Читать книгу Die hauptsächlichsten Theorien der Geometrie - Gino Loria - Страница 12
ОглавлениеIn einer berühmten Mitteilung, die im Jahre 1848 der Berliner Akademie gemacht wurde, zeigte S t e i n e r, indem er die Theorie der Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Kurve wieder aufnahm, welche B o b i l l i e r (1797-1832) schon vordem[74] als eine Erweiterung der Diametralkurven Newtons und Cramers aufgestellt, und mit welcher auch G r a ß m a n n (1809-1877) sich beschäftigt hatte,[75] daß dieselbe als Grundlage für ein vom Gebrauche der Koordinaten unabhängiges Studium der ebenen Kurven dienen kann, und führte jene bemerkenswerten zu einer gegebenen Kurve covarianten Kurven ein, die heute seinen, Hesses und Cayleys Namen tragen. Diese kurzen Andeutungen, verbunden mit den Untersuchungen von S t e i n e r selbst, von C h a s l e s[76] und J o n q u i è r e s[77] über die Entstehung der algebraischen Kurven vermittelst projektiver Büschel von Kurven niederer Ordnung, dienten als Grundlage für die Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane,[78] in welcher C r e m o n a in einer einheitlichen Methode zugleich mit vielen neuen Resultaten alles auseinandersetzt, was wichtigeres von den analytischen Geometern, die ihm vorhergingen, erhalten worden war.
Bei dem außerordentlichen Interesse der Sache scheint es mir auch, daß man in die Reihe der schon zitierten Arbeiten auch die Serie von Abhandlungen zu stellen hat, in welchen C l e b s c h (1833-1872) zuerst die Algebra der linearen Transformationen auf die Geometrie angewandt hat, dann, nachdem er die Wichtigkeit des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve ins Licht gestellt, die Anwendung der Theorie der elliptischen[79] und Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft von der Ausdehnung darlegte und sie für das Studium der rationalen und elliptischen Kurven benützte.[80] Es ist wahr, daß B r i l l und N ö t h e r in einer Abhandlung,[81] deren Bedeutung von Tag zu Tag wächst, gezeigt haben, daß die Theorie der algebraischen Funktionen in vielen Fällen die der eben angeführten Transcendenten ersetzen kann, aber das vermindert nicht, sondern vergrößert vielmehr das Verdienst, welches man den Methoden von C l e b s c h zuerkennen muß, da die von hervorragenden Geistern gemachten Anstrengungen, den Gebrauch eines Hilfsmittels vermeiden zu können, der überzeugendste Beweis der Macht desselben sind.
Die bis jetzt besprochenen Arbeiten behandeln a l l g e m e i n e Eigenschaften der ebenen algebraischen Kurven.[82] Aber an sie reiht sich eine große Menge von schönen Spezialabhandlungen, welche eine bestimmte Kategorie von Kurven behandeln; auf diese wollen wir einen kurzen Blick werfen.
Unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von M a c l a u r i n,[83] von S y l v e s t e r,[84] C a y l e y,[85] S a l m o n,[86] D u r è g e,[87] C r e m o n a,[88] von S t u r m,[89] von K ü p p e r,[90] G r a ß m a n n,[91] M i l i n o w s k i[92] und von anderen über die Kurven dritter Ordnung,[93] die Kapitel des Barycentrischen Calculs, dann verschiedene Arbeiten von E m. W e y r,[94] von C l e b s c h und vielen anderen[95] über die rationalen Kurven; die wichtigen Untersuchungen S t e i n e r s und C h a s l e s ' über die Kurven, die mit einem Centrum versehen sind,[96] und die von S t e i n e r über die dreispitzige Hypocykloide;[97] ferner die Arbeiten, welche dem Beweise oder der Verallgemeinerung der dort ausgesprochenen Eigenschaften gewidmet sind,[98] die interessanten Untersuchungen von B e r t i n i[99] über rationale Kurven, für welche man willkürlich die vielfachen Punkte bestimmen kann, die wichtigen Studien von B r i l l über die Kurven vom Geschlechte zwei,[100] dann die eleganten Abhandlungen von K l e i n und L i e[101] über die Kurven, welche eine infinitesimale Transformation in sich selbst zulassen, endlich die von F o u r e t über die Kurven, welche die eigenen reciproken Polaren in bezug auf unendlich viele Kegelschnitte sind,[102] und die von S m i t h (1826-1883) über die Singularitäten der Modularkurven.[103]
Neben diesen verdient dann noch eine hervorragende Stelle die Abhandlung von S t e i n e r über die einer ebenen kubischen Kurve[104] oder einer Kurve vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten eingeschriebenen Vielecke, auf welche die jüngsten Arbeiten von K ü p p e r[105] und S c h o u t e[106] von neuem die Aufmerksamkeit der Gelehrten gelenkt haben. Die Knappheit des Raumes nötigt mich, flüchtig hinwegzugehen über die Untersuchungen von C a y l e y On polyzomal Curves otherwise the Curves √u + √v + ... = 0;[107] von G r a ß m a n n, C l e b s c h,[108] S c h r ö t e r[109] und D u r è g e,[110] betreffend die Erzeugung ebener Kurven dritter Ordnung, über die von L ü r o t h,[111] von C a s e y,[112] D a r b o u x,[113] S i e b e c k,[114] von C r o n e,[115] Z e u t h e n[116] und noch anderen über einige spezielle ebene Kurven vierter Ordnung, über die von B a t t a g l i n i, die sich auf die syzygetischen Kurven dritter Ordnung beziehen,[117] und andere, welche auch eine besondere Erwähnung verdienen würden.
Was ich aber nicht mit Stillschweigen übergehen kann, das sind die Arbeiten von H e s s e über die Wendepunkte einer Kurve dritter Ordnung und über die Gleichung, welche zu deren Bestimmung dient;[118] dann die von demselben H e s s e,[119] S t e i n e r,[120] A r o n h o l d[121] (1819-1884) über die Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung, welche eine hervorragende Stelle verdienen, da sie viele bemerkenswerte Eigenschaften derselben ins Licht gestellt haben; dieselben wurden darauf von G e i s e r[122] durch stereometrische Betrachtungen dargethan, von C l e b s c h[123] dagegen und R o c h[124] vermittelst der Theorie der Abelschen Funktionen untersucht.
