Читать книгу Сочинения Джорджа Беркли. Том 3. Философские работы с 1734 по 1745 - - Страница 2

1. Хотя я и не знаком с вами лично, сударь, мне хорошо известна та репутация, которую вы снискали в отрасли, составляющей ваше основное занятие. Известен мне и тот авторитет, который вы, вследствие сего, присваиваете себе в вопросах, чуждых вашей профессии; равно как и те злоупотребления, что вы, вкупе с иными особами вашего склада, позволяете себе, опираясь на сей незаконный авторитет. Вы вводите в заблуждение неосторожных людей в вопросах величайшей важности, – в вопросах, где ваши математические познания никоим образом не могут служить мерилом компетенции. Впрочем, справедливость и здравый смысл велят нам пренебрегать суждением людей о вещах, кои они не обдумали и не исследовали. Но некоторые, громче всех заявляющие о своих притязаниях на эти качества, тем не менее, делают как раз то, что, казалось бы, презирают, облекаясь в ливрею мнений других людей и надевая на себя всеобщее почтение к суждению вас, господ, которые почитаются из всех людей величайшими мастерами рассудка, наиболее сведущими в отчётливых идеях и никогда не принимающими вещи на веру, но всегда ясно видящими свой путь, как люди, постоянным занятием которых является выведение истины путём справедливейшего умозаключения из самых очевидных принципов. С этим предубеждением на уме они подчиняются вашим решениям там, где вы не имеете права решать. И что это – один из кратких путей к созданию неверующих, мне достоверно известно.

2. Поскольку же предполагается, что вы постигаете отчётливее, рассматриваете пристальнее, выводите справедливее и заключаете точнее, нежели прочие люди, и что вы поэтому менее религиозны, ибо более рассудительны, я потребую привилегии свободомыслящего; и возьму на себя свободу исследовать объект, принципы и метод доказательства, принимаемые математиками нынешнего века, с той же свободой, с какой вы, как предполагается, обращаетесь с принципами и тайнами Религии; дабы все люди могли видеть, какое право вы имеете вести за собой, или какое поощрение есть у других следовать за вами. Старое замечание гласит, что Геометрия есть превосходная Логика. И должно признать, что когда определения ясны; когда постулаты не могут быть отвергнуты, ни аксиомы оспорены; когда из отчётливого созерцания и сравнения фигур их свойства выводятся посредством непрерывной, хорошо связанной цепи следствий, причём объекты постоянно сохраняются в виду, и внимание всегда сосредоточено на них; тогда приобретается привычка рассуждать, тесная, точная и методичная – какая привычка укрепляет и оттачивает ум и, будучи перенесена на другие предметы, имеет общее употребление в поиске истины. Но насколько это относится к нашим геометрическим аналитикам, возможно, стоит рассмотреть.

3. Метод Флюксий есть всеобщий ключ, с помощью коего современные математики отпирают секреты Геометрии, и, следовательно, Природы. И, поскольку именно он позволил им столь замечательно превзойти древних в открытии теорем и решении проблем, упражнение и приложение оного стало главным, если не единственным, занятием всех тех, кто в сей век слывёт глубокими геометрами. Но ли сей метод ясен или тёмен, последователен или противоречив, доказателен или сомнителен, я буду исследовать с величайшей беспристрастностью, и так же представлю моё исследование на ваше собственное суждение и суждение каждого беспристрастного читателя. – Предполагается, что линии порождаются [1] движением точек, плоскости – движением линий, а твёрдые тела – движением плоскостей.

[1] [Introd. ad Quadraturam Curvarum.] – АВТОР. В этом и трёх последующих разделах представлено краткое изложение тайн, заключённых в ньютоновских флюксиях, а также в исчислении континентальных математиков, которые, как утверждается, требуют не меньшей конечной веры, чем тайны, которые заключает в себе религия.

И поскольку количества, порождённые в равные времена, бывают больше или меньше в соответствии с большей или меньшей скоростью, с коей они возрастают и порождаются, был найден метод определять количества по скоростям их порождающих движений. И такие скорости называются флюксиями: а порождённые количества называются флюентами (текущими количествами). Говорят, что эти флюксии приблизительно так относятся друг к другу, как приращения флюент, порождённые в наименьшие равные частицы времени; и точно – в первой пропорции нарождающихся, или в последней – исчезающих приращений. Иногда, вместо скоростей, рассматриваются мгновенные приращения или убыли неопределённых флюент под названием моментов.

4. Под моментами мы не должны понимать конечные частицы. Говорят, что это не моменты, но количества, порождённые из моментов, каковые последние суть лишь зарождающиеся принципы конечных количеств. Говорится, что малейшие ошибки не должны быть пренебрегаемы в математике: что флюксии суть скорости, не пропорциональные конечным приращениям, сколь бы те ни были малы; но лишь моментам или нарождающимся приращениям, где рассматривается одна лишь их пропорция, а не величина. И у упомянутых флюксий есть другие флюксии, которые флюксии от флюксий называются вторыми флюксиями. А флюксии от этих вторых флюксий называются третьими флюксиями: и так далее, четвёртые, пятые, шестые и т. д. до бесконечности. Итак, как наше Чувство напряжено и озадачено восприятием объектов чрезвычайно малых, так же и Воображение, которая способность происходит от чувства, очень напряжено и озадачено, чтобы формировать ясные идеи наименьших частиц времени или наименьших приращений, порождённых в оных: и ещё более – чтобы постигать моменты, или те приращения флюент in statu nascendi, в самом их первом возникновении или начале существования, прежде чем они станут конечными частицами. И представляется ещё более трудным постигать отвлечённые скорости таких зарождающихся несовершенных сущностей. Но скорости от скоростей – вторые, третьи, четвёртые и пятые скорости и т. д. – превосходят, если я не ошибаюсь, всякое человеческое понимание. Чем далее ум анализирует и преследует эти ускользающие идеи, тем более он теряется и приходит в замешательство; объекты, вначале мимолётные и мелкие, скоро исчезая из виду. Несомненно, в любом смысле, вторая или третья флюксия представляется тёмной Тайной. Начинающаяся скорость от начинающейся скорости, нарождающееся приращение от нарождающегося приращения, т. е. от вещи, не имеющей величины – примите это в каком угодно свете, ясное представление оного, если я не ошибаюсь, окажется невозможным; так это или нет, я предоставляю испытанию каждого мыслящего читателя. И если вторая флюксия непостижима, что же нам думать о третьих, четвёртых, пятых флюксиях и так далее без конца?

5. Иностранные математики, по мнению некоторых, даже из наших собственных, действуют образом менее точным, возможно, и геометрическим, но более вразумительным. Вместо флюент и их флюксий, они рассматривают переменные конечные количества как возрастающие или уменьшающиеся путём постоянного прибавления или вычитания бесконечно малых количеств. Вместо скоростей, коими порождаются приращения, они рассматривают сами приращения или убыли, которые они называют разностями и которые предполагаются бесконечно малыми. Разность линии есть бесконечно малая линия; разность плоскости – бесконечно малая плоскость. Они предполагают, что конечные величины состоят из частей бесконечно малых, и что кривые суть многоугольники, стороны которых бесконечно малы, и которые углами, образуемыми ими друг с другом, определяют кривизну линии. Теперь, постичь количество бесконечно малое – то есть, бесконечно меньшее, чем любое ощутимое или вообразимое количество, или любая наименьшая конечная величина – это, признаюсь, выше моей способности. Но постичь часть такого бесконечно малого количества, которая должна быть всё ещё бесконечно меньше его, и, следовательно, будучи умноженной бесконечно, никогда не сравняется с малейшей конечной величиной, это, я подозреваю, есть бесконечная трудность для любого человека вообще; и будет признано таковой теми, кто чистосердечно говорит, что они думают; при условии, что они действительно думают и размышляют, а не принимают вещи на веру.

6. И всё же в дифференциальном исчислении, чей метод служит всем тем же целям и намерениям, что и метод флюксий, наши современные аналитики не довольствуются рассмотрением лишь разностей конечных величин: они рассматривают также разности этих разностей, и разности разностей первых разностей: и так до бесконечности. То есть, они рассматривают величины бесконечно меньшие, чем наименьшая различимая величина; и другие, бесконечно меньшие, чем эти бесконечно малые; и всё другие, бесконечно меньшие, чем предшествующие инфинитезимали, и так без конца и предела. Так что мы вынуждены допустить бесконечную последовательность инфинитезималей, каждая из которых бесконечно меньше предыдущей и бесконечно больше последующей. Подобно тому, как существуют первые, вторые, третьи, четвёртые, пятые и т. д. флюксии, так существуют и разности, первые, вторые, третьи, четвёртые и т.д., в бесконечном прогрессе к ничто, к которому ты всё приближаешься и никогда не достигаешь. И (что всего удивительнее) хотя бы ты взял миллион миллионов этих инфинитезималей, каждая из которых предполагается бесконечно большей, чем некоторая другая реальная величина, и прибавил их к наименьшей заданной величине, она от этого ничуть не станет больше. Ибо это есть одно из скромных допущений наших современных математиков и является краеугольным камнем или основанием их умозрений.

