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Haciendo pie en el fangal de los fundamentos

Durante sus estudios de ingeniería aeronáutica en Manchester, Wittgenstein hizo un recorrido intelectual extraordinario; en poco tiempo pasó del interés por la construcción de máquinas para volar a un fervor obsesivo con la filosofía de las matemáticas. Como relata su discípulo finlandés Georg H. von Wright en la sucinta biografía de Wittgenstein que escribió a partir del testimonio de su maestro, el estudiante austríaco de diecinueve años se interesó rápidamente en la construcción de una hélice a reacción para aviones:

Al principio, fue el motor el que absorbió su interés, pero pronto se concentró en el diseño de la hélice, que era esencialmente una tarea matemática. Fue en esta época que los intereses de Wittgenstein comenzaron a cambiar, primero a las matemáticas puras y luego a los fundamentos de las matemáticas. (23)

Según diversos biógrafos del autor del Tractatus, ya en su primer año de estudios, en 1908, se había cristalizado ese interés creciente por la filosofía de las matemáticas. En ese contexto, alguien le sugirió una lectura. Se trataba de un libro que había sido publicado cinco años antes y que marcó un antes y un después en la vida del austríaco: The Principles of Mathematics (1903), de Bertrand Russell.

Seguramente hay pocos ejemplos del efecto de un libro en su capacidad de decidir de una vez para siempre la vocación teórica de un joven estudiante. Lo que el texto de Russell le presentó fue una puerta abierta a un conjunto fascinante de problemas, y una invitación a incorporar otras lecturas de autores de la época, especialmente los textos de Frege que incluso para el mismo Russell, por mero desconocimiento de lo trabajado por su colega alemán en la década precedente, a la hora de publicar su libro eran una novedad acuciante. El libro se cerraba, además, con un desafío que no podía sino ser el tipo de incentivo que el joven austríaco parecía necesitar: “no he alcanzado a descubrir cuál puede ser la solución completa de la dificultad; pero como afecta los mismos cimientos del razonamiento, encomiendo seriamente su estudio al interés de todos los estudiantes de lógica”. (24)

La historia del desarrollo decimonónico de la fundamentación de la matemática se cerraba, y se abría hacia el siglo XX, con aquel libro de 1903 cuyo final, cuya última línea, planteaba un tembladeral y formulaba una convocatoria. Wittgenstein supo que no podía ser ajeno a los nuevos capítulos de esa historia. Pero, ¿cómo se había llegado ahí?

El desarrollo de la filosofía de las matemáticas fue de la mano durante el siglo XIX de la crítica a la crítica kantiana y a sus consideraciones acerca de las modalidades. La defensa de la posibilidad de los juicios sintéticos a priori, y la concepción de la aritmética y de la geometría como conformadas por juicios de ese tipo, fue el blanco de una tradición que derivó en el proyecto logicista cuyas esquirlas advirtió el joven Ludwig al leer el libro de Russell. El primer gran héroe de dicha tradición fue Bernard Bolzano, nacido en el Reino de Bohemia, luego anexado al Imperio de los Habsburgo, antecedente del Imperio austrohúngaro donde nació y al que sirvió militarmente Wittgenstein. Con Bolzano se inicia lo que se ha dado en llamar “tradición semántica”, la cual ha sido presentada en términos bélicos:

La tradición semántica puede ser definida por su problema, su enemigo, su objetivo y su estrategia. Su problema fue lo a priori; su enemigo, la intuición pura de Kant; su propósito, desarrollar una concepción de lo a priori en la cual la intuición pura no jugara ningún papel; su estrategia, basar esa teoría en el desarrollo de una semántica. (25)

La línea argumentativa de Kant era clara: tras distinguir los juicios analíticos de los sintéticos en términos de asignación a un sujeto de un predicado que estuviese ya contenido o no, respectivamente, en el concepto de aquel sujeto, se defiende la idea de que un enlace que agregue contenido no puede sino corresponderse con la presencia de una intuición que permita la ligazón. Pero, siendo la aritmética y la geometría claramente a priori, dar cuenta de su carácter informativo, esto es, sintético, demanda defender la posibilidad de que haya intuiciones puras, que no tengan origen empírico. La apelación a las formas puras de la intuición del tiempo y el espacio es la solución kantiana para dar cuenta del carácter sintético a priori de la aritmética y la geometría, respectivamente.

La línea crítica que se inicia con Bolzano y desemboca en las obras de Frege y Russell supuso una reconsideración de las caracterizaciones kantianas de lo analítico y lo sintético, de modo de mantener el carácter necesario y a priori de la aritmética sin la apelación a la dimensión de la intuición no empírica (el caso de cómo considerar a la geometría generó más controversias internas a la tradición semántica). Para salvar el carácter a priori de las matemáticas sin compromisos como los kantianos, se precisaba sortear la comprensión de sus enunciados como sintéticos. Así, se inicia una indagación sobre la idea misma de analiticidad, la cual iba a demandar una revisión completa de la noción de “forma lógica” que no culminaría hasta la publicación (y paulatina y escabrosa aceptación) de la propuesta de Frege en Conceptografía (1879), consistente en la elaboración de un nuevo lenguaje formal superador de la bimilenaria formalización aristotélica, y que no asumía como modelo constructivo a la dicotomía gramatical sujeto/predicado, sino a la dicotomía matemática función/argumento. Los esfuerzos de Bolzano por ofrecer una adecuada caracterización de las ideas de analiticidad y verdad lógica se cristalizaron finalmente en la revolución teórica que supondría el énfasis fregeano en la distinción entre forma lógica y forma gramatical. Tras siglos de confinamiento formal en la silogística, Frege proveía a la historia de la lógica y de las matemáticas lo que resultaría un poderoso instrumento para el cálculo y, también, para el quehacer filosófico: el lenguaje cuantificacional de predicados.

Dicho instrumento permitía, a su vez, ofrecer una caracterización distinta a la kantiana de la idea de analiticidad, la cual parecía depender del embrujo gramatical que había impedido durante más de dos mil años visualizar en toda su dimensión el escaso poder expresivo que tenía el lenguaje formal aristotélico en lo que respecta a la captura de la validez en matemática. Desechada, por embrujante, la idea de analiticidad entendida como contención del predicado en el sujeto, y una vez elaborada una nueva formulación de dicha idea en términos de deducibilidad a partir de leyes lógicas y definiciones, el nuevo poder expresivo y de cálculo obtenido merced al lenguaje de Conceptografía hacía posible prometer una salida al intuicionismo kantiano (al menos para la aritmética). Los juicios de la aritmética conservaban su carácter a priori, pero ahora podían ser pensados como analíticos, en la medida en que pudieran ser deducidos de leyes lógicas. Así fue como se consolidó el ideal logicista según el cual las leyes aritméticas son juicios analíticos y, por consiguiente, son a priori. La aritmética, por tanto, sería solamente una lógica más extensamente desarrollada.

El camino de Frege fue claro. En 1879, como vimos, produjo la invención de su conceptografía, que permitía una formalización adecuada a los fines de representar lo que él definió como “contenido conceptual” de una proposición. Unos años después, en su Fundamentos de la aritmética (Die Grundlagen der Arithmetik [1884]), se ocupó de tornar verosímil el proyecto logicista, dando cuenta de cómo enunciados que “extienden nuestro conocimiento pueden contener juicios analíticos”. (26) Finalmente la tarea principal, la de formalizar la lógica y derivar los teoremas de la aritmética, la tarea que probaría la tesis logicista de la reducibilidad de la aritmética a la lógica, fue llevada a cabo por Frege en Las leyes básicas de la aritmética (Grundgesetze der Arithmetik [1893/1903]), su obra magna, que le demandaría dos décadas y se publicara en dos tomos con una diferencia de diez años entre el primero y el segundo.

De 1903 es, como vimos, también el libro de Russell que cayó en manos de Wittgenstein durante sus estudios en Manchester. Dicho libro no era sino la presentación por parte de Russell de su propio desarrollo en la elaboración del programa logicista. Lo que en dicho libro encontró el joven Wittgenstein fue la irrupción de un drama intelectual. En efecto, en plena elaboración de su trabajo, Russell se topó, tardíamente, con el primer volumen de Grundgesetze… de Frege, advirtiendo que el maestro de Jena había desarrollado exhaustivamente el proyecto reductivo. Sin embargo, al leerlo, advirtió que en el mismo irrumpía una contradicción que demandaba una corrección urgente a fuer de demolición de todo el proyecto de fundamentación de la aritmética. Russell le envió una carta escrita en alemán a Frege el 16 de junio de 1902, en la que le anunciaba la contradicción hallada. Así quedó expresada, por primera vez y para siempre, la conocida Paradoja de Russell. (27)

Frege respondió inmediatamente, el 22 de junio, y la carta da cuenta de una integridad intelectual conmovedora en la que reconoce el fallo y en la que esboza alguna respuesta. (28) Estuvo a tiempo de agregar un apéndice al segundo volumen de su libro con una pretendida solución. Russell agregó a su libro un apéndice rindiendo honores a Frege y discutiendo lo aprendido en el primer volumen de Grundgesetze. Sin tiempo para una lectura pormenorizada del segundo volumen, sí pudo atender a la solución a la paradoja que Frege allí exponía, sugiriendo su aval. Sin embargo, pronto propuso su propia solución conocida como “Teoría de los Tipos”. En 1908, mientras Wittgenstein leía su libro de 1903, Russell publicaba en el American Journal of Mathematics la que consideraba era la solución, su solución, a su paradoja. Sin embargo, Frege desechó su propia propuesta volcada rápidamente en el volumen de 1903 y nunca lo convenció la solución de Russell. En el último manuscrito no publicado de Frege, sentencia la derrota del proyecto intelectual de toda su vida: “me he visto obligado a abandonar la opinión de que la aritmética sea una rama de la lógica y por lo tanto que todo en la aritmética puede ser probado lógicamente”. (29)

En 1908, enfrentarse a los problemas de la filosofía de la matemática era tener por delante un fangal que pugnaba por solidificarse. Wittgenstein no podía no adentrarse en él; un campo barroso es una invitación ineludible para alguien con una fuerte vocación de dejar huellas.

23- Von Wright (2001: 5).

24- Russell (1948: 644).

25- Coffa (2005: 47-48).

26- Frege (1971 [1884]: 115).

27- Frege se apoyaba para su definición de número en una comprensión de los conjuntos que daba lugar a que un conjunto pudiera ser elemento de sí mismo, en virtud de que, dada una propiedad cualquiera, un conjunto quedaba determinado. De aquel presupuesto se deducía la posibilidad en el sistema de un conjunto definible como el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Dicho conjunto es contradictorio pues o bien pertenece o bien no pertenece a sí mismo, y en cualquiera de los dos casos niega la definición que se dio del mismo. En consecuencia, dicho conjunto es el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, si y solo si no es el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos.

28- Para el intercambio epistolar Russell-Frege, véase van Heijenoort (1967: 124-128).

29- Véase Mosterín (1973: 12).