воспользуемся компьютером для вычисления собственных векторов и собственных значений.

P=[0, 2; .5, .1]

[V,D]=eig(P)

Получим  , .

Это означает, что если задать первоначальную популяцию, которая здесь не была приведена, как  , для некоторых чисел  и  все будущие популяции будут предопределены следующим образом: .

Первое слагаемое срок здесь приведет к медленному росту, в то время как второе слагаемое уменьшается в размерах. Обратите внимание, что знак собственного значения во втором члене заставит числа в этом члене колебаться между отрицательными и положительными значениями постепенно приближаясь к нулю. Это означает, что если выберем любую начальную популяцию, рассчитаем будущие популяции и построим их график, то должны ожидать медленной экспоненциальной тенденции роста с наложенным на нее затухающим колебанием. Можно это увидеть на примере двух вариантов начальных векторов популяции на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3. Две симуляции линейной модели обнаруживают схожие качественные характеристики, несмотря на разные начальные значения.

Стабильное распределение ступеней модели задается вектором . Несмотря на то, что популяция продолжает расти, по прошествии достаточного количества времени можно наблюдать популяцию из двух классов примерно в постоянной пропорции . То есть на каждого взрослого будет около  незрелых.

Было доказано много теорем о конкретных типах матриц, появляющихся в моделях Лесли и Ашера. Одной из них является следующая.

Теорема. Модель Лесли, в которой две последовательные возрастные категории являются фертильными (т. е. имеющие как , так и ), будет иметь положительное реальное строго доминирующее собственное значение и, следовательно, стабильное распределение по возрасту.

Хотя такие теоремы полезны для общих утверждений о том, как должны вести себя популяции, когда дело доходит до какой-либо конкретной модели, всегда необходимо фактически найти собственные векторы и собственные значения.

Завершим параграф небольшим экскурсом в комплексные числа. Как увидите в дальнейшем, вычисляемые в приведённых выше примерах собственные векторы и собственные значения, немного вводят в заблуждение, поскольку собственные векторы и собственные значения часто оказываются с комплексными числами вида , содержащими вместе с действительными числами  и  мнимую единицу , то есть такое число, для которого . Ясно, что среди действительных чисел такой единицы не существует. Несмотря на это, дальнейшее обсуждение асимптотического поведения динамических моделей будет возможным, если понять, как вычислить модуль комплексного числа.

Определение.  Модуль комплексного числа  равен  .

Обратите внимание, что если , то это обычное значение абсолютного значения для вещественных чисел. Кроме того, , а  только тогда, когда , как и хотелось бы для чего-то, что претендует на измерение числа по абсолютной величине. Менее очевидными свойствами являются перечисленные в теореме:

Теорема. Для любых вещественных чисел ,

а)

б)

в) .

Обратите внимание, что все три свойства модуля очевидно верны и в частном случае, когда  и , тогда абсолютное значение просто означает то, с чем знакомы для вещественных чисел.

Доказательство утверждения (а) представляется как упражнение и просто требует аккуратно выполнить умножения с каждой стороны. Утверждение (б) получается неоднократным применением (a) к самому себе, так как . Утверждение (в) также следует из (а), если предварительно умножить уравнение (в) на , чтобы освободиться от знаменателя.

Чтобы увидеть, как на асимптотическое поведение линейной модели влияют комплексные собственные значения, вернёмся к предыдущему пункту. Даже если некоторые из собственных значений  являются комплексными числами, в случае, когда  является строго доминирующим, то есть  для всех , рассуждая по свойству (в) теоремы, получим  как и раньше, а далее   устремится к 0 по мере увеличения t. По свойству (б) теоремы это означало бы, что  стремится к 0. Поэтому должно быть то, что соответствует 0. Как и прежде видим, что все члены разложения в линейную комбинацию собственных векторов в скобках, за исключением первого, становятся бесконечно малыми по мере увеличения . Предыдущие рассуждения по-прежнему действительны, даже когда некоторые собственные значения комплексны.

Хотя появление комплексных собственных значений может сначала сбивать с толку, как только поймете, что важно лишь их значение по абсолютной величине, они не создают никаких трудностей для анализа модели. Их присутствие обычно приводит к нерегулярным колебаниям в части поведения модели, так же как колебания вызывали отрицательные собственные значения. Для популяционных моделей строго доминирующее собственное значение всегда будет действительным числом.

Задачи для самостоятельного решения:

2.3.1. Примените MATLAB для исследования модели , рассмотренной выше. Покажите, что для различных вариантов начальных значений популяции модель ведет себя точно так, как можно было бы предсказать, зная только два её собственных значения.

2.3.2. В MATLAB для вычисления собственных векторов и собственных значений матрицы  используется следующая команда: [S,D]=eig(A)

Столбцы матрицы  будут собственными векторами, а соответствующие диагональные элементы матрицы  их собственными значениями.

Используйте MATLAB для вычисления собственных векторов и собственных значений для матрицы  для моделирования леса. Совпадут ли они с приведенными в тексте раздела? Объясните возникшее отличие.

2.3.3. Используйте MATLAB для вычисления собственных значений матрицы, приведенной в Разделе 2.2, описывающего модель популяции растений. Объясните, как собственные значения связаны с графиком на рисунке 2.2.

2.3.4. Рассмотрим модель из раздела 2.2, но для другого растения, матрица перехода которого полученная путем замены всех элементов в первой строке и столбце исходной матрицы на 0.

а. С интуитивной точки зрения, каков смысл замены указанных элементов на 0?

б. Вычислите доминирующее собственное значение для каждой модели. Изменились ли внутренние темпы роста? Изменились ли внутренние темпы роста так, как вы и предполагали? Объясните, почему.

в. Если семена мало влияют на внутреннюю скорость роста растения, то почему они, по-видимому, являются благоприятными для вида в целом?

2.3.5. Рассмотрим модель Лесли с .

а. Размышляя о значении каждого элемента в этой матрице, как вы думаете, описывает ли она растущую или сокращающуюся популяцию? Как полагаете, размер популяции будет меняться быстро или медленно?

б. Вычислите собственные вектора и собственные значения модели с помощью MATLAB.

в. Каковы внутренние темпы роста? Каково стабильное распределение стадий?

г. Выразите начальный вектор  в виде линейной комбинации собственных векторов.

д. Используйте ответ из части (г), чтобы записать формулу для популяционного вектора .

2.3.6. Повторите решение предыдущей задачи для модели Ашера при  с .

2.3.7. Найти скорость роста и стабильное распределение стадий модели популяции койота, матрица перехода в которой равна . Популяция будет расти или уменьшаться? Быстро или медленно?

2.3.8. Найдите внутренние темпы роста и стабильное распределение по возрасту для модели, описанной задаче 2.2.2. Напомним, что временной шаг для этой модели составлял 5 лет. Как выразить внутренние темпы роста на ежегодной основе?

2.3.9. Предположим, что простая модель разбивает множество всех аспирантов математических специальностей на две группы, не защитивших диссертации и группу защитивших. Только одна шестая часть аспирантов доходит до зашиты и сами становятся научными консультантами, остальные отчисляются. Среднестатистический научный консультант воспитывает пятерых аспирантов на временном этапе. Наконец, три четверти научных консультантов отходят от дел, после защиты своих аспирантов, на каждом временном этапе, в то время как остальные продолжают плодотворную работу.

а. Смоделируйте эту ситуацию с помощью матрицы перехода в линейной модели. Это модель Лесли или Ашера, или ни то, ни другое?

б. Вычислите собственные векторы и собственные значения матрицы перехода с помощью MATLAB.

в. Каковы внутренние темпы роста модели? Каково стабильное распределение двух описанных стадий становления профессионального математика?

2.3.10. Докажите, что модуль комплексных чисел удовлетворяет свойству мультипликативности нормы .

Проектные работы:

1. Рассмотрим конкретную модель Лесли с двумя возрастными группами. После интерпретации каждого элемента матрицы исследуйте поведение вашей модели экспериментально, используя MATLAB для различных начальных популяций, включая собственные векторы матрицы. Объясните, как собственные значения и собственные векторы отражаются в поведении, которое видите при построении графиков популяций с течением времени. Повторите исследование для нескольких других матриц.

Рекомендации

 Начните с модели Лесли , используя последовательность команд MATLAB, например:

P=[1/8 6; 1/5 0]

x=[10; 990]

xhistory=x

x=P*x, xhistory=[xhistory x]

x=P*x, xhistory=[xhistory x]

x=P*x, xhistory=[xhistory x]

…

plot(xhistory')

 Для различных вариантов начальных популяций опишите, что, по-видимому, происходит с популяциями с течением времени. Численность членов в каждой группе становится больше или меньше? Колеблются ли они? Рассчитайте соотношение незрелых особей к взрослым в разное время. Как меняется это соотношение? Повторите эту работу с несколькими различными вариантами начального вектора. Качественно опишите все виды поведения, которые увидите.

 Вычислите собственные векторы и собственные значения матрицы , введя:

[S,D]= eig(A)

Используйте первый собственный вектор в качестве начального вектора, введя:

x=S(:,1)

и проведите численный эксперимент, включая построение графика. Повторите вышесказанное, используя второй собственный вектор, полученный командой:

x=S(:,2)

Опишите поведение модели в случае взятия этих значений в качестве начальных векторов. Чем будет отличаться поведение? Что осталось прежним? Как собственные значения влияют на такое поведение?

 Как поведение, которое наблюдается при использовании собственных векторов в качестве начальных, отражается на поведении, которое видели при других начальных векторах?

 Повторите все вышесказанное на нескольких других моделях, таких как: , , .

Объясните интуитивно, почему каждая из этих моделей демонстрирует то или иное поведение. Затем объясните в терминах собственных значений и собственных векторов матрицы, почему происходит такое поведение.

 Охарактеризуйте возможное поведение этих -матричных моделей с точки зрения знака и абсолютной величины собственных значений.

2. Модели Лесли и Ашера можно использовать для разработки методических рекомендаций, чтобы помочь сокращающимся популяциям восстановиться. Хорошо известным примером этого было исследование популяций морских черепах, которое выполнили Краус и его последователи в 1987 году. В проведённом исследовании с математической точностью обосновывалась необходимость использования специальных устройств для исключения попадания черепах в сети с креветками.

Подобное вмешательство может быть разработано таким образом, чтобы воздействовать на любой из элементов в матрице Лесли, моделирующей популяцию. Поскольку доминантное собственное значение матрицы определяет общую скорость роста, необходимо изучить, как изменения элементов в матрице, влияют на доминантное значение. Определение эффекта небольших изменений в каждом из элементов иногда называют анализом чувствительности. Представьте себе находящуюся под угрозой исчезновения популяцию, сгруппированную в незрелые и зрелые подгруппы и смоделированную моделью Ашера с матрицей .

Проанализируйте влияние небольших изменений в каждом из ненулевых элементов матрицы на динамику развития популяции.

Рекомендации

 Каково доминирующее собственное значение модели? Как быстро популяция будет увеличиваться или сокращаться, если не будет внесено никаких изменений?

 Для матрицы , какие значения  дают значимую с прикладной точки зрения модель? Для различных значений  в этом диапазоне вычислите доминирующее собственное значение . Представьте результаты вычислений в виде таблицы и в виде графика функции  от . Для этого могут пригодиться следующие команды в MATLAB:

lambda1vec=[]

cvec=[0:.1:1]

for c=cvec

 A=[ 0 1.7;c .1]

 lambda1=max(eig(A))

 lambda1vec=[lambda1vec, lambda1]

end

plot(cvec, lambda1vec)

 Если уже прочитали следующий раздел, найдите формулу для  как функцию от ? Согласуется ли график этой функции с тем, что изобразили ранее?

 Если стратегия активного вмешательства попытается изменить элемент  в этой матрице, опишите в математических терминах, каким может получиться результат от таких действий. Какое значение параметра  должно быть достигнуто, чтобы популяция восстановилась?

 Повторите анализ, чтобы понять влияние изменения других ненулевых элементов матрицы.

 Независимо от стоимости реализации любого плана восстановления популяции, какой элемент, по вашему мнению, было бы наиболее эффективно попытаться изменить? Решение каких вспомогательных задач может понадобиться для того, чтобы лучше понять динамику популяции и адекватно ответить на этот вопрос?

 Почему план изменения коэффициента рождаемости на небольшую величину может иметь затраты, отличные от затрат на реализацию плана по изменению коэффициента выживаемости?

 Выполните анализ чувствительности модели Лесли или Ашера, описанной произвольной матрицей большего размера.