Читать книгу Kvantefilosofi - Jan Faye - Страница 12

Kvantemekanikken kan formuleres på flere måder. Først var der Heisenbergs matrixmekanik, så var der Schrödingers bølgemekanik, og til sidst i 1939 var der Paul Diracs nye bra-ket notation. Alle tre siger det samme, hvis man dermed mener, at ingen af dem forudsiger noget, som de andre ikke gør, men de tager udgangspunkt i helt forskellige forestillinger.

Matrixmekanikkens tilgang var Bohrs atommodel med fokus på kvantespring, den diskrete energi og diskontinuitet. Her var Bohrs korrespondensprincip ledetråden for en rationel formulering af teoriens matematiske grundlag. Bølgemekanikkens tilgang var derimod den konstaterede bølge-partikel-dualitet, som tog form med Einsteins forklaring på den fotoelektriske effekt. Einstein havde som sagt vist, at lys også kunne beskrives som partikler ved at anvende Plancks konstant. Men hvad med partikler, kunne de også beskrives som bølger? Jo, den tanke fik Louis de Broglie (1892-1987), da det i 1923 lykkedes ham ud fra Einsteins ligning at indføre et udtryk, som beskrev partiklen som en bølge bestemt ved p = h/λ. Partiklens impuls p er omvendt proportional med dens bølgelængde λ. Desto hurtigere den bevæger sig, desto mindre bølgelængde. Helt bogstaveligt har selv makroskopiske objekter en bølgelængde, selvom den er meget meget mindre end genstanden selv, mindre end protonens radius. de Broglie forestillede sig, at en partikel er dannet som en bølgepakke, der fremkommer ved, at mange bølger med forskellig bølgelængde overlejres hinanden. Dette kaldes også for superposition. Overlejringen får bølgerne til at interferere. Derved forstærkes eller svækkes de enkelte bølgers amplitude (højde), og partiklen opstår i området, hvor bølgepakkens samlede udsving er størst. [Fig. 2]. Denne egenskab ved partikler blev siden bekræftet af en række eksperimenter, der viste, at elektroner både fremviser et diffraktionsmønster og interfererer som bølger. Hvilken mærkværdig mærkværdighed!

Der åbnede sig nu en mulighed for at betragte elektronen, der bevæger sig rundt i sin stationære bane om kernen, som en stående bølge, hvis længde er en funktion af bølgelængden og kan skrives som 2πr = nλ. Den korresponderende frekvens var så dens energi. Det kunne forklare, hvorfor elektroner kun kunne opholde sig i faste baner omkring kernen, hvor bølgelængden er heltallig. Hvis man derfor også kunne beskrive tidsudviklingen af elektronens bevægelse, så kunne man måske genetablere både kontinuitet og determinisme.

Det var det spor, som den østrigske fysiker Erwin Schrödinger (1887-1961) fulgte. Han antog, at elektronen er en bølge, repræsenteret ved funktionen ψ, der bevæger sig i en potentialbrønd V, skabt af den positive kerne. Året efter at Heisenberg var kommet på sin matrixmekanik, formulerede han så en bølgeligning for brintatomet, som tilsyneladende løste problemet for den bundne elektron. Denne såkaldte tidsuafhængige Schrödingerligning,

kan beskrive stationære, tidsuafhængige kvantetilstande og dermed spektrallinjerne for brintatomet. Senere samme år generaliserede han bølgeligningen til også at omfatte den tidsafhængige Schrödingerligning:

som beskriver tidsudviklingen for et kvantesystem, dvs. som svarer til den dynamiske ligning i den klassiske mekanik. Og da ligningen er en partiel differentialligning, syntes kontinuiteten og determinismen at være på plads, fordi ligningen entydigt fastlægger bølgefunktionens værdi til ethvert vilkårligt tidspunkt.

FIG. 2. Superposition af materiebølger sker ved, at de enkelte bølger interagerer med hinanden. Den resulterende bølge fremkommer ved en forstærkning, hvor de enkelte bølgers amplituder (bølgehøjder) arbejder sammen, og ved en mindskning, hvor de enkelte bølgers amplituder modarbejder eller helt udslukker hinanden. Derved kan der dannes bølgepakker, der består af mange bølgekomponenter, hvis amplituder ikke udslukker hinanden. Når der tales om superposition i kvantemekanikken, bør man imidlertid tænke på, at de enkelte bølgers amplituder, som indgår som komponenter i bølgefunktionen ψ, ikke angiver reelle tal. Bølgefunktionen angiver et komplekst tal. Man må derfor kvadrere den numeriske værdi af ψ for at få et reelt tal.

Einstein var henrykt, de Broglie var henrykt, og Schrödinger var næsten henrykt. Samme efterår, som Schrödinger havde offentliggjort sine beregninger, blev han inviteret til København for at få lejlighed til at drøfte sine ideer med Bohr og Heisenberg, der på det tidspunkt arbejdede i byen. Sagen var den enkle, at nok foreskriver bølgeligningen, hvordan bølgefunktionen ψ opfører sig, men den siger ikke noget om, hvad symbolet står for. Schrödinger selv havde fortolket det som en ladningstæthed, men allerede få dage efter hans tolkning så dagens lys, fremkom Max Born med en anden. Born mente nemlig, at eksperimenter med elektronsammenstød klart viste, at elektroner var partikler, og han udlagde ψ til at være en sandsynlighedsamplitude, hvis absolutte værdi opløftet til anden potens repræsenterer en sandsynlighedstæthed, dvs. bølgefunktionen ψ beskriver sandsynligheden for en partikels position.

Det var ikke lige det, Schrödinger havde håbet på. Heisenberg har givet en livlig og skarp iagttagelse af samtalerne med Schrödinger:

Disse diskussioner, der, så vidt jeg husker, fandt sted i København engang i september 1926, har hos mig efterladt det allerstærkeste indtryk især af Bohrs personlighed. Thi skønt Bohr ganske vist var et ualmindelig hensynsfuldt og imødekommende menneske, så kunne han dog i en sådan diskussion, hvor det drejede sig om de for ham vigtigste erkendelsesproblemer, med fanatisme og med en næsten skrækindjagende ubønhørlighed insistere på den ubetingede klarhed i alle argumenter. Han gav ikke op, end ikke efter timers kamp, før Schrödinger måtte indrømme, at hans tydning ikke slog til, ikke engang til at forklare Plancks lov. Ethvert forsøg fra Schrödingers side på at komme uden om dette bitre resultat blev i uendelig møjsommelige samtaler langsomt punkt for punkt imødegået. Måske har det været en slags overanstrengelse, der gjorde, at Schrödinger efter nogle dages forløb blev syg og måtte ligge i sengen som gæst i Bohrs hjem. Men selv her veg Bohr næppe fra Schrödingers seng og bestandig lød sætningen: “Men Schrödinger, De må dog indrømme, at …” Engang udbrød Schrödinger næsten fortvivlet: “Når det dog skal blive ved dette fordømte kvantespringeri, så beklager jeg, at jeg nogensinde har givet mig af med atomteori.” Bohr svarede dertil: “Men vi andre er Dem så taknemmelige for, at De har gjort det og dermed bragt atomteorien et afgørende skridt videre.” Schrödinger rejste til slut lidt modløs fra København, medens vi på Bohrs Institut havde følelsen af, at i hvert fald Schrödingers fortolkning af kvanteteorien, en fortolkning, der lidt for letsindigt var opstillet med de klassiske teorier som model, nu var gendrevet, men at der endnu manglede nogle vigtige synspunkter, før man var nået til en fuld forståelse af kvanteteorien.¹⁵

Bohr formåede dog ikke at få Schrödinger over på sin side. Hverken Schrödinger, Einstein eller de Broglie accepterede nogensinde ideen om, at naturen skulle være indeterministisk og helt grundlæggende tilfældig. Det sidste ord var dermed ikke sagt i den sag.

Verden stod tilbage med to formalismer, matrix- og bølgemekanikken, som Schrödinger allerede havde vist, gav de samme empiriske forudsigelser. Som om dette ikke var nok. Ti år senere fandt Paul Dirac (1902-1984) på en mere generel 3. udgave, hans bra-ket notation, som med baggrund i matrixmekanikken angiver en generel matematisk formulering af bølgefunktionen ved at repræsentere den som en vektor i Hilbertrummet. Det er den mest udbredte formalisme i dag. Nu beskrives et fysisk system fuldt og helt ved en vektor i et komplekst Hilbertrum, som indeholder samtlige mulige normaliserbare tilstandsfunktioner, dvs. en generalisering af Schrödingers bølgefunktioner. Et Hilbertrum har fået sit navn efter den tyske matematiker David Hilbert (1862-1943). Det karakteristiske ved et sådant rum er, at det udvider vektoralgebraen fra et euklidisk to- eller tredimensionalt rum til et komplekst, abstrakt rum med uendelig mange dimensioner.

Enhver fortolkning af en fysisk teori må nødvendigvis forholde sig til dens matematiske udformning. Vi kommer derfor ikke uden om at lave en kort præsentation af Diracs formalisme. Symbolet ∣ 〉 omkring et bogstav angiver, at bogstavet er navnet på en vektor, så at ∣A〉 står for en vektor kaldet A. En samling vektorer udgør basis for et vektorrum, og dets dimension er defineret af det antal vektorer, som siges at være ortogonale, dvs. som står vinkelret på hinanden. Med andre ord er antallet af basisvektorer ∣A₁〉, ∣A₂〉, …, ∣A_N〉 lig med et N-dimensionalt vektorrum, hvis, og kun hvis, enhver værdi for i og j fra 1 til N er sådan, at når i ≠ j, er 〈A_i∣A_j〉 = o. Det er også tilfældet, at enhver vektor i et sådant N-dimensionalt vektorrum kan beskrives af N generelt komplekse tal. I kvantemekanikken repræsenterer vektorer fysiske tilstande, fysisk mulige situationer, og disse vektorer kaldes derfor for tilstandsvektorer. Det betyder, at ethvert fysisk system kan forbindes med et eller andet vektorrum, hvor alle dets mulige tilstande, dvs. alle mulige værdier af de forskellige størrelser, som er defineret for systemet, modsvares af en eller anden basisvektor i dette vektorrum.

Foruden vektorer indeholder formalismen også operatorer, en anden slags matematiske entiteter, som transformerer en vektor til en ny. En operator, der fungerer på et vektorrum, fastsætter en bestemt forskrift for, hvordan et vektorrum kan afbildes ind i sig selv: For enhver vektor ∣B〉 i vektorrummet, hvorpå O fungerer som en operator, er O∣B〉 = ∣B’〉, hvor ∣B’〉er en anden vektor i det samme vektorrum. En gruppe operatorer, kaldet lineære operatorer, er specielt interessante for kvantemekanikken. Disse operatorer på et N-dimensionalt vektorrum kan repræsenteres af N²-tal, eller rettere kan beskrives ved hjælp af N²-tal i en matrix ud fra følgende regel: O_ij = 〈 A_i∣O∣A_j〉. En vektor ∣B〉 siges at være O’s egenvektor med egenværdien a, hvis ∣B〉 ≠ o og O∣B〉 = a∣B〉, dvs. en vektor ∣B〉 er O’s egenvektor, hvis O ikke ændrer retningen af ∣B〉, men kun længden med beløbet a. En bestemt type lineære operatorer, såkaldte hermitiske operatorer, som bl.a. har den egenskab, at egenværdierne altid er reelle tal (som man jo måler i laboratoriet), antages i kvantemekanikken at udtrykke målbare dynamiske egenskaber, de såkaldte observable, idet de betragtes som operatorer på vektorrummet, der associeres med systemet. De fysiske tilstande og observablerne er således forbundet på følgende måde: Hvis en vektor, der repræsenterer en bestemt fysisk tilstand, er en operators egenvektor, som er knyttet til en bestemt målbar egenskab ved systemet, og den har egenværdien a, så siges systemet at være i en egentilstand for den pågældende operator og at have egenværdien a for den pågældende observabel. Det skal måske også nævnes, at enhver hermitisk operator fastlægger en bestemt mængde af egentilstande og dermed også et bestemt såkaldt spektrum af egenværdier. Dette spektrum, som kan være diskret eller kontinuert, repræsenterer de mulige værdier for en måling af den pågældende fysiske størrelse.

Til sidst skal nævnes, at to operatorer P og Q på et Hilbertrum siges at kommutere, hvis deres produkt er uafhængigt af rækkefølgen, altså hvis PQ – QP = 0. Omvendt siges operatorerne at være ikke-kommuterende, hvis PQ – QP ≠ 0, dvs. produktets rækkefølge har betydning for resultatet. Sidstnævnte regel gør sig gældende for observablerne i kvantemekanikken, hvorimod fysiske størrelser i den klassiske fysik repræsenteres ved funktioner, dvs. almindelige tal, som altid kommuterer.

Det er vigtigt at holde sig for øje, at en matematisk teori kræver en fysisk fortolkning for at kunne gives en fysisk mening. En fysiker skal altid være påpasselig med at sige noget generelt om verdens indretning alene ud fra de strukturelle egenskaber ved en matematisk formalisme. Vi må skelne mellem kvantemekanikkens matematiske udformning og dens fysiske fortolkning. Mange moderne fortolkninger forsøger ikke desto mindre at sige noget grundlæggende om atomernes verden ud fra kvanteformalismens beskaffenhed. Det afgørende stridspunkt er således, om man kan opstille nogle almene kriterier for, hvornår en fortolkning kan siges at være fysisk meningsfuld, og hvornår den ikke kan siges at være det. Det er her, striden mellem de forskellige kvantemekaniske fortolkninger står.