Читать книгу История античной науки. Открытия великих ученых и мыслителей древности - - Страница 17

Архитектурные и строительные достижения Египта подразумевают хорошие знания арифметики и геометрии. Во-первых, необходимы были простые средства для того, чтобы вести сложные подсчеты. Такие потребности удовлетворились рано. В Эшмоловском музее в Оксфорде можно видеть булаву эпохи фараона Нармера, правившего до I династии (то есть до 3400 г. до н. э.); на ней сообщается о захвате 120 тысяч пленных, 400 тысяч быков и 1 миллиона 422 тысяч коз. Это большие цифры; они записаны способом, напоминающим римские цифры: символы для каждого десятка (вплоть до миллиона) повторяются по мере необходимости. Так же римляне записали бы 2304 в виде ММСССШ. Самые большие разряды записывались первыми, а остальные по мере их важности, но так было не всегда; разряды могли группировать в любом порядке. Позже появился упрощенный способ, когда вместо 10 100 000 записывали 100 000 × 101.

Что касается геометрии, необходимость в ней была очевидна даже при сооружении таких простых памятников, как пирамиды, что возвращает нас в XXX в. Строители пирамид должны были точно вырезать известняковые блоки перед тем, как поднимать их на их место; самые крупные блоки укладывались в сложную конструкцию над усыпальницей фараона с целью уменьшить давление на потолок; 56 таких потолочных блоков имеются над усыпальницей в Великой пирамиде; в среднем они весят 54 тонны. По свидетельству археолога Ф. Питри, точность, которой достигли при строительстве пирамиды Хеопса (IV династия), почти невероятна.

Обтесывание камней, которые должны были плотно прилегать друг к другу, требовало некоторого знания стереометрии (далее мы увидим, что в этой области египтяне зашли поразительно далеко). Можно утверждать, что такие работы требовали и познаний в области описательной геометрии и стереотомии. Недостаточно было решать такие задачи в общем плане, поскольку резчику по камню необходимо было точно показать, как следует резать известняковые блоки. Однако такие познания оставались эмпирическими и, скорее всего, несформулированными.

Хотя можно с уверенностью утверждать, что архитекторы пирамид обладали серьезной математической подготовкой, без которой не могла быть выполнена теоретическая часть их задачи, у нас нет математических текстов эпохи Древнего царства, как и других царств вплоть до XII династии (2000–1788). Хотя два самых важных текста дошли до нас в позднейших редакциях, вероятнее всего, они появились именно в ту эпоху.

Арчибальд[5] перечисляет около 36 оригинальных документов, связанных с египетской математикой; они написаны на древнеегипетском, коптском и древнегреческом языках и датируются от около 3500 г. до н. э. до 1000 г. н. э. (разброс составляет 45 веков). Всего насчитывается 16 документов до 1000 г. до н. э., причем два из них затмевают все остальные.

Давайте рассмотрим их подробнее. До нас дошли два сборника математических задач. Их можно назвать трактатами – древнейшими из существующих учебников математики. Они существуют в виде свитков папируса, которые называются соответственно (по фамилиям первых владельцев) папирусом Голенищева (или Московским математическим папирусом, так как он находится в Москве) и папирусом Ринда (он хранится в Лондоне). На самом деле папирус Ринда состоит из двух свитков папируса (они находятся в Британском музее и хранятся под номерами 10057 и 10058), но фрагмент, связывающий два этих свитка, был обнаружен в Нью-Йоркском историческом обществе. Два свитка из Британского музея и нью-йоркский фрагмент составляли один свиток или один трактат. Папирус Голенищева древнее; он относится к XIII династии (начавшейся в 1788 г. до н. э.), однако в нем отражены способы решения задач, принятые в эпоху предыдущей династии. Папирус Ринда относится к эпохе правления гиксосов (примерно XVII в. до н. э.), но является копией более старого документа времен XII династии. Таким образом, два этих почтенных трактата, хотя и появились в разное время, представляют одну и ту же эпоху, эпоху XII династии (2000–1788), или, грубо говоря, XIX в. до н. э. Период XX–XVII вв. до н. э. считался временем научного расцвета в Древнем Египте, в то время как период, следовавший непосредственно за ним, примерно XVI–XII вв. до н. э., отмечен расцветом политическим, когда Египет стоял во главе всемирной империи. Любопытно, что интеллектуальный расцвет предшествовал политическому, а не совпадал с ним и не следовал за ним, как можно было бы ожидать.

Как ни странно, два этих выдающихся папируса имеют одну и ту же длину (544 см), но, в то время как папирус Ринда имеет полную ширину (33 см), папирус Голенищева – своего рода карманное издание, и его ширина составляет лишь четверть от папируса Ринда (8 см). Хотя последний, видимо, является более ранним, удобно вначале рассмотреть папирус Ринда.

Огромное строительство, предпринятое в эпоху пирамид, требовало деятельности клерков, которые сохраняли и увековечивали традиции в виде методов и рецептов, задач, расчетов и таблиц – а также того, что соответствовало нашим копиям чертежей. Можно предположить, что такие традиции, постепенно обогащавшиеся, сохранялись до конца расцвета Древнего Египта. Так, сооружение множества обелисков при XVIII и XIX династиях предполагает, что архитекторы передавали результаты многочисленных экспериментов, полученных методом проб и ошибок, своим ученикам; данные также передавались от двора одного фараона к другому. Вероятно, сохранению научных традиций очень способствовали жрецы, самые образованные люди для своего времени. Так, судя по вступительным словам на папирусе Ринда, его написал писец по имени Ахмес.

Судя по всему, Ахмес сознавал огромную важность своей задачи. Во вступительной части папируса Ахмеса объясняется, что он посвящен «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Перед нами практически научный трактат, то есть систематический отчет о доступных знаниях в его области. Конечно, древний учебник ни в коей мере не является таким же систематическим, как пособия, написанные в наши дни, но в нем прослеживается вполне внушительная методика. Подумать только! Некий Ахмес, живший почти за столько же веков до Христа, сколько живем мы после Христа, приступает к решению основных задач арифметики и геометрии в том виде, в каком они представлялись его современникам!

Прежде чем описывать содержание папируса Ринда, необходимо объяснить, как египтяне представляли себе дроби. По какой-то странной причине для них были приемлемы лишь аликвотные дроби, то есть дроби вида ¹/_n имеющие числитель, равный 1, и знаменатель, выраженный натуральным числом. В порядке исключения использовались две «вспомогательные» дроби, ²/₃ и ³/₄. Вторая из них, «три части», то есть ³/₄, использовалась редко, зато первая – «две части», то есть ²/₃, очень распространена. Для дроби ²/₃ существовал отдельный символ, который часто встречается в математических текстах.

Папирус Ринда начинается с таблицы разложения дробей типа 2/(2π + 1), в которой n — натуральное число от 2 до 50:

То, что таблица помещена в начало трактата, типично для его полутеоретического, полупрактического характера. Писец или его неизвестный предшественник экспериментальным путем пришел к некоторому уровню абстракции и счел целесообразным представить его.

Затем следуют 40 арифметических задач (см. задачу 4 на рис. 9), которые связаны с делением 1, 2…, 9 на 10, умножением дробей, задач на дополнение вычитаемого до уменьшаемого (дополнить ²/₃ ¹/₃₀ до 1; правильный ответ – ¹/₅ ¹/₁₀), задачи на величины (сумма некоторой величины и ¹/₇ от нее равняется 19; найти величину. Ответ – 16 ¹/₂ ¹/₈), деление на дробь, деление на меру хекат, деление хлебов в арифметической прогрессии (см. пример ниже). Эти задачи ведут к уравнениям первой степени с одним неизвестным. Конечно, на папирусе нет уравнений, но можно отметить символы, обозначающие сложение, вычитание и даже один символ, представляющий неизвестную величину. Задача в Берлинском папирусе (№ 6619) Кахуна (XII династия) решается двумя уравнениями, причем одно из них квадратичное, с двумя неизвестными. В современной записи:

х² + у² = 100

У = ³/₄ х.

Рис. 9. Папирус Ринда, задача 4 (частично в Британском музее, частично в Нью-Йоркском историческом обществе). Верхняя часть воспроизводит изначальный иератический шрифт; ниже приведена запись иероглифами с транслитерацией. Вольный перевод: «Раздели 7 хлебов между 10 людьми». Решение: каждый получит по ⁷/₁₀ = ²/₃ + ¹/₃₀, то есть нужно сначала каждый хлеб разделить на 3 части и дать каждому по две, а затем разделить оставшуюся треть на 10 частей и дать каждому по одной.

Всего 7 хлебов, что правильно

Ответ: x = 8, у = 6. Тогда 8² + 6² = 100, или 4² + З² = 5²; мы узнаем числа, фигурирующие в теореме Пифагора (к ней мы еще вернемся).

Вот последняя арифметическая задача:

Задача 40. «Раздели 100 хлебов между 5 людьми таким образом, чтобы доли, доставшиеся каждому, находились в арифметической прогрессии и ¹/₇ от суммы трех самых больших доль была равна сумме двух меньших. Какова разница между долями?»

Решение: пусть разница между долями составляет 5¹/₂ Тогда доли, доставшиеся 5 людям, будут

23 17¹/₂ 12 6¹/₂ 1, всего 60.

Столько раз, сколько необходимо умножить 60, чтобы получилось 100, на столько же необходимо умножить эти доли.

1 60

²/₃ 40

Всего 1²/₃ на 60 дает 100.

Умножить на 1²/₃:

Задачи 41–60 связаны с вычислением площади и объема, а задачи 61–84 носят смешанный характер. Площадь треугольника вычисляют умножением его основания на половину стороны; это верно лишь для остроугольных треугольников. Объем цилиндрического амбара диаметра d и высоты h вычислялся по формуле (d — 1/9d)²h. Это довольно близко к площади круга – 0,7902 d2 0,7854d2, как если бы π равнялось не 3,14, а 3,16.

Нет оснований полагать, что египтяне знали теорему Пифагора, если не считать одного косвенного указания на это в Берлинском папирусе. Возможно, египтяне получили нужные ответы эмпирическим путем, но вопрос остается неясным. То, что приобрести такие знания было относительно легко и они преодолевали и более серьезные трудности, – несерьезный довод. В истории науки обычное явление, когда задачи не всегда решались (одним народом либо всеми коллективно) по мере возрастания сложности.

Ссылка Демокрита Абдерского (V в. до н. э.) на мудрых египетских harpedonaptai, то есть землемеров, которые измеряли расстояния веревкой с узелками, часто трактуется неверно. По словам Демокрита, ни один современник, в том числе египетские землемеры, не превзошел его в построении фигур из линий и в расчете их площади. Комментаторы без дальнейших доказательств пришли к выводу, что землемеры могли вычерчивать нужные углы с помощью веревки с узелками. Скорее всего, функция веревки с узелками была астрономической, а не математической. «Растягивание шнура» было одной из первых церемоний при закладке храма. Шнур или веревку необходимо было растягивать по меридиану, чтобы правильно сориентировать храм. Вполне возможно, что «растягиватели веревок» умели также строить перпендикуляр к меридиану; возможно, они делали это с помощью веревки, поделенной на 3, 4, 5 частей. Впрочем, это лишь догадки, как и все гипотезы, по которым открытие теоремы Пифагора приписывают древним индусам или китайцам.

В Московском математическом папирусе (папирусе Голенищева) всего 25 задач, но одна из них захватывает дух. Похоже, она доказывает, что древние египтяне умели вычислять объем усеченной пирамиды, и решение у них такое же, как у нас, представленное формулой

V = (h/3) (a² + ab + b²),

где h — высота усеченной пирамиды, а и b – стороны квадратных оснований.

Это решение можно назвать шедевром древнеегипетской геометрии. Оно свидетельствует о раннем развитии науки в Древнем Египте и о гениальности египтян. Скорее всего, решение было найдено ими уже в XIX в. до н. э., если не раньше, и они так и не превзошли его, хотя продолжали работать на протяжении еще трех тысячелетий.