Читать книгу Ātrā matemātika verbālās skaitīšanas noslēpumi - - Страница 6

1. nodaļā mēs uzzinājām, kā reizināt skaitļus, izmantojot vienkāršu metodi, kas padara to par vieglu. To ir viegli izmantot, ja faktori ir skaitļi, kas ir aptuveni 10 vai 100. Kā ir ar skaitļu reizināšanu ar 30 vai 60? Vai ir iespējams izmantot mūsu pētīto metodi arī viņiem? Neapšaubāmi.

Mēs izvēlējāmies 10 un 100 kā atsauces skaitļus, jo tos ir viegli reizināt. Metode lieliski darbosies ar citiem atsauces numuriem, taču jums vajadzētu mēģināt izvēlēties tos, ar kuriem ir viegli reizināt.

Reizināšana ar faktoriem

To ir viegli reizināt ar 20, jo 20 ir vienāds ar 2 x 10, ko ir ļoti viegli reizināt ar. Mēs runājam par reizināšanu ar koeficientiem, un 10 un 2 ir skaitļa 20 koeficienti.

10 x 2 = 20

Apskatīsim piemēru:

23 x 24 =

23 un 24 ir lielāki par atsauces skaitli 20, tāpēc pār faktoriem apvelkam apļus. Vairāk, bet par cik? Attiecīgi 3 un 4. Mēs ievadām šos skaitļus atbilstošajos apļos, kurus mēs uzzīmējām augšpusē, jo mēs runājam par pozitīviem skaitļiem (23 = 20 +3, 24 = 20 +4).

Salieciet to šķērsām, kā iepriekš:

23 +4 = 27 vai 24 +3 = 27

Tagad sareizināsim saņemto atbildi ar atsauces numuru 20. Lai to izdarītu, vispirms reiziniet ar 2 un pēc tam ar 10:

27 x 2 = 54

54 x 10 = 540

(Vēlāk šajā nodaļā apskatīsim vienkāršu veidu, kā reizināt 27 ar 2.) Citādi viss ir vienāds. Mēs reizinām skaitļus apļos un starprezultātam pievienojam 540.

3 x 4 = 12

540 +12 = 552

Pilnībā atrisināts piemērs izskatās šādi:

Atbilžu pārbaude

Pielietosim to, ko uzzinājām 4. nodaļā, lai pārbaudītu, vai esam saņēmuši pareizo atbildi:

Aizstāšanas skaitļi 23 un 24 ir attiecīgi 5 un 6.

5 x 6 = 30

3 +0 = 3

3 ir mūsu kontroles numurs.

Sākotnējās atbildes skaitļi (552) ir 3:

5 +5 +2 = 12

1 +2 = 3

Iegūtais skaitlis ir vienāds ar kontroles skaitli, kas nozīmē, ka mēs saņēmām pareizo atbildi.

Mēģināsim atrisināt vēl vienu piemēru:

23 x 31 =

Mēs rakstām 3 un 11 apļos virs 23 un 31, jo mūsu faktori ir attiecīgi par 3 un 11 lielāki par atsauces skaitli 20.

Saskaitot šķērsām, mēs iegūstam 34:

31 +3 = 34 vai 23 +11 = 34

Mēs reizinim iegūto atbildi ar atsauces skaitli 20. Lai to izdarītu, vispirms reiziniet 34 ar 2 un rezultātu ar 10.

34 x 2 = 68

68 x 10 = 680

Šī ir mūsu pagaidu atbilde. Tagad mēs reizinām skaitļus apļos:

3 x 11 = 33

Pievienosim 33 ar 680:

680 +33 = 713

Pilnībā atrisinātais piemērs izskatās šādi:

Atbildi pārbaudām, izmetot devītniekus.

Sareizināsim aizstāšanas skaitļus un pēc tam summēsim atbildes ciparus:

Tas atbilst mūsu kontroles numuram, tāpēc 713 var uzskatīt par pareizo atbildi.

Šeit ir daži piemēri, kas jums tiek piedāvāti jūsu paša lēmuma pieņemšanai. Kad esat pabeidzis, pārbaudiet savas atbildes, metot devītniekus.

a) 21 x 26 = ___; b) 24 x 24 = ___; c) 23 x 23 = ___; d) 23 x 27 = ___; e) 21 x 36 = ___; e) 26 x 24 = ___

Jums vajadzētu būt iespējai atrisināt šos piemērus savā galvā. Tas nav grūti ar nelielu praksi.

Skaitļus, kas mazāki par 20, reizinot

Kā ir ar skaitļu reizināšanu, kas ir mazāki par 20? Ja tie (vai vismaz viens no tiem) ir lielāks par 15, bet mazāks par 20, kā atsauces numuru varat izmantot 20. Atrisināsim piemēru:

Izmantojot 20 kā atsauces numuru, mēs iegūstam:

Atņemt šķērsām:

16 – 1 = 15 vai 19 – 4 = 15

Reiziniet ar 20:

15 x 2 = 30

30 x 10 = 300

300 ir mūsu starpposma atbilde.

Tagad sareizināsim apļos esošos skaitļus un pievienosim rezultātu starpatbildei:

1 x 4 = 4

300 +4 = 304

Pilnībā atrisināts piemērs izskatās šādi:

Mēģināsim atrisināt to pašu piemēru, šoreiz izmantojot 10 kā atsauces numuru:

Saskaitīsim šķērsām un pēc tam reizinim rezultātu ar 10, iegūstot starpatbildi:

19 +6 = 25

10 x 25 = 250

Sareizināsim skaitļus apļos un rezultātu pievienosim starpatbildei:

9 x 6 = 54

250 +54 = 304

Pilnībā atrisinātais piemērs izskatās šādi:

Tas apstiprina iepriekš iegūto rezultātu.

Nav lielas atšķirības starp diviem izmantotajiem atsauces numuriem. Tas ir personīgās izvēles jautājums. Vienkārši izvēlieties atsauces numuru, ar kuru jums ir vieglāk strādāt.

Skaitļi, kas ir lielāki un mazāki par 20

Trešais gadījums ir, kad viens skaitlis ir lielāks, bet otrs ir mazāks par 20. Piemēram:

Varat pievienot 18 un 12 vai atņemt 2 no 32 un pēc tam rezultātu reizināt ar atsauces skaitli:

32 – 2 = 30

30 x 20 = 600

Tagad mēs reizinām skaitļus apļos:

2 x 12 = 24

Mēs faktiski reizinām mīnus 2 un 12, tāpēc atbilde ir -24.

600–24 = 576

Risinājuma piemērs izskatās šādi:

(Lai atņemtu 24, vispirms atņemiet 30 un pēc tam pievienojiet 6.)

Pārbaudīsim atbildi, izmetot devītniekus:

Produkts 0 x 5 ir 0, tātad atbilde ir pareiza.

Reizinot vēl lielākus skaitļus

Iepriekšējā sadaļā mēs runājām par skaitļu pāru reizināšanas metodi līdz 30 x 30. Ko darīt, ja jums ir jāreizina vēl lielāka izmēra skaitļi? Šajā gadījumā kā atsauces skaitli varat izmantot 50. Reizināt ar to ir vienkārši, jo 50 ir puse no 100 vai 100 dalīts ar 2. Tātad, lai reizinātu ar 50, vispirms var reizināt skaitli ar 100 un pēc tam dalīt rezultātu. ar 2.

Izmēģināsim to ar piemēru:

Atņemt šķērsām:

46 – 2 = 44 vai 48 – 4 = 44

Reiziniet 44 ar 100:

44 x 100 = 4400

Mēs sakām sev šādi: «44 uz 100 ir vienāds ar 4400.» Tagad mēs ņemam pusi, kas ir līdzvērtīga 44 reizināšanai ar 50, un mēs iegūstam 2200.

4400: 2 = 2200

Tagad sareizināsim skaitļus apļos un saskaitīsim rezultātu ar 2200:

Kas var būt vienkāršāks? Apskatīsim citu piemēru:

Mēs saskaitām šķērsām, pēc tam reiziniet rezultātu ar atsauces skaitli (reiziniet ar 100 un pēc tam dalām ar 2):

57 +3 = 60

60 x 100 = 6000

6000: 2 = 3000

Reiziniet skaitļus apļos un pievienojiet rezultātu 3000:

3 x 7 = 21

3000 +21 = 3021

Pilnībā atrisinātais piemērs tagad izskatās šādi:

Atrisināsim šādu piemēru:

Mēs saskaitām šķērsām un reizinim rezultātu ar atsauces skaitli (vispirms reiziniet ar 100 un pēc tam daliet rezultātu ar 2):

63 +2 = 65

65 x 100 = 6500

Tagad mums ir jādala ar 2.

Nekādu problēmu! Mēs sakām sev: «Puse no sešiem tūkstošiem ir trīs tūkstoši. Puse no piecsimt ir divi simti piecdesmit. Kopā ir trīs tūkstoši divi simti piecdesmit.

Tagad reizināsim skaitļus apļos:

2 x 13 = 26

Pievienojot 26 starprezultātam 3250, mēs iegūstam 3276. Pilnībā atrisinātais piemērs tagad izskatās šādi:

Pārbaudīsim atbildes pareizību, izmetot devītniekus:

6 plus 3 koeficientā 63 ir vienāds ar 9, kas ir izsvītrots, atstājot aiz 0.

Atbilde ir 3 +6 = 9 un 2 +7 = 9, tas ir, visi skaitļi ir izsvītroti. 7 reizes 0 ir vienāds ar 0, tāpēc atbilde ir pareiza.

Es piedāvāju vairākus piemērus jūsu risinājumam. Centieties savā galvā atrisināt pēc iespējas vairāk piemēru.

a) 46 x 42 = ___; b) 47 x 49 = ___; c) 46 x 47 = ___; d) 44 x 44 = ___; e) 51 x 55 = ___; e) 54 x 56 = ___; g) 51 x 68 = ___; h) 51 x 72 = ___

Atbildes:

a) 1932. gads; b) 2303; c) 2162; d) 1936. gads; e) 2805; f) 3024; g) 3468; h) 3672

Kā jūs tikāt galā ar uzdevumu? Ja iepriekš esi pietiekami trenējies, tev nevajadzētu rasties problēmām to risināšanā savā galvā. Pārbaudiet savas atbildes, izvelkot deviņus.

Divkāršošana un samazināšana uz pusi

Lai kā atsauces skaitļus izmantotu 20 un 50, jums ir jāspēj viegli dubultot un samazināt skaitļus uz pusi.

Reizēm, kad, piemēram, mums ir jādala uz pusēm divciparu skaitlis, kura desmitnieku skaitlis ir nepāra, atbilde pati par sevi neliecina. Piemēram:

78: 2 =

Lai uz pusi samazinātu 78, varat dalīt 70 ar 2, pēc tam 8 un pēc tam pievienot rezultātus. Bet ir vēl vienkāršāks veids.

78 = 80—2. Puse no 80 – 2 ir vienāda ar 40 – 1. Šī ir atbilde:

40 – 1 = 39

Lai dubultotu 38, garīgi iedomājieties šo skaitli kā 40 – 2. Divkāršot vērtību, tā būs 80 – 4, tas ir, 76.

Mēģiniet pats atrisināt šādus piemērus:

a) 38 x 2 = ___; b) 29 x 2 = ___; c) 59 x 2 = ___; d) 68 x 2 = ___; e) 39 x 2 = ___; e) 47 x 2 =

Atbildes:

a) 76; b) 58; c) 118; d) 136; e) 78; e) 94

Tagad atrisiniet šos piemērus:

a) 38: 2 = ___; b) 56: 2 = ___; c) 78: 2 = ___; d) 94: 2 = ___; e) 34: 2 = ___; e) 58: 2 = ___; g) 18: 2 = ___; h) 76: 2 = ___

Atbildes:

a) 19; b) 28; c) 39; d) 47; e) 17; f) 29; g) 9 h) 38

To pašu pieeju var izmantot, lai reizinātu un dalītu diezgan lielus skaitļus ar 3 un 4. Piemēram:

19 x 3 = (20 – 1) x 3 = 60 – 3 = 57

38 x 4 = (40 – 2) x 4 = 160 – 8 = 152

Numuri 200 un 500 kā atsauces numuri

Ja reizinātie skaitļi ir tuvu 200 vai 500, aprēķini nav īpaši sarežģīti, jo gan 200, gan 500 ir viegli izmantot kā atsauces skaitļus.

Kā, piemēram, atrodam produktu 216 x 216? Ja kā atsauci izmantojat 200, piemēru var viegli atrisināt, tostarp jūsu galvā:

Mēs aprēķinām 16 x 16, izmantojot 10 kā atsauces skaitli.

Kā ar 512x512?

512 x 500 ir vienāds ar 524 x 1000 dalīts ar 2.

524 x 1000 = 524 000 jeb 524 tūkst.

Puse no 524 tūkstošiem ir vienāda ar 262 tūkstošiem.

Lai 524 tūkstošus sadalītu uz pusēm, tos var sadalīt uz 500 tūkstošiem un 24 tūkstošiem. Pusi no abiem skaitļiem ir viegli aprēķināt galvā. Puse no 500 tūkstošiem ir vienāda ar 250 tūkstošiem. Puse no 24 tūkstošiem ir vienāda ar 12 tūkstošiem. 250 tūkstoši plus 12 tūkstoši dod 262 tūkstošus.

Tagad reizināsim skaitļus apļos:

12 x 12 = 144

262000 +144 = 262144 ATBILDE

Mazāku skaitļu reizināšana

Mēģināsim atrast produktu 6 x 4:

Kā atsauces skaitli izmantojam 10. Zem faktoriem ievelkam apļus, jo gan 6, gan 4 ir mazāki par 10. Atņem šķērsām:

6–6 = 0 vai 4–4 = 0

Tagad reizināsim skaitļus apļos:

4 x 6 =

Mēs esam atgriezušies pie sākotnējās problēmas (6 x 4). Šķiet, ka metode mums nekādi nepalīdzēja. Vai ir iespējams panākt, lai tas darbotos arī šādos gadījumos? Tas ir iespējams, taču šim nolūkam ir jāizmanto cits atsauces numurs. Mēģināsim pieņemt skaitli 5 kā tādu. 5 ir 10 dalīts ar 2, vai puse no 10. Visvieglāk reizināt ar 5 var, reizinot ar 10 un rezultātu dalot ar 2.

6 ir lielāks par 5, tāpēc mēs tam uzzīmējam apli. 4 ir mazāks par 5, tāpēc aplis tam tiek novilkts zemāk. 6 ir vairāk nekā 5 reizes 1, tāpat kā 4 ir mazāks par 5 reizi 1, tāpēc katrā aplī ierakstām 1.

Pievienojiet 4 un 1 šķērsām vai atņemiet 1 no 6:

6–1 = 5 vai 4 +1 = 5

Mēs reizinām 5 ar atsauces numuru, kas arī ir 5.

Lai to izdarītu, mēs vispirms reizinām ar 10, kas dod mums 50, un pēc tam rezultātu sadalām ar 2, iegūstot 25. Tagad mēs reizinām skaitļus apļos:

1 x -1 = -1

Tā kā rezultāts ir negatīvs skaitlis, mēs to atņemam no starpatbildes, nevis pievienojam tai:

25 – 1 = 24

Tādējādi:

Tas ir ļoti garš un apgrūtinošs nelielu skaitļu reizināšanas veids, taču tas parāda, ka ar nelielu atjautību metodi var panākt, lai tā darbotos visos gadījumos. Turklāt šādas pieejas palīdz attīstīt sānu domāšanas spēju, kas ir ļoti svarīga matemātiķim un vispār jebkuram cilvēkam, ja viņš vēlas gūt panākumus dzīvē.

Apskatīsim vēl vienu piemēru, pat ja jūs labi zināt reizināšanas tabulu:

Atņemt šķērsām:

4—1 = 3

Sareizināsim rezultātu ar atsauces numuru:

3 x 10 = 30

30: 2 = 15

Tagad reizināsim skaitļus apļos:

1 x 1 = 1

Pievienosim šo rezultātu starpatbildei:

15 +1 = 16

Tādējādi:

Mēģiniet pats atrisināt šādus piemērus:

a) 3 x 4 = __; b) 3 x 3 = __; c) 6 x 6 = __; d) 3 x 6 = __; e) 3 x 7 = __; e) 4 x 7 = __

Atbildes:

a) 12; b) 9; c) 36; d) 18; e) 21; e) 28

Esmu pārliecināts, ka šo piemēru risināšana jums nesagādāja ne mazāko problēmu. Es nedomāju, ka tas ir labākais veids, kā apgūt reizināšanas tabulas maziem skaitļiem. Manuprāt, visvieglāk ir to iemācīties. Bet daži cilvēki vēlas uzzināt, kā reizināt mazus skaitļus, izmantojot šo metodi, lai pārbaudītu tās daudzpusību. Citiem tas var patikt, jo viņi būs pārliecināti, ka pat tad, ja viņi aizmirst savas laika tabulas, ir vienkāršs veids, kā aprēķināt nepieciešamo produktu. Turklāt, pat ja jūs zināt savas reizināšanas tabulas no galvas, dažreiz var būt noderīgi un jautri spēlēt šādas spēles un eksperimentēt ar skaitļiem.

Reiziniet ar 5

Kā redzējām, lai reizinātu ar 5, vispirms var reizināt ar 10 un pēc tam rezultātu dalīt uz pusi. 5 ir vienāds ar pusi no 10. Lai reizinātu 6 ar 5, varat reizināt 6 ar 10, kas dod 60, un pēc tam rezultātu dalīt uz pusēm, iegūstot 30.

Izmēģiniet to pats:

a) 8 x 5 = __; b) 4 x 5 = __; c) 2 x 5 = __; d) 6 x 5 = __

Atbildes:

a) 40; b) 20; pulksten 10; d) 30

Bet ko darīt, ja desmitnieku skaits ir nepāra. Reiziniet 7 ar 5:

7 x 10 = 70

Ja jums ir grūti uzreiz sadalīt 70 uz pusēm, iedomājieties to kā summu: 60 +10. Tās puse ir 30 +5, kas ir 35.

Apskatīsim citu piemēru:

9 x 5 =

9 reiz 10 ir vienāds ar 90. 90 var uzrakstīt kā 80 +10. Puse no 80 +10 ir 40 +5, tātad atbilde ir 45. Atrisiniet paši:

a) 3 x 5 = __; b) 5 x 5 = __; c) 9 x 5 = __; d) 7 x 5 = __;

Atbildes:

a) 15; b) 25; c) 45; d) 35

Šis ir vienkāršs veids, kā uzzināt skaitļa 5 laika tabulas. Tas darbojas, ja skaitļi tiek reizināti ar 5. Piemēram:

14 x 5 =

14 x 10 = 140, un 140 dalīts ar 2, iegūst 70.

Tāpat:

23 x 5 =

23 x 10 = 230

230 = 220 +10

Puse no 220 +10 ir 110 +5

110 +5 = 115

Visus šos aprēķinus pēc nelielas prakses var izdarīt daudz ātrāk savā galvā.