7. Все эти положения, говорю я, предполагаются и принимаются на веру некоторыми строгими требователями доказательств в религии, людьми, которые претендуют верить не дальше, чем могут видеть. То, что люди, имевшие дело лишь с ясными положениями, с трудом допускают тёмные, могло бы показаться не совсем необъяснимым. Но тот, кто может переварить вторую или третью флюксию, вторую или третью разность, не должен, мне кажется, брезговать каким бы то ни было положением в богословии. Существует естественное предположение, что способности людей созданы одинаковыми. Именно на этом предположении они пытаются спорить и убеждать друг друга. Следовательно, то, что одному кажется очевидно невозможным и противоречивым, можно предположить таковым же и для другого. Но с каким видом разумности может кто-либо осмелиться утверждать, что тайны не могут быть объектами веры, в то же самое время, когда он сам допускает подобные тёмные тайны быть объектом науки [[1]]?

___________

[[1] «Объекты науки», то есть объекты веры, или разумного доверия, которое лежит в основе математического и естественнонаучного знания, как оно же лежит и в основе религии и богословия.]

Отлично, я продолжил редактирование и исправление текста, следуя Вашим первоначальным инструкциям: исправляя ошибки и опечатки, заменяя англицизмы и сохраняя ссылки в квадратных скобках.

–-

8. Действительно, должно признать, современные математики не рассматривают эти вопросы как тайны, но как ясно постигнутые и освоенные их всеобъемлющими умами. Они не стесняются говорить, что с помощью этой новой аналитики они могут проникнуть в саму бесконечность; что они могут даже распространить свои взгляды за пределы бесконечности; что их искусство объемлет не только бесконечное, но и бесконечное из бесконечного (как они это выражаются), или бесконечность бесконечностей. Но, несмотря на все эти утверждения и притязания, можно справедливо усомниться, не обманываются ли они точно так же, как другие люди в других изысканиях часто бывают обмануты словами или терминами, будучи чудесным образом введены в заблуждение своими собственными особыми знаками, символами или видами. Нет ничего легче, чем придумать выражения или обозначения для флюксий и бесконечно малых первого, второго, третьего, четвёртого и последующих порядков, продолжающиеся в той же правильной форме без конца и предела: x, ẋ, ẍ, ⃛x и т. д. или dx, ddx, dddx, ddddx и т. д. Эти выражения, действительно, ясны и отчётливы, и ум не находит трудности в том, чтобы представить их продолжающимися за любые назначенные границы. Но если мы приподнимем покров и заглянем под него, если, отложив в сторону выражения, мы пристально обратимся к рассмотрению самих вещей, которые, как предполагается, ими выражены или обозначены, мы обнаружим много пустоты, темноты и смятения; более того, если я не ошибаюсь, прямые невозможности и противоречия. Так ли это или нет, каждый мыслящий читатель упрашивается исследовать и судить самостоятельно.

9. Рассмотрев объект, я перехожу к рассмотрению принципов этого нового анализа, основанного на моментах, флюксиях или бесконечно малых; в котором, если окажется, что ваши основные положения, от которых, как предполагается, зависят все остальные, содержат ошибку и ложное умозаключение; тогда последует, что вы, сами не знающие, как вести себя, не можете с какой бы то ни было пристойностью назначать себя проводниками для других людей. Главный пункт в методе флюксий – получить флюксию или момент прямоугольника или произведения двух неопределённых величин. Поскольку отсюда выводятся правила для получения флюксий всех других произведений и степеней; какими бы ни были коэффициенты или показатели, целые или дробные, рациональные или иррациональные. Теперь, можно было бы подумать, этот основополагающий пункт должен быть очень ясно разъяснён, учитывая, сколько на нём построено и что его влияние простирается на весь анализ. Но предоставим судить читателю. Вот что даётся в качестве доказательства [[1]].

___________

[[1] Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Lib. II. lem. 2.] – АВТОР.

Предположим, что произведение или прямоугольник AB увеличивается непрерывным движением: и что мгновенные приращения сторон A и B суть a и b. Когда стороны A и B были недостаточны, или меньше на половину своих моментов, прямоугольник был A – 1/2a × B – 1/2b, то есть AB – 1/2aB – 1/2bA + 1/4ab. И как только стороны A и B увеличиваются на другие две половины своих моментов, прямоугольник становится A + 1/2a × B + 1/2b или AB + 1/2aB + 1/2bA + 1/4ab. Из последнего прямоугольника вычтем первый, и остающаяся разность будет aB + bA. Следовательно, приращение прямоугольника, порождённое полными приращениями a и b, есть aB + bA. Что и требовалось доказать. Но очевидно, что прямой и истинный метод получения момента или приращения прямоугольника AB – это взять стороны увеличенными на их целые приращения и перемножить их друг на друга, A + a на B + b, произведение которых AB + aB + bA + ab есть увеличенный прямоугольник; откуда, если мы вычтем AB, остаток aB + bA + ab будет истинным приращением прямоугольника, превосходящим то, что было получено предыдущим неправомерным и окольным методом, на величину ab. И это справедливо универсально, будь величины a и b какими угодно, большими или малыми, конечными или бесконечно малыми, приращениями, моментами или скоростями. И не поможет говорить, что ab есть величина чрезвычайно малая: поскольку нам говорят, что in rebus mathematicis errores quam minimi non sunt contemnendi [в математических вопросах даже самые малейшие ошибки не должны презираться].

10. [[1]] Подобные этому рассуждения ничто, кроме темноты предмета, не могло бы поощрить или побудить великого автора флюксионного метода навязать своим последователям, и ничто, кроме слепого доверия к авторитету, не могло бы побудить их принять это.

_________

[[1] [Introd. ad Quadraturam Curvarum.]] – АВТОР.

Положение действительно трудное. Ничего нельзя сделать, пока вы не избавитесь от величины ab. Чтобы добиться этого, понятие флюксий сдвигается: оно помещается в различный свет: пункты, которые должны быть ясны как первые принципы, запутываются; и термины, которые должны использоваться неуклонно, становятся двусмысленными. Но, несмотря на всю эту изворотливость и искусство, цель избавления от ab не может быть достигнута законным рассуждением. Если человек методами не геометрическими и не доказательными удовлетворил себя в полезности некоторых правил; которые он впоследствии предложит своим ученикам в качестве несомненных истин; которые он предпринимает доказать тонким образом и с помощью изящных и запутанных понятий; нетрудно представить, что такие его ученики, чтобы избавить себя от труда мыслить, могут быть склонны смешивать полезность правила с достоверностью истины и принимать одно за другое; особенно если они люди, привыкшие скорее вычислять, чем мыслить; стремящиеся скорее продвигаться быстро и далеко, чем озабоченные тем, чтобы начинать осторожно и видеть свой путь отчётливо.

11. Точки, или просто пределы зарождающихся линий, несомненно равны между собой, так как величина одной из них не превышает другой, а предел, как таковой, не есть величина. Если под моментом (momentum) вы подразумеваете больше, чем самый начальный предел, то он должен быть либо конечной величиной, либо бесконечно малой. И действительно, хотя прибегали ко множеству хитростей, чтобы уклониться от признания величин бесконечно малых или как-либо избежать их, всё это, кажется, ни к чему не привело. Насколько я понимаю, без признания существования бесконечно малых величин нельзя признать существование величины, занимающей промежуточное положение между конечной величиной и нулём. Приращение, образованное за конечную частицу времени, само по себе является конечной частицей и вследствие этого не может быть моментом. Следовательно, для образования момента вам нужно брать бесконечно малую частицу времени. Говорят, что величина моментов не принимается во внимание, и тем не менее считается, что эти же самые моменты делятся на части. Это не легко понять, не легче, чем представить себе, почему для получения приращения AB мы должны брать величины меньшие, чем A и B, хотя необходимо признать, что конечная причина или побудительный мотив такого хода рассуждений совершенно очевидны; но не так легко и просто привести справедливую и законную причину в объяснение этого или показать, что она является строго геометрической.

12. Из доказанного таким образом вышеупомянутого принципа выводится общее правило нахождения флюксии любой степени. Но так как автор, кажется, испытывал скрытые угрызения совести или сознавал ущербность вышеприведённого доказательства и так как это нахождение флюксии данной степени есть вопрос первостепенной важности, было сочтено уместным вследствие этого доказать то же самое, но иным способом, отличным от приведённого выше доказательства. Однако теперь я перехожу к рассмотрению того, является ли этот другой метод более законным и убедительным, чем прежний; своему рассмотрению я предпосылаю следующую лемму: «Если для доказательства какого-либо предположения выдвигается определённое положение, благодаря которому доказываются некоторые другие положения, и если такое выдвинутое положение впоследствии само будет опровергнуто или отвергнуто противоположным предположением, то в этом случае все другие положения, доказанные при его помощи и вытекающие из него, должны быть также опровергнуты и отвергнуты, с тем чтобы в дальнейшем они не выдвигались и в доказательстве не применялись». Это настолько очевидно, что не нуждается в доказательстве.

13. Второй способ получения правила нахождения флюксии любой степени заключается в следующем. Пусть величина х возрастает равномерно и пусть предлагается найти флюксию xⁿ. За тот же отрезок времени, что х путём возрастания становится (х + o), степень xⁿ становится (х + o)ⁿ; т. е. в соответствии с методом бесконечных рядов xⁿ + noxⁿ⁻¹ + (nn – n)/2 ooxⁿ⁻² + … Допустим, что приращения исчезают, и их последнее отношение будет составлять 1 : nxⁿ⁻¹. Но, представляется нам, такой ход рассуждений не будет справедливым или убедительным. Ибо когда говорят: пусть приращения исчезают, т. е. пусть приращения равны нулю или пусть не будет никаких приращений, тем самым прежнее допущение, что приращения представляют собой какую-то величину или что приращения имели место, отвергается, однако следствие того допущения, т. е. выражение, полученное благодаря ему, сохраняется. А это, в соответствии с вышеуказанной леммой, представляет собой ложный ход рассуждения. Безусловно, если мы предполагаем, что приращения исчезают, то мы должны предположить, что вместе с ними исчезают их соотношения, их выражения и всё остальное, выведенное из предположения об их существовании.

14. Чтобы сделать этот вопрос более понятным, я разверну ход рассуждения и изложу его перед вами более полно. Он сводится, следовательно, к следующему, или, другими словами, может быть выражен следующим образом. Я полагаю, что величина х – переменная, что она возрастает в результате изменения, её приращение я обозначу o, так что в результате возрастания она становится (х + o). Так как х увеличился, из этого следует, что каждая степень х также увеличивается в соответствующей пропорции. Следовательно, раз х становится (x + o), xⁿ становится (х + o)ⁿ, т. е. в соответствии с методом бесконечных рядов xⁿ + noxⁿ⁻¹ + (nn – n)/2 ooxⁿ⁻² + … А если из двух возросших величин мы вычтем соответственно основание и степень, то получим в остатке два приращения, а именно o и noxⁿ⁻¹ + (nn – n)/2 ooxⁿ⁻² + … а если оба приращения разделить на общий делитель «o», то получим частные 1 и nxⁿ⁻¹ + (nn – n)/2 oxⁿ⁻² + … которые, следовательно, являются показателями соотношения приращений. До сих пор я предполагал, что х возрастает, что х обладает действительным приращением, что o есть нечто [определённое]. И я всё время исходил из этого предположения, без которого я не смог бы сделать ни одного шага вперёд. На основании этого предположения я получаю приращение xⁿ, в состоянии сравнить его с приращением х и нахожу соотношение между двумя приращениями. Теперь я прошу разрешить мне сделать новое предположение, прямо противоположное первому, т. е. я предположу, что нет никакого приращения х или что o есть ничто; это второе предположение опровергает моё первое, несовместимо с ним и, следовательно, со всем тем, что им предполагается. Тем не менее я прошу разрешения сохранить nxⁿ⁻¹ – выражение, полученное благодаря моему первому предположению, необходимо обусловленное таким предположением, причём получение его без первого предположения было бы невозможно. Всё это представляется весьма непоследовательным способом аргументации, и притом таким, который не допускался бы в отношении вопросов о божественном.

15. Нет ничего более очевидного, как то, что из двух несовместимых предположений нельзя непосредственно вывести правильное заключение. Правда, можно предположить всё что угодно. Но ведь нельзя предполагать то, что может уничтожить первое предположение; или же, если вы так поступаете, то должны начать de novo [сначала]. Следовательно, если вы предполагаете, что увеличения исчезают, т. е. что увеличений нет, то вы должны начать снова и посмотреть, что следует из такого предположения. Но отсюда не следует ничего, что послужило бы вашей цели. Таким путём вы вообще не сможете прийти к сделанному вами выводу или, проводя анализ конечных величин, успешно осуществить то, что знаменитый автор называет изучением первого или последнего отношения зарождающихся или исчезающих величин. Я вновь повторяю: вы свободны делать любые возможные предположения; и вы можете опровергнуть одно предположение при помощи другого; но тогда вы не можете сохранить следствия или какую-либо часть следствий вашего первого предположения, опровергнутого таким образом. Я признаю, что можно заставить знаки обозначать что-либо или ничто, и, следовательно, в первоначальной записи (х + o) o может означать либо приращение, либо нуль. Но затем, какое бы из этих двух значений вы ему ни придали, вы должны рассуждать последовательно в соответствии с этим значением, а не исходить из двойного значения; делать так было бы явным софизмом. Рассуждаете ли вы при помощи слов или символов, правила здравого смысла остаются теми же. Нельзя также предположить, что вы сможете присвоить себе привилегию – быть свободным от этих правил в математике.

16. Если вы сначала допускаете, что какая-то величина возрастает на нуль и в выражении (х + o) o обозначает нуль, то, в соответствии с этим допущением, раз не будет приращения основания, не будет и приращения степени; и, следовательно, из всех членов ряда, составляющего степень бинома, останется только первый член; поэтому при помощи такого способа вы никогда не получите законным образом необходимое вам выражение флюксии. Отсюда вы вынуждены ступить на ложный путь, действуя до определённого момента на основании допущения приращения, а затем сразу же изменяя своё допущение на прямо противоположное (отсутствие приращения). Может показаться, что при осуществлении этого в определённый момент или период требуется большое искусство, поскольку, если бы это второе допущение было сделано до деления на общий делитель o, всё бы мгновенно исчезло, и на основании своего допущения вы ничего бы не получали; в то время как благодаря этой уловке – сначала разделить, а потом уже изменить своё допущение, вы сохраняете 1 и nxⁿ⁻¹. Но, несмотря на всю эту ловкость, проявленную для прикрытия ошибки, последняя остаётся той же самой. Ибо независимо от того, сделаете вы это раньше или позже, как только сделано второе допущение или предположение, в тот же самый миг уничтожается и полностью исчезает прежнее допущение и всё то, что вы получили при его помощи. И это справедливо в отношении всего, каков бы ни был объект изучения, во всех сферах человеческого познания; я полагаю, что в любой другой из этих сфер люди едва ли бы допустили подобный ход рассуждений, принятый для доказательства в математике.

17. Быть может, не будет лишним заметить, что метод нахождения флюксии от произведения двух текущих величин, как он изложен в «Трактате о квадратурах», отличается от упомянутого выше, взятого из второй книги «Начал», и по сути совпадает с тем, что используется в дифференциальном исчислении [[1]]. Поскольку предположение о бесконечно уменьшающейся величине и последующее её отбрасывание по сути есть отбрасывание бесконечно малой величины; и, действительно, требуется удивительная острота различения, чтобы суметь отличить исчезающие приращения от бесконечно малых разностей. Возможно, скажут, что величина, будучи бесконечно уменьшенной, становится ничем, и, таким образом, отбрасывается ничто. Но, согласно принятым принципам, очевидно, что никакая геометрическая величина никаким делением или подразделением не может быть исчерпана или сведена к нулю. Принимая во внимание различные уловки и приёмы, используемые великим автором метода флюксий; в скольких смыслах он понимает свои флюксии; и сколькими разными способами он пытается доказать один и тот же пункт; можно было бы склониться к мысли, что он сам сомневался в справедливости своих собственных доказательств и что он не был в достаточной мере доволен ни одним понятием, чтобы неуклонно придерживаться его. По крайней мере, очевидно следующее: он признавал себя удовлетворённым относительно определённых пунктов, которые, тем не менее, не брался доказать другим [[2]]. Проистекало ли это удовлетворение из пробных методов или индукций, которые часто допускались математиками (например, доктором Валлисом в его «Арифметике бесконечностей»), я не берусь определять. Но, какова ни была ситуация с автором, представляется, что его последователи проявили себя более ревностными в применении его метода, нежели точными в исследовании его принципов.

___________

[[1] [Analyse des Infiniment Petits, Part I. prop. 2.]] – АВТОР. Ньютон из «Квадратур» (1704) отличается от Ньютона из «Начал» (1687).]

[[2] [См. Письмо Колинзу, 8 ноября 1676г.]] – АВТОР.

18. Любопытно наблюдать, с какой тонкостью и искусством этот великий гений пытается бороться с непреодолимой трудностью; и сквозь какие лабиринты он старается избежать учения о бесконечно малых; которое, хотя и вторгается в его учение волей-неволей, тем не менее принимается и усваивается другими без малейшего сопротивления; – Лейбниц и его последователи в своём дифференциальном исчислении не делают никакого затруднения, чтобы сначала предположить, а затем отбросить бесконечно малые величины; с какой ясностью в понимании и правильностью в рассуждении, любой мыслящий человек, не предубеждённый в пользу этих вещей, может легко усмотреть. Понятие или идея бесконечно малой величины, как объект, просто постигаемый умом, уже были рассмотрены [[1]]. Теперь я лишь замечу относительно метода избавления от таких величин, что это делается без малейших церемоний. Поскольку во флюксиях пунктом первостепенной важности, который прокладывает путь к остальным, является нахождение флюксии от произведения двух неопределённых величин, так и в дифференциальном исчислении (который метод, как предполагается, был заимствован из первого с некоторыми небольшими изменениями) главным пунктом является получение разности такого произведения. Теперь правило для этого получается путём отбрасывания произведения или прямоугольника разностей. И в целом предполагается, что никакая величина не становится больше или меньше от прибавления или вычитания своей бесконечно малой: и, следовательно, никакая ошибка не может возникнуть от такого отбрасывания бесконечно малых.

___________

[[1] [См. «Сейрис», секции 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35.]]

19. И всё же следует полагать, что какие бы ошибки ни допускались в посылках, пропорциональные ошибки следует ожидать и в заключении, будь они конечными или бесконечно малыми: и что, следовательно, точность геометрии требует, чтобы ничто не было упущено или отброшено. В ответ на это вы, возможно, скажете, что выводы являются точно верными и что, поэтому, принципы и методы, из которых они выведены, также должны быть таковыми. Но этот перевёрнутый способ доказательства ваших принципов через ваши выводы, будучи характерным именно для вас, господа, является также противоречащим правилам логики. Истинность заключения не доказывает ни форму, ни содержание силлогизма истинными; поскольку умозаключение могло быть проведено неверно или посылки могли быть ложными, и тем не менее заключение могло оказаться истинным, хотя и не в силу такого умозаключения или таких посылок. Я утверждаю, что во всех прочих науках люди доказывают свои выводы своими принципами, а не свои принципы – выводами. Но если в вашей науке вы позволите себе этот противоестественный способ действия, следствием будет то, что вам придётся довольствоваться индукцией и сказать прощай демонстрациям. И если вы на это согласитесь, ваш авторитет более не будет указывать путь в вопросах разума и науки.

20. У меня нет разногласий с вами относительно ваших выводов; они у меня есть только относительно вашей логики и метода. Как вы проводите доказательство? Какие предметы вам хорошо знакомы и ясно ли вы их себе представляете? На основе каких принципов вы действуете, насколько они правильны и как вы их применяете? Необходимо помнить, что меня интересует не истинность ваших теорем, а лишь способ их доказательства: законный он или незаконный, ясный или туманный, научный или экспериментальный. Чтобы исключить всякую возможность вашего неверного суждения обо мне, я прошу разрешения повторить и вновь настаиваю, что я рассматриваю геометра-аналитика как логика, то есть [изучаю] то, каким образом он рассуждает и доказывает; а его математические выводы рассматриваю не сами по себе, а в их связи с посылками; не в отношении того, являются ли они истинными или ложными, полезными или не имеющими значения, а лишь в отношении того, каким образом они выводятся из таких принципов и при помощи таких приёмов умозаключения. А поскольку может показаться необъяснимым парадоксом, что математики выводят правильные заключения, исходя из ложных принципов, – могут прийти к верному выводу и тем не менее ошибаться в посылках, – я попытаюсь конкретно объяснить, почему это может произойти, и покажу, как ошибка может породить истину, хотя и не может породить науку.

21. Следовательно, для того чтобы выяснить это положение, предположим, например, что надо провести касательную к параболе, и рассмотрим решение этой задачи при помощи бесконечно малых дифференциалов. Пусть АВ – кривая, абсцисса АР = х, ордината РВ = у, приращение абсциссы PM = dx, приращение ординаты RN = dy. Теперь допустим, что кривая представляет собой многоугольник и, следовательно, BN, то есть приращение (разность кривой), является отрезком прямой, совпадающим с касательной, а дифференциальный треугольник BRN подобен треугольнику ТРВ. Тогда подкасательная РТ будет определяться из пропорции RN : RB = РВ : РТ, то есть dy : dx = y : РТ. Отсюда подкасательная будет равна y dx/dy.

Но здесь и содержится ошибка, возникшая в результате вышеупомянутого допущения, не соответствующего действительности, вследствие чего величина РТ получается больше, чем она есть на самом деле: ибо в действительности не треугольник RNB подобен РВТ, а треугольник RLB, и поэтому первым членом пропорции должен быть не RN, a RL, то есть RN + NL, то есть dy + z. Отсюда истинным выражением для подкасательной должно было бы быть y dx/(dy + z). Следовательно, когда dy было сделано делителем, была допущена ошибка, так как была взята меньшая, чем на самом деле, величина, и эта ошибка равнялась z, то есть NL, отрезку, заключённому между кривой и касательной.

Далее, в соответствии с характеристикой кривой, уу = рх, где р – параметр, отсюда в соответствии с правилом дифференцирования 2y dy = p dx и dy = p dx/2y. Но если умножить (y + dy) само на себя и сохранить всё произведение, не отбрасывая площадь дифференциала, тогда, если подставить возросшие величины в уравнение кривой, окажется, что действительно y dy + dy² = p dx/2. Следовательно, была допущена ошибка, когда сочли, что 2y dy = p dx, приведшая к увеличению истинного значения dy и вытекающая из ошибочного правила дифференцирования. И величина этой второй ошибки равна dy²/y. Следовательно, обе ошибки равны друг другу и взаимно уничтожаются; первая ошибка, приведшая к уменьшению истинного значения выражения, исправлена второй ошибкой, увеличивающей его значение.

22. Если допустить только одну ошибку, не найдёшь правильного решения задачи. Но благодаря двойной ошибке доходишь до истины, хотя и не до науки. Ибо нельзя назвать наукой тот путь, при котором двигаешься вслепую и добираешься до истины, не зная как и при помощи каких средств. Для доказательства равенства обозначим BR или dx как m, a RN или dy как n. На основании 33-й теоремы первой книги «Конусов» Аполлония и подобия треугольников следует, что 2x : y, как m : z + n. Аналогично из характеристики параболы следует, что (уу + 2уn + nn) = хр + mр, а 2уn + nn = mр; вследствие чего m = (2уn + nn)/p и поскольку y² = px, x = y²/p. Следовательно, подставляя эти значения вместо m и x, мы получим (2y²/p) : y = ( (2yn + nn)/p ) : (z + n), что после сокращения дает 2y : 1 = (2yn + nn) : (z + n), откуда 2y(z + n) = 2yn + nn, и, следовательно, 2yz + 2yn = 2yn + nn, и тогда 2yz = nn, и z = nn/2y, что и требовалось доказать.

23. Теперь я, прежде всего, замечу, что итог получается правильным не потому, что отброшенная величина dy была бесконечно мала, а потому, что эта ошибка была компенсирована другой ошибкой, противоположной по своему характеру, но равной ей. Во-вторых, замечу: что бы ни было отброшено, как бы мало оно ни было, если оно было действительным и, следовательно, составляло реальную ошибку в посылках, оно вызвало бы соответственную ошибку в итоге. В силу этого ваши теоремы не могут быть непогрешимо правильными, а ваши задачи – точно решёнными, так как сами посылки неточны; в логике является правилом: conclusio sequitur partem debiliorem [заключение следует за более слабой частью]. Поэтому замечу, в-третьих: когда заключение очевидно, а посылки неясны, или, когда заключение точно, а посылки неточны, мы можем совершенно свободно заявить, что такое заключение очевидно или точно не в силу упомянутых неясных и неточных посылок или принципов, а в силу некоторых иных принципов, о которых сам автор доказательства, возможно, вообще не знал и не думал.

24. Чтобы более полно проиллюстрировать это положение, я рассмотрю его в несколько ином свете и, оперируя вплоть до самого заключения конечными величинами, буду использовать тогда только одну бесконечно малую величину. Положим, что прямая MQ пересекает кривую AT в точках R и S. Положим, что LR – касательная в точке R, AN – абсцисса, NR и OS – ординаты. Продолжим AN до пересечения с О и проведём RP параллельно NO. Положим, что AN = x, NR = y, NO = v, PS = z, поднормаль (subsecant) MN = s. Пусть уравнение y = xx выражает характеристику кривой; предположив, что у и х возрастают на конечное приращение, мы получаем:

у + z = хх + 2xv + vv

отсюда, после вычитания предыдущего уравнения, остаётся z = 2xv + vv. На основании подобия треугольников PS : PR = NR : NM, то есть z : v = y : s, следовательно s = yv/z.

подставив сюда вместо z его значение, мы получаем: s = yv/(2xv + vv) = y/(2x + v).

Если предположить, что NO уменьшено до величины бесконечно малой, поднормаль NM будет в этом случае совпадать с подкасательной NL, а v, как величина бесконечно малая, может быть отброшена, отсюда s = NL = y/2x, что и является истинным значением подкасательной. И поскольку при его получении была допущена только одна ошибка, т. е. однажды отброшена только одна бесконечно малая величина, то может показаться в противоположность тому, что говорилось ранее, будто можно пренебречь бесконечно малой величиной, или дифференциалом, отбросить его, и тем не менее итог будет истинным и точным, хотя и не была допущена двойная ошибка, т. е. не было исправления одной ошибки при помощи другой, как это имело место в первом случае. Но если тщательно рассмотреть это положение, мы обнаружим, что даже в данном случае допускается двойная ошибка и одна из них компенсирует или исправляет вторую. Ибо, во-первых, мы предполагали, что, когда NO уменьшается до бесконечно малой величины или становится бесконечно малой величиной, тогда поднормаль NM становится равной подкасательной NL. Но это очевидная ошибка, ибо совершенно ясно, что, поскольку секущая не может быть касательной, поднормаль не может быть подкасательной. Пусть разность будет очень мала, всё же она будет. А если NO – бесконечно малая величина, даже тогда будет налицо бесконечно малая разность между NM и NL. В силу этого NM или s было слишком мало для вашего допущения (когда вы допускали, что оно равно NL) и эта ошибка была компенсирована второй ошибкой, состоявшей в отбрасывании v, и в результате этой последней ошибки s стало больше, чем его истинное значение, и вместо него дало значение подкасательной. Таково истинное положение вещей в нашем случае, каким бы замаскированным он ни был. И к этому он сводится в действительности и в основе своей остаётся тем же самым, даже если мы позволим себе найти подкасательную, сначала определив с помощью уравнения кривой и подобных треугольников общее выражение для всех поднормалей, а затем подведя подкасательную под это общее правило, считая её поднормалью, когда v приближается к нулю или становится равным ему.

25. По поводу всего примера в целом я замечу, во-первых, что v вообще не может быть равным нулю, поскольку имеется секущая. Во-вторых, одна и та же прямая не может быть и касательной, и секущей. В-третьих, когда v или NO приближается к нулю, PS и SR также приближаются к нулю, а с ними и пропорциональность подобных треугольников. Следовательно, все выражение, полученное с помощью этой пропорциональности и на ней основанное, приближается к нулю, когда приближается к нулю v. В-четвертых, способ нахождения секущих или их выражения, каким бы общим он ни был, не может с точки зрения здравого смысла распространяться за пределы нахождения именно всех секущих; и поскольку он необходимо предполагает наличие подобных треугольников, то в тех случаях, когда подобных треугольников нет, его применение нельзя даже предполагать. В-пятых, поднормаль всегда будет меньше подкасательной и никогда не может с ней совпадать; допускать подобное совпадение было бы абсурдно, ибо это означало бы допускать, что одна и та же прямая в одно и то же время пересекает и не пересекает другую данную линию; это представляет собой очевидное противоречие, подрывающее гипотезу и служащее доказательством ее ложности. В-шестых, если это доказательство не будет признано, я потребую, чтобы мне назвали причину, почему не это, а какое-либо иное апагогическое доказательство, или доказательство ad absurdum, признано в геометрии, или же между моим доказательством и другими подобными доказательствами должно быть найдено какое-либо реальное различие. В-седьмых, замечу: предположить, что NO или RP, PS я SR являются конечными реальными прямыми, образующими треугольник RPS, чтобы получить пропорции при помощи подобных треугольников, а затем допустить, что таких прямых (а следовательно, и подобных треугольников) не существует, но тем не менее сохранить следствие первого предположения после того, как такое предположение уничтожено прямо противоположным, – это чистая софистика. В-восьмых, хотя в данном случае при помощи несовместимых допущений можно получить истину, тем не менее такая истина не доказана; подобный метод не соответствует правилам логики и правильного мышления; каким бы полезным он ни был, его необходимо считать только предположением, ловким приемом (knack), хитростью, скорее уловкой, но не научным доказательством.

26. Изложенная выше теория может быть далее проиллюстрирована следующим простым и легким примером, в котором я использую приближающиеся к нулю приращения. Положим, АВ=х, ВС=у, BD=o, а хх равен площади ABC; предполагается найти ординату у или ВС. Когда благодаря возрастанию х становится (x+o), тогда хх становится (хх+2хо+оо); а площадь ABC становится ADH, и приращение хх будет равно BDHC, приращению площади, т. е. (BCFD+CFH). и если мы положим, что криволинейное пространство CHF равно qoo, тогда что при делении на о дает 2x+o=y+qo. и если допустить, что о исчезает, тогда 2х=у, и в этом случае АСН будет прямой, а фигуры ABC, CFH – треугольниками. Но в отношении такого хода рассуждений было уже замечено : допускать, что о приближается к нулю, т. е. равно нулю, неправомерно и нелогично, если только мы одновременно с самим приращением не отбросим все следствия такого приращения, т. е. все то, чего нельзя получить, коль скоро не допускают такого приращения. Необходимо тем не менее признать, что задача решается правильно и вывод, к которому нас привел этот метод, правилен. Поэтому могут спросить: как же получается, что отбрасывание о не сопровождается никакими ошибками в выводе? Я отвечу: подлинная причина этого очевидна: раз q составляет единицу, qo равно о; и в силу этого

поскольку qo и о, как равные величины с противоположными знаками, взаимно уничтожаются.

27. Хотя, с одной стороны, было бы абсурдным избавляться от о, заявив: «Разрешите мне противоречить самому себе. Разрешите мне опровергнуть свое собственное предположение. Разрешите мне считать доказанным, что нет никакого приращения, хотя я сохраняю величину, которую я вообще не мог бы получить, если бы не предположил наличие приращения», с другой стороны, было бы в равной мере неправильным вообразить, что в геометрическом доказательстве нам может быть позволено допускать ошибки, какими бы незначительными они ни были, или что по самой природе вещей возможно сделать правильный вывод на основе неточных принципов. Поэтому о может быть отброшено не как бесконечно малая величина и не на том основании, что бесконечно малыми величинами можно спокойно пренебрегать, а только потому, что оно уничтожается равной величиной с отрицательным знаком, отсюда (о – qo) равно нулю. и поскольку неправомерно сокращать уравнение путем вычитания из одной его части какой-либо величины, если только она не должна быть уничтожена или если из другой части уравнения не вычитается равная ей величина, то наш способ вести рассуждение необходимо признать в качестве весьма логичного и правильного и в заключение заявить, что, если из равных величин вычесть равные величины или нули, их равенство не нарушится. и это – истинная причина того, что в конечном итоге отбрасывание о не приводит к ошибке, что, следовательно, не должно быть отнесено за счет учения о дифференциалах, бесконечно малых величинах, исчезающих величинах, [механических] моментах или флюксиях.

28. Допустим, имеется самый общий пример и хn равен площади ABC; отсюда при помощи метода флюксий найдем значение ординаты – nхn-1, которое мы примем за истинное, и рассмотрим, как оно было получено. Если мы довольствуемся тем, что придем к выводу самым общим путем, предположив, что найдено отношение флюксий х и хn, равное 1: nхn-1, и что ордината упомянутой площади считается ее флюксией, мы не увидим ясно свой путь и не поймем, как обнаруживается истина, поскольку, как мы показали ранее, этот метод неясен и нелогичен. Но если мы четко обозначим площадь и ее приращение, разделим последнее на две части BCFD и CFH и будем действовать последовательно при помощи уравнений, составленных из алгебраических и геометрических величин, тогда совершенно четко выявится внутреннее обоснование всего решения. Ибо если хn равен площади ABC, то приращение хn равно приращению площади, т. е. BDHC; другими словами

И поскольку сохраняются только первые члены из каждой части уравнения, noxn-1 = BDFC. Разделив обе части на о или BD, получим noxn-1 = ВС. В силу чего допустим, что криволинейное пространство CFH равно величине ooxn-2 и т. д., которую можно отбросить, и, когда одно отброшено из одной части, а другое – из другой, ход рассуждения становится правильным, а вывод верным. и совершенно безразлично, какое значение вы придадите BD – бесконечно малого дифференциала или большого конечного приращения. Отсюда очевидно, что предположение о том, что подлежащая отбрасыванию алгебраическая величина является бесконечно малой или исчезающей и поэтому ею можно пренебречь, должно было бы привести к ошибке, если бы противостоящие ей величины не были бы равны ей и не вычитались бы одновременно из другой части уравнения, в соответствии с аксиомой: если от равных величин отнять равные, остатки будут равны. Ибо те величины, которыми, по утверждению аналитиков, следует пренебречь, или же которые следует считать исчезающими, в действительности компенсируются другими. Поэтому, чтобы вывод был верен, абсолютно необходимо, чтобы компенсирующее пространство CFH было равно отбрасываемому приращению, выраженному через аналогичное, как я сказал бы, компенсирующее конечное выражение.

29. Следовательно, какова бы ни была степень, с какой бы то ни было стороной возникнет алгебраическое выражение, а с другой – геометрическая величина, каждая из которых естественным образом подразделяется на три члена. Алгебраическое, или флюксионное, выражение – на такое, которое не включает ни выражения приращения абсциссы, ни какой-либо её степени; другое, которое включает выражение самого приращения; и третье, включающее выражение степеней приращения. Геометрическая величина, или вся увеличенная площадь, также состоит из трёх частей, или членов, – первый из которых есть данная площадь; второй – прямоугольник под ординатой и приращением абсциссы; и третий – криволинейное пространство. И, сравнивая однородные или соответственные члены с обеих сторон, мы находим, что, как первый член выражения является выражением данной площади, так второй член выражения будет выражать прямоугольник, или второй член геометрической величины, а третий, содержащий степени приращения, будет выражать криволинейное пространство, или третий член геометрической величины. Это указание, быть может, может быть далее распространено и с пользою применено теми, у кого есть досуг и любопытство для подобных предметов. Польза, которую я из него извлекаю, состоит в том, чтобы показать, что анализ справедлив не только для приращений или разностей, но он должен быть справедлив и для конечных величин, сколь бы велики они ни были, как было замечено ранее.

30. Таким образом, по-видимому, в целом можно с уверенностью утверждать, что заключение не может быть верным, если для его достижения какая-либо величина обращается в ничто, или ею пренебрегают, – за исключением того, что либо одна ошибка исправляется другой; либо, во-вторых, на одной и той же стороне уравнения равные величины уничтожаются противоположными знаками, так что величина, которую мы намерены отбросить, сначала аннулируется; или, наконец, что из противоположных сторон вычитаются равные величины. И потому избавляться от величин посредством принятых принципов флюксий или разностей не есть ни хорошая геометрия, ни хорошая логика. Когда приращения исчезают, скорости также исчезают. Говорят, что скорости, или флюксии, являются первоначальными и конечными, как приращения зарождающимися и исчезающими. Возьмите, следовательно, отношение исчезающих величин, оно то же самое, что и отношение флюксий. Оно, следовательно, будет служить всем намерениям столь же хорошо. Для чего же тогда вводятся флюксии? Не для того ли, чтобы избегнуть или, вернее, замаскировать использование бесконечно малых величин? Но у нас нет понятия, посредством которого можно было бы постигать и измерять различные степени скорости, кроме пространства и времени; или, когда времена заданы, кроме одного лишь пространства. У нас даже нет понятия о скорости, отвлечённой от времени и пространства. Когда, следовательно, предполагается, что точка движется в заданные времена, у нас нет понятия о больших или меньших скоростях, или о пропорциях между скоростями, но лишь о более длинных или коротких линиях и о пропорциях между такими линиями, порождёнными в равные части времени.

31. Точка может быть пределом линии: линия может быть пределом поверхности: момент может ограничивать время. Но как мы можем постигать скорость с помощью таких пределов? Она по необходимости подразумевает и время, и пространство и не может быть постигнута без них. И если скорости зарождающихся и исчезающих величин, то есть отвлечённые от времени и пространства, не могут быть постигнуты, как же мы можем постигать и демонстрировать их пропорции; или рассматривать их первоначальные и конечные отношения? Ибо рассматривать пропорцию, или отношение, вещей подразумевает, что такие вещи имеют величину; что эти их величины могут быть измерены и их отношения друг к другу известны. Но, поскольку нет меры скорости, кроме времени и пространства, а пропорция скоростей составляется лишь из прямой пропорции пространств и обратной пропорции времён; не следует ли из этого, что рассуждать об исследовании, получении и рассмотрении пропорций скоростей, исключая время и пространство, – значит рассуждать непонятно?

32. Но вы скажете, что в использовании и применении флюксий люди не перенапрягают свои способности для точного восприятия вышеупомянутых скоростей, приращений, бесконечно малых или каких-либо других подобных идей столь тонкой, утончённой и исчезающей природы. И потому вы, быть может, будете утверждать, что проблемы могут быть решены без этих непостижимых предположений; и что, следовательно, учение о флюксиях, что касается практической части, свободно от всех подобных трудностей. Я отвечаю, что если при использовании или применении этого метода этим трудным и тёмным пунктам не уделяется внимание, они тем не менее предполагаются. Они – основания, на которых современники строят принципы, на которых они продвигаются в решении проблем и открытии теорем. С методом флюксий дело обстоит так же, как и со всеми другими методами, которые предполагают свои соответствующие принципы и на них обоснованы; хотя правила могут применяться на практике людьми, которые ни не уделяют внимания, ни, быть может, не знают принципов. Подобным же образом, следовательно, как моряк может практически применять определённые правила, выведенные из астрономии и геометрии, принципы которых он не понимает; и как любой обычный человек может решать различные численные задачи с помощью общеупотребительных правил и операций арифметики, которые он выполняет и применяет, не зная их оснований: даже так нельзя отрицать, что вы можете применять правила флюксионного метода: вы можете сравнивать и сводить частные случаи к общим формам: вы можете действовать и вычислять и решать проблемы посредством него, не только без фактического внимания к основаниям того метода и принципам, от которых он зависит и из которых выведен, или фактического знания их, но даже без того, чтобы когда-либо рассматривать или постигать их.

33. Но тогда должно помниться, что в таком случае, хотя вы и можете сойти за искусника, вычислителя или аналитика, вы, однако, не можете по справедливости считаться человеком науки и доказательства. И ни один человек, в силу своей осведомлённости в таких тёмных аналитических приёмах, не должен воображать, что его рациональные способности более развиты, чем те способности других людей, которые упражнялись иным образом и на иных предметах; тем более возводить себя в судьи и оракула относительно вопросов, которые не имеют никакой связи с или зависимости от тех видов, символов или знаков, в управлении которыми он столь осведомлён и искусен. Как вы, будучи искусным вычислителем или аналитиком, не можете, поэтому, считаться искусным в анатомии; или, наоборот, как человек, который может искусно препарировать, может, тем не менее, быть несведущим в вашем искусстве вычисления: даже так вы оба, несмотря на ваше особое умение в ваших соответствующих искусствах, можете быть в равной степени неквалифицированны, чтобы выносить решения по вопросам логики, или метафизики, или этики, или религии. И это было бы верно, даже допуская, что вы понимаете ваши собственные принципы и можете их демонстрировать.

34. Если скажут, что флюксии можно объяснить или выразить при помощи отрезков прямых, им пропорциональных; что поскольку эти отрезки можно отчетливо воспринять, познать и на них можно основываться, то их можно подставить вместо флюксий, а их отношения, или пропорции, рассматривать как пропорции флюксий; что благодаря такому приему теория флюксий становится ясной и полезной, – на это я отвечу: для того чтобы получить эти конечные прямые, пропорциональные флюксиям, необходимо предпринять определенные неясные шаги, которые представить себе невозможно; и пусть эти конечные прямые сами по себе воспринимаются очень ясно, тем не менее необходимо признать, что ход ваших рассуждений не ясен, а ваш метод не научен. Например, положим, что АВ – абсцисса, ВС – ордината, a VCH – касательная к кривой АС; Вb или СЕ – приращение абсциссы, Еc – приращение ординаты, которая, будучи продолжена, пересекает VH в точке Т, а Сс – приращение кривой. Если прямую Сс продолжить до К, образуется три небольших треугольника – прямолинейный СЕс, треугольник со смешанными прямо- и криволинейными сторонами СЕс и прямолинейный треугольник СЕТ. Очевидно, что эти три треугольника отличаются друг от друга: прямолинейный треугольпик СЕс меньше треугольника СЕс со смешанными прямо- и криволинейными сторонами, которые представляют собой три вышеупомянутых приращения; в свою очередь последний меньше треугольника СЕТ. Допустим, что ордината bc перемещается на место ВС, так что точка с совпадает с точкой С, а прямая СК и, следовательно, кривая Сс совпадает с касательной СН. В таком случае треугольник СЕс со смешанными криво- и прямолинейными сторонами, приближающийся к исчезновению, в своей последней форме будет подобен треугольнику СЕТ, а его приближающиеся к нулю стороны СЕ, Еc, Сс будут пропорциональны СЕ, ЕТ, СТ – сторонам треугольника СЕТ. и в силу этого делается вывод, что флюксии отрезков АВ, ВС и АС, входящие в последнее отношение их исчезающих приращений, пропорциональны сторонам треугольника СЕТ, или, что одно и то же, сторонам треугольника VBC, ему подобного . Великий автор данного анализа специально замечает и особенно настаивает на том, что точки С и с не должны отстоять друг от друга ни на какой самый малейший интервал, но что для нахождения окончательных пропорций отрезков СЕ, Еc и Сс (т. е. отношения флюксий или скоростей), выраженных конечными сторонами треугольника VBC, точки Сиc должны точно совпадать друг с другом, т. е. быть одной и той же точкой. Следовательно, точка рассматривается как треугольник или же допускается, что в точке образуется треугольник. Понять это представляется совершенно невозможным. Однако находятся люди, которые недовольно морщатся, сталкиваясь с какими-либо непостижимыми тайнами у всех других, в то же время не видят ничего трудного в таких же непостижимостях у себя самих, которые подавятся комаром, но проглотят верблюда.

35. Я не знаю, стоит ли особо отметить, что, может быть, некоторые надеются оперировать символами и допущениями, дабы избежать применения флюксий, [механических] моментов и бесконечно малых величин, действуя с помощью следующею метода. Пусть х – абсцисса кривой, а z – еще одна абсцисса той же самой кривой. Положим так/не, что соответствующие площади равны ххх и zzz, что (z – х) – приращение абсциссы, a (zzz – — ххх) – приращение площади, не обращая внимания на то, насколько велики или малы пи приращения. Разделим теперь (zzz – ххх) на (z – х) и получим частое (zz+zx+-хх); если допустим, что z х, тогда это же самое частное будет равно 3 хх, что в каком случае и будет значением ординаты; таким образом, последнее можно найти независимо от флюксий и бесконечно малых величин. Но здесь прямая подтасовка: ибо, во-первых, мы полагаем, что абсциссы x и z не равны между собой, и без такого предположения нельзя было бы сделать ни одного шага; а во-вторых, мы допускаем, что те же абсциссы равны, а это явная непоследовательность, и это равнозначно тому, что уже рассматривалось ранее. И, действительно, есть основания опасаться, что все попытки поставить эту трудную для понимания и точную геометрию на верный фундамент и избежать теории скоростей, механических моментов и т. п. окажутся бесплодными до тех пор, пока предмет и цель геометрии не будут поняты лучше, чем, как представляется, понимали до сих пор. Великий автор метода флюксий чувствовал эту трудность и поэтому пустился во все эти изящные (nice) абстракции и геометрическую метафизику, без которых, как он понимал, ничего нельзя сделать на основе общепринятых принципов, и читатель сам может судить, что у него из всею этого получилось в смысле доказательства. Правда, надо признать, что он использовал флюксии, подобно лесам при строительстве здания, которые нужно было отбросить в сторону или от которых нужно было избавиться, когда уже было найдено, что конечные линии пропорциональны эгим флюксиям. Но ведь эти конечные показатели определяются с помощью флюксий. Поэтому все, что получается с помощью таких показателей и пропорций, необходимо отнести за счет флюксий, которые, следовательно, предварительно надо понять. А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками исчезнувших величин?

36. Люди слишком часто внушают самим себе и другим, будто они представили себе и поняли явления, выраженные при помощи знаков, тогда как в действительности они не имеют о них ни малейшего представления, а понимают только сами знаки. и есть основания опасаться, что именно так обстоит дело в данном случае. Скорости исчезающих или же зарождающихся величин могут выражаться

как конечными отрезками определенной величины, так и алгебраическими символами, но я подозреваю, что многие, кто, вероятно, никогда не рассматривал этого положения и считает его само собой разумеющимся, при тщательном его изучении обнаружили бы, что не в состоянии составить какое-либо представление или какое-либо понятие об этих скоростях, вне выражения их такими конечными величинами и знаками.

Положим, прямая КР образуется при движении с постоянным ускорением какой-либо точки и за равные отрезки времени образуются неравные отрезки прямой KL, LM, MN, NO и т. д. [16] Положим также, что а, b, с, d, e и т. д. обозначают скорости точки, образующей прямую, в разные периоды частей или приращений, получаемых таким образом. Легко заметить, что каждое из этих приращений пропорционально сумме скоростей, которыми оно образуется; что, следовательно, полученные несколько сумм скоростей, образованных за равные отрезки времени, могут быть изображены соответственно отрезками KL, LM, MN и т. д., образованными за те же промежутки времени. В равной мере легко сказать, что последняя скорость, образованная за первую частицу времени, может быть выражена символом а, последняя за вторую – b, последняя, образованная за третью, – с и т. д.; что а – скорость LM в statu nascendi, а b, с, d, е и т. д. – скорости приращений MN, NO, OP и т. д. в соответствующих состояниях их зарождения. Можно пойти дальше и считать сами эти скорости текущими (flowing) или возрастающими величинами, взяв скорости скоростей и скорости скоростей скоростей, т. е. первые, вторые, третьи и т. д. скорости ad infinitum; этот последовательный ряд скоростей может быть выражен следующим образом:

Можно назвать их первыми, вторыми, третьими, четвертыми флюксиями. А с целью более удобного выражения можно обозначить переменную текущую прямую KL, KM, KN и т. д. буквой х, а первые флюксиивторые – третьи – и т. д. ad infinitum.

37. Нет ничего легче, как указать названия, символы или выражения для этих флюксий, не трудно также высчитывать и производить действия с помощью таких знаков. Но гораздо более трудным оказывается опустить эти знаки и тем не менее сохранить в наших умах то, что, по нашему предположению, они означают. Рассматривать показатели, будь то геометрические, алгебраические или флюксионные, не трудно. Но, например, составить точное представление о скорости третьего порядка, самой по себе и при помощи ее самой, – Hoc opus, hic labor [17]. Нелегко также составить ясное и четкое представление вообще о любой скорости вне связи со всякой протяженностью во времени и пространстве и в отрыве от нее, а также от всех обозначений, знаков и символов; если же мне позволят судить о других по себе, это просто невозможно. Мне представляется очевидным, что измерения и знаки абсолютно необходимы для того, чтобы понять скорости и рассуждать о них, и что, следовательно, когда мы хотим представить себе скорости просто и сами по себе, нас вводят в заблуждение пустые абстракции.

38. Может быть, некоторые люди вообразят, что было бы легче понимать флюксии, если предположить, что они являются скоростями, с помощью которых образуются бесконечно малые приращения, так что первые флюксии будут скоростями первых приращений, вторые флюксии будут скоростями вторых приращений, третьи флюксии – скоростями третьих приращений и т. д. ad infinitum. Но, не говоря уже о непреодолимой трудности признания или понимания бесконечно малых величин и бесконечно малых взятых от бесконечно малых величин и т. д., ясно, что такое понятие о флюксиях не будет соответствовать точке зрения великого автора, который полагал, что нельзя пренебрегать ни наималейшей величиной, что, в силу этого, теория бесконечно малых приращений не может быть допущена в геометрии, и который совершенно очевидно ввел использование скоростей или флюксий с целью исключить бесконечно малые или же обойтись без них.

39. Позможио, некоторым другим покажется, что у нас будет более правильное представление о флюксиях, если мы допустим конечные неравные изохронные приращения KL, LM, АГХ и т. д. и будем считать и их, и их приращения – в statu nasendli, а также и зарождающиеся приращения тех приращений и т. д., полагая, что первые зарождающиеся приращения пропорциональны первым флюксиям или скоростям, зарождающиеся приращения этих приращений пропорциональны вторым флюксиям, третьи зарождающиеся приращения пропорциональны третьим флюксиям и т. д. А так как первые флюксии являются скоростями первых зарождающихся приращений, то вторые флюксии можно скорее считать скоростями вторых зарождающихся приращений, а не скоростями скоростей. Может показаться, что благодаря такому приему аналогия флюксий может быть лучше сохранена, а само понятие сделано более вразумительным.

40. И, действительно, должно бы казаться, что для получения второй или третьей флюксии уравнения данные флюксии рассматривались скорее не как скорости, а как приращения. Однако представляется, что рассмотрение их иногда в одном смысле, а иногда в другом, то в их собственном виде, то в виде их показателей, в значительной мере вызвало ту путаницу и неясность, которую мы обнаруживаем в теории флюксий. Поэтому может показаться, что это понятие еще можно как-то улучшить и что вместо флюксий флюксий или флюксий флюксий флюксий и вместо вторых, третьих, четвертых и т. д. флюксий данной величины было бы более последовательно и менее вызывало бы возражения, если говорить: флюксия первого зарождающегося приращения, т. е. вторая флюксия; флюксия второго зарождающегося приращения, т. е. третья флюксия; флюксия третьего зарождающегося приращения, т. е. четвертая флюксия, причем имеется в виду, что каждая из этих флюксий соответственно пропорциональна зарождающемуся началу приращения, следующего за тем, флюксией которого она является.

41. Для более четкого понимания всего этого можно принять во внимание, что если конечное приращение LM разделить на изохронные части Lm, mn, по, оМ, а приращение MN – на части Мр, pq, qr, rN, изохронные предыдущим, то, так как приращения LM, MN пропорциональны суммам их образующих скоростей, соответствующие им части Lm, Мр также пропорциональны соответствующим увеличенным скоростям, которые их образуют. А так как скорость, с которой образуется Мр, превышает ту, с которой была образована Lm, то и часть Мр больше части Lm. и вообще, раз изохронные скорости, образующие отрезки MN, превышают изохронные скорости, образующие отрезки LM, то и отрезки первой больше соответствующих им отрезков второй. и это будет справедливо, какими бы малыми ни были упомянутые отрезки. Следовательно, если LM и MN обе взяты в их зарождающемся состоянии, MN будет больше LM, притом на величину, пропорциональную превышению скорости b над скоростью а. Отсюда мы можем видеть, что в конечном итоге это последнее объяснение флюксий приводит к тому же, что и первое .

42. Но независимо от всего сказанного надо все же признать, что конечные части Lm или Мр, даже если их взять совсем малыми, пропорциональны не скоростям а и Ь, а каждая – ряду скоростей, меняющихся каждое мгновение, или, что одно и то же, всевозрастающей скорости, с помощью которой эта часть образуется в течение определенной мельчайшей частицы времени; что только зарождающиеся начала или исчезающие окончания конечных величин, которые образуются в мгновение или в течение бесконечно малых отрезков времени, пропорциональны данным скоростям; что, следовательно, для того чтобы представить себе первые флюксии, мы должны представить себе время, разделенное на мгновения, приращения, образованные в течение этих мгновений, и скорости, пропорциональные этим приращениям; для того чтобы представить себе вторые и третьи флюксии, мы должны допустить, что зарождающиеся начала или мгновенные приращения сами имеют также другие мгновенные приращения, пропорциональные соответствующим образующим их скоростям; что скорости этих вторых мгновенных приращений являются вторыми флюксиями, а скорости их зарождающихся мгновенных приращений – третьими флюксиями. и т. д. ad infinitum.

43. Вычтя приращение, образованное за первое мгновение, из приращения, образованного в течение второго мгновения, мы получим приращение приращения. А вычтя скорость, образующую отрезок прямой в первое мгновение, из скорости, образующей отрезок прямой во второе мгновение, получим флюксию флюксии. Подобным же образом, вычтя разность скоростей, образующих отрезок прямой в первые два мгновения, из превышения скорости в третье мгновение над скоростью во второе мгновение, получим третью флюксию. И, действуя аналогичным образом, мы можем перейти к четвертой, пятой, шестой и т. д. флюксиям. А если мы обозначим скорости первого, второго, третьего, четвертого мгновений а, b, с, d, то ряд флюксий будет такой же, какой приводился выше: а.b – а.с – 2b+a.d – 3с+3b – a, ad infinitum, т. е. ad infinitum.

44. Таким образом, флюксии можно рассматривать в разном свете и в различных видах, но, представляется, все они в равной мере трудны для понимания. И, действительно, раз невозможно представить себе скорость без пространства и времени, без конечного значения длины и продолжительности , то понять даже первые флюксии, должно быть, выше человеческих возможностей. А если первые непостижимы, то что же мы должны сказать в отношении вторых, третьих и т. д. флюксий? Возможно, тот, кто в состоянии представить себе начало начала или конец конца несколько раньше первого или позже второго, будет достаточно проницателен, чтобы понять эти вещи. Но я полагаю, что большинство людей считает невозможным понять их в каком бы то ни было смысле.

45. Можно было бы подумать, что люди должны выражаться как можно точнее о столь тонком предмете. И тем не менее, как уже отмечалось, мы часто наблюдаем, что показатели флюксий или символы, их обозначающие, ошибочно принимаются за сами флюксии. Разве не так происходит, когда сразу после объявления флюксий флюент скоростями их возрастания, а вторых флюксий – изменениями этих первых скоростей, нам говорят, что ряд `x, ẋ, ẍ, ⃛x…` представляет собой последовательность величин, где каждая последующая является флюксией предыдущей, а каждая предыдущая – флюентой для следующей?

46. Нетрудно вообразить различные ряды величин и выражений – геометрических и алгебраических, в виде линий, поверхностей, образов, – которые можно продолжать бесконечно. Но гораздо сложнее представить себе ряд, состоящий лишь из одних скоростей или лишь из одних зарождающихся приращений, взятых отдельно от соответствующих им величин. Возможно, кому-то пришло бы в голову, что автор имел в виду ряд ординат, где каждая ордината была флюксией предыдущей и флюентой последующей; то есть что флюксия одной ординаты сама была ординатой другой кривой, флюксия этой последней – ординатой третьей кривой и так далее до бесконечности. Но кто способен представить, как флюксия (будь то скорость или нарождающееся приращение) ординаты может сама быть ординатой? Или, более того, – что каждая предыдущая величина (флюента) относится к последующей (флюксии) как площадь криволинейной фигуры к своей ординате, в связи с чем автор замечает, что каждая величина в таком ряду является площадью фигуры с абсциссой `z` и ординатой, равной следующей величине?

47. В целом создаётся впечатление, что скорости исключены из рассмотрения и заменены площадями и ординатами. Но сколь бы целесообразны ни были такие аналогии или выражения для облегчения современных методов квадратур, они всё же не проливают свет на изначальную природу флюксий и не позволяют сформировать о них ясное представление, если рассматривать их самих по себе. Конечная цель автора здесь вполне ясна, но его принципы остаются туманными. Впрочем, его последователи, возможно, не слишком углубляются в анализ теорий великого автора. Как уже отмечалось, они более склонны применять его идеи на практике, нежели вникать в их суть. Их больше интересует использование правил и формул, чем понимание принципов и замысла автора. Тем не менее, несомненно, что для следования его методам в квадратурах они должны уметь находить флюэнты по флюксиям; а для этого – находить флюксии по флюэнтам; а для этого, в свою очередь, необходимо прежде всего понимать, что такое флюксии. В противном случае их действия лишены ясности и научного основания. Таким образом, прямой метод предшествует обратному, и знание принципов предполагается в обоих случаях. Но оперирование правилами и общими формулами, первоосновы которых не поняты, следует считать не более чем техническим навыком. Следовательно, какими бы глубокими и метафизическими ни были эти принципы, они должны быть изучены всяким, кто желает постичь учение о флюксиях. И ни один геометр не вправе применять правила великого автора, не поразмыслив предварительно над теми метафизическими идеями, из которых они выведены. Эти идеи, сколь бы ни были они необходимы для обретения подлинного знания (которое невозможно без точного, ясного и строгого понимания принципов), тем не менее, зачастую легкомысленно игнорируются; в то время как всё внимание сосредотачивается на выражениях, которыми оперируют с большим искусством, извлекая из них другие выражения методами, которые, если рассматривать их сами по себе, являются, мягко говоря, сомнительными и непрямыми – как бы они ни были рекомендованы Индукцией и Авторитетом, двумя мотивами, достаточными для порождения разумной веры и моральной убеждённости, но не более того.

48. Вы, возможно, попытаетесь уклониться от силы этих доводов под предлогом, что все эти возражения и замечания являются «метафизическими». Но это тщётная уловка. Что касается простого смысла и истинности сказанного, я апеллирую к пониманию всякого непредвзятого и разумного читателя. К нему же я взываю и для того, чтобы решить, являются ли отмеченные моменты самой что ни на есть непостижимой метафизикой. И замечу, что это метафизика не моя, а ваша собственная. Я не хочу, чтобы меня поняли так, будто я считаю ваши идеи ложными или тщетными лишь потому, что они метафизичны. Ничто не является истинным или ложным по этой причине. Мало помогает и то, называется ли некий пункт метафизическим или нет. Вопрос в том, ясен он или туманен, правилен или ошибочен, хорошо или плохо обоснован?

49. Хотя мгновенные приращения, нарождающиеся и исчезающие величины, флюксии и бесконечно малые всех порядков суть на деле столь призрачные сущности, столь трудные для отчётливого представления или постижения, что (мягко говоря) они не могут быть допущены в качестве принципов ясной и строгой науки; и хотя одна эта туманность и непостижимость вашей метафизики сама по себе достаточна, чтобы ослабить ваши притязания на очевидность; тем не менее, если я не ошибаюсь, было также показано, что ваши умозаключения не более справедливы, чем ваши концепции ясны, и что ваша логика так же уязвима, как и ваша метафизика. Таким образом, по всей видимости, в целом ваши выводы не достигаются путём правильного рассуждения от ясных принципов: следовательно, деятельность современных аналитиков, сколь бы полезна она ни была, не приучает ум ясно мыслить и справедливо рассуждать; и, значит, вы не имеете права в силу таких занятий поучать других за пределами вашей собственной сферы, где ваше суждение должно значить не более, чем суждение любого другого человека [[1]].

___________

[[1] Неэффективность современного математического анализа как упражнения для ума и, как следствие, односторонность формируемой им культуры – общее место в педагогической и философской критике. Узкие специалисты-математики доводят до атрофии способности, необходимые для решения конечных проблем конкретной реальности. Беркли осуждает одновременно и метафизическую непоследовательность, и математическую необоснованность некоторых вольнодумцев от математики.]

50. Уже долгое время я подозревал, что эти современные аналитические методы не являются подлинно научными, и высказывал некоторые намёки на этот счёт около двадцати пяти лет назад. С тех пор я был отвлечён другими занятиями и полагал, что могу употребить своё время лучше, чем на выведение и систематизацию мыслей по столь тонкому предмету. И хотя недавно от меня потребовали подтвердить мои предположения, тем не менее, поскольку лицо, бросившее этот вызов, не кажется способным понять ни ту метафизику, которую оно хочет опровергнуть, ни ту математику, которую желает защищать, я должен был бы избавить себя от труда писать для его вразумления. И я не стал бы утруждать теперь ни вас, ни себя этим обращением после столь долгого перерыва, если бы не желание предотвратить, насколько это в моих силах, ваше навязывание ложных идей самим себе и другим в вопросах гораздо более высокого значения и важности. И для того чтобы вы могли яснее постичь силу и замысел предыдущих замечаний и продолжить их самостоятельно в своих размышлениях, я присовокуплю следующие Вопросы:

Вопрос 1. Не являются ли объектом геометрии пропорции определяемых протяжений? И есть ли какая-либо необходимость рассматривать величины либо бесконечно большие, либо бесконечно малые?

Вопрос 2. Не заключается ли цель геометрии в измерении определяемых конечных протяжений? И не этот ли практический взгляд первоначально побудил людей к изучению геометрии?

Вопрос 3. Не породило ли смешение объекта и цели геометрии излишние трудности и ошибочные направления исследований в этой науке?

Вопрос 4. Можно ли правомерно сказать, что люди действуют научным методом, не отчётливо понимая объект, с которым они имеют дело, поставленную цель и метод, которым она достигается?

Вопрос 5. Не достаточно ли того, что всякое определяемое число частей может содержаться в некоторой определяемой величине? И не является ли излишним, равно как и абсурдным, предположение, что конечное протяжение бесконечно делимо?

__________________

[1 См. «Принципы человеческого знания», разделы 123—134, с которыми, равно как и с рассуждениями в том же трактате и в «De Motu» против абсолютного пространства, времени и движения и об устранении бесконечности, можно сравнить следующие Вопросы; также «Опыт о зрении», разделы 121—126; 149—160. Самые ранние публикации Беркли (в 1707 году) являются математическими.]

– — – — —

Вопрос 6. Не следует ли рассматривать диаграммы в геометрическом доказательстве как знаки всех возможных конечных фигур, всех чувственно воспринимаемых и вообразимых протяжений или величин того же рода?

Вопрос 7. Возможно ли освободить геометрию от непреодолимых трудностей и абсурдностей, до тех пор пока её истинным объектом предполагается либо абстрактная общая идея протяжения, либо абсолютное внешнее протяжение?

Вопрос 8. Не являются ли понятия абсолютного времени, абсолютного места и абсолютного движения наиболее отвлечённо метафизическими? Возможно ли для нас измерять, вычислять или познавать их?

Вопрос 9. Не вступают ли математики в споры и парадоксы относительно того, что они ни постигают, ни могут постичь? И не является ли учение [о силах] достаточным тому доказательством [1]?

Вопрос 10. Не достаточно ли в геометрии рассматривать определяемые конечные величины, не заботясь о бесконечности? И не правильнее ли было бы измерять большие многоугольники с конечными сторонами вместо кривых, чем предполагать, что кривые суть многоугольники с бесконечно малыми сторонами – предположение ни истинное, ни постижимое?

Вопрос 11. Не относятся ли многие положения, на которые не readily дают согласие, к числу тем не менее истинных? И не могут ли таковыми быть положения двух следующих вопросов?

Вопрос 12. Возможно ли, чтобы у нас была идея или понятие о протяжении прежде движения? Или, если бы человек никогда не воспринимал движения, узнал бы или представил бы он ever, что одна вещь удалена от другой [2]?

_________

[1. [См. латинский трактат «De Motu», опубликованный в Лондоне в 1721 году.] – Автор.]

[2 Сравните «Опыт о зрении» с этими двумя содержательными Вопросами, касающимися отношения данного в чувственном восприятии движения к тройному протяжению.]

– — – — – —

Вопрос 13. Имеет ли геометрическая величина сосуществующие части? И не находится ли всякая величина в потоке, так же как время и движение?

Вопрос 14. Может ли протяжение предполагаться атрибутом Существа неизменного и вечного?

Вопрос 15. Не показало бы это известного фанатизма со стороны математиков, если бы они отказались исследовать принципы и распутывать методы, используемые в математике?

Вопрос 16. Не бытуют ли среди аналитиков некоторые максимы, которые шