Читать книгу Математические модели в естественнонаучном образовании. Том II - Денис Владимирович Соломатин - Страница 4

На практике метод UPGMA и FM-алгоритм редко используются для построения дерева, потому что существует дистанционный метод, который как правило работает лучше, чем любой из них. Тем не менее идеи, лежащие в их основе, помогают понять популярный алгоритм присоединения соседей, на котором сосредоточимся в дальнейшем. Чтобы понять, почему UPGMA или FM-алгоритм могут быть ошибочными, рассмотрим метрическое дерево с 4 таксонами на рисунке 5.15. Здесь  и  представляют определенные длины, причем  намного меньше, чем . Говорим, что вершины  и  в этом дереве являются соседями, потому что ребра, ведущие от них, соединяются в общей вершине. Точно так же  и  являются соседями, но  и  – нет.

Рисунок 5.15. 4-таксонное метрическое дерево с дальними соседями, .

Предположим, что метрическое дерево на рисунке 5.15 описывает истинную филогению таксонов. Тогда идеальные данные дадут нам расстояния в таблице 5.10.

Таблица 5.10.  Расстояния между таксонами на рисунке 5.15

           3х           x+y         2х + y

                         2x+y      x+y

                                         x+2y

Но, если  намного больше  (на самом деле,  уже достаточно хорошо), то ближайшими таксонами по расстоянию являются  и , которые не являются соседями. Таким образом, UPGMA или FM-алгоритм, выбирая ближайшие таксоны, выбирает для присоединения не соседей. Самый первый шаг соединения будет неправильным, и как только присоединимся к не соседям, то не восстановим истинное дерево. Суть проблемы заключается в том, что если молекулярные часы не работают, как в случае с деревом на рисунке 5.15, то ближайшие таксоны по расстоянию не обязательно должны быть соседями по дереву.

Вопросы для самопроверки:

– Если  намного меньше , то откуда уверенность в том, что молекулярные часы не работают в эволюции, описанной деревом на рисунке 5.15?

Рисунок 5.16. Дерево с соседями  и .

Таким образом, выбор ближайших таксонов для присоединения ввел заблуждение; нужен более сложный критерий выбора таксонов для присоединения. Чтобы изобрести его, представьте себе дерево, в котором таксоны  и  являются соседями, соединенными в вершине , а  каким-то образом соединена с оставшимися таксонами , как показано на рисунке 5.16.

Если данные точно соответствуют этому метрическому дереву, то для каждого , дерево будет включать поддерево, подобное изображенному на рисунке 5.17.

Рисунок 5.17. Поддерево дерева на рисунке 5.16.

Но на этом рисунке видим, что , так как в сумму слева входят только длины четырех ребер, отходящих от листьев дерева, а в сумму справа – все они и, кроме того, удвоенная длина центрального ребра. Это неравенство называется 4-точечным условием для соседей. Если  и  являются соседями, то неравенство верно для любых значений  из диапазона от 3 до .

Условие 4-точек лежит в основе метода присоединения соседей, но предстоит еще много работы, чтобы перевести его в простую для применения форму. Для фиксированного  существует  возможных значения  удовлетворяющих условию  при . Если просуммировать 4-точечные неравенства по этим , то получим следующее неравенство, содержащее сумму расстояний .

Чтобы упростить это неравенство, определим общее расстояние от таксона  до всех других таксонов как , где расстояние  в сумме интерпретируется как 0, естественным образом. Затем, добавление  к каждой стороне исходного неравенства позволяет записать его в более простой форме следующим незамысловатым образом .

Вычитание  из частей неравенство придает ему ещё более симметричную форму .

Наконец, если рассмотреть эту последовательность действий для произвольных  и , а не только для  и , то можно ввести обозначение .

Тогда, если  и  являются соседями, то имеет место  для всех .

Это дает критерий, используемый в методе присоединения соседей: из данных расстояний , заполоняется новая таблица значений . Затем для соединения выбирается пара таксонов с наименьшим значением . Приведенный выше вывод формулы для вычисления  показывает, что если  и  являются соседями, то соответствующее им значение  будет наименьшим из значений в -й строке, -м столбце таблицы. Более глубокий анализ, который провели Штудер и Кеплер в 1988 году, показывает, что если данные идеально подходят к дереву, то наименьшая запись во всей таблице значений  будет указывать на пару таксонов, которые являются соседями.

Поскольку полный алгоритм присоединения соседей довольно сложен, приведём лишь краткое описание этого метода:

Шаг 1: Учитывая данные о расстоянии для  таксонов, вычислите новую таблицу значений . Выберите наименьшее значение, чтобы определить, к каким таксонам присоединиться. Это значение как правило оказывается отрицательным; в этом случае «наименьшее» означает отрицательное число с наибольшим значением по абсолютной величине.

Шаг 2: Если  и  должны быть соединены на новой вершине , временно сверните все остальные таксоны в одну группу  и определите длины рёбер от  и  до , используя 3-точечные формулы из предыдущего раздела для ,   и , как в FM-алгоритме.

Шаг 3: Определите расстояния от каждого из таксонов  в  до , применив 3-точечные формулы к данным расстояния для 3 таксонов ,  и . Теперь включите  в таблицу данных о расстоянии и отбросьте  и .

Шаг 4: Таблица расстояний теперь включает  таксонов. Если есть только 3 таксона, используйте 3-точечные формулы для завершения работы алгоритма. В противном случае вернитесь к шагу 1.

Как уже можете видеть, метод присоединения соседей утомительно реализовывать вручную. Несмотря на то, что шаги относительно просты, легко потеряться в процессе с таким количеством арифметики. В упражнениях найдете пример частично отработанных данных, с которыми нужно завершить алгоритм, для лучшего понимания шагов. После этого предлагается написать и использовать компьютерную программу, чтобы избежать ошибок.

Точность различных методов построения деревьев – трех, описанных до выше в этой главе, и многих других – проверялась в первую очередь путем моделирования мутаций ДНК в соответствии с определенными филогенетическими деревьями, а затем применяя разные методы, сравнивали, как часто они восстанавливают правильное дерево. Некоторые исследования также были проведены с реальными таксонами, связанными известным филогенетическим деревом; деревья, построенные из последовательностей ДНК с использованием различных методов, можно было затем сравнить с заведомо правильным деревом. Эти тесты привели исследователей к большей уверенности в результативности описанного метода присоединения соседей, чем других методах, которые обсуждали ранее. Хотя UPGMA или FM-алгоритм могут быть надежными при некоторых обстоятельствах, метод присоединения соседей хорошо работает с более широким диапазоном данных. Например, если молекулярные часы не существуют, то лучше использовать метод присоединения соседей, поскольку он не предполагает неявных допущений о молекулярных часах. Поскольку в настоящее время накоплено много данных, указывающих на то, что гипотеза молекулярных часов часто нарушается, таким образом метод присоединения соседей становится предпочтительным дистанционным методом для построения дерева.

Задачи для самостоятельного решения:

5.3.1. Перед проработкой примера, в целях более глубокого понимания метода присоединения соседей, полезно вывести формулы используемые на шаге 2 и 3 изложенного алгоритма. Предположим, что решили объединить  и  на шаге 1.

а. Покажите, что на шаге 2 расстояния от  и  до внутренней вершины  могут быть найдены по следующим формулам: , .

Затем покажите, что вторая из этих формул может быть заменена на .

б. Покажите, что на шаге 3 расстояния от  до , для , могут быть вычислены с помощью формулы .

Таблица 5.11.  Расстояния между таксонами для задачи 5.3.2

           .83         .28         .41

                         .72         .97

                                        .48

5.3.2. Рассмотрим данные о расстояниях, приведенные в таблице 5.11. Используйте алгоритм присоединения соседей для построения дерева следующим образом:

а. Вычислите , ,  и , а затем заполните таблицу значений  для таксонов , ,  и .  Для начала посчитаем  и , получим .

б. Если правильно справились с частью (а), то должно получиться несколько пар, имеющих одинаковое наименьшее значение . Одним из таких наименьших значений является , поэтому попробуем сначала присоединиться к  и .

Для новой вершины , с соединяются  и  , вычислите  и  по формулам из части (a) предыдущей задачи.

в. Вычислите  и  по формулам из части (б) предыдущей задачи.

Поместите свои ответы в новую версию таблицы расстояний 5.12.

г. Поскольку осталось только 3 таксона, используйте 3-точечные формулы, чтобы поместить ,  и  в дерево.

д. Нарисуйте последнее дерево, присоединив  и  к  с расстояниями, найденными в части (б).

Таблица 5.12.  Групповые расстояния для задачи 5.3.2

            ?             ?

                         .72

Таблица 5.13. Расстояния таксонов для задачи 5.3.3

           .3           .4           .5

                         .5           .4

                                        .7

5.3.3. Рассмотрим данные о расстояниях в таблице 5.13, которые точно соответствуют дереву с рисунка 5.15, при  и .

а. Используйте UPGMA для восстановления дерева на основе этих данных. Применим ли этот метод?

б. Используйте метод присоединения соседей, чтобы восстановить дерево из этих данных. Применим ли этот метод?

5.3.4. Выполните алгоритм присоединения соседей на данных о расстояниях, используемых в примерах из раздела 5.2. Чтобы использовать MATLAB для этого в первом примере, введите массив расстояний D=[0 .45 .27 .53; 0 0 .40 .50; 0 0 0 .62; 0 0 0 0] и названия таксонов Taxa={'S1','S2','S3','S4'}, затем запрограммируйте функцию nj, реализующую построение дерева методом присоединения соседей, чтобы можно было её использовать nj(D,Taxa{:}).

а. Построит ли метод присоединения соседей на примере с 4 таксонами то же самое дерево, что и метод UPGMA?

б. Производит ли метод присоединения соседей на примере с 5 таксонами то же самое дерево, что и FM-алгоритм?

5.3.5. Используйте расстояние Джукса-Кантора и программу построения деревьев методом присоединения соседей из предыдущей задачи для смоделированных данных последовательности ранее сохранённых в seqdata.mat. Сравните полученные результаты с результатами, полученными другими методами в задачах 5.2.9-5.2.12 предыдущего раздела. Как повлияли на результаты молекулярные часы, работающие в симуляции?

а. Данные a1, a2, a3 и a4 смоделируйте в предположении с молекулярными часами

б. Данные b1, b2, b3, b4 и b5 смоделируйте без молекулярных часов.

5.3.6. Сгенерируйте с использованием 2-параметической модели Кимуры последовательности c1, c2, c3, c4, c5 и сохраните их в seqdata.mat.

а. Даже не зная заранее, какая именно модель была использована, как сравнение некоторых из этих последовательностей поможет определить, что именно 2-параметрическое расстояние Кимуры было бы хорошим выбором для моделирования этих последовательностей?

б. Постройте дерево методом присоединения соседей, используя значение расстояния вычисляемого 2-параметрическим методом Кимуры.

в. Соответствует ли полученное дерево гипотезе молекулярных часов хотя бы приближенно? Обоснуйте свою точку зрения.

5.3.7. Сохраните последовательности d1, d2, d3, d4, d5 и d6 в файл seqdata.mat.

а. Выберите формулу расстояния для использования на этих последовательностях и объясните, почему сделанный выбор оптимален.

б. Постройте дерево методом присоединения соседей из имеющихся данных.

в. Один из этих 6 таксонов является внешней группой, которая была включена для того, чтобы получить корневое дерево на оставшихся 5. Какая именно из них является внешней группой? Нарисуйте корневое метрическое дерево, относящее к оставшимся таксонам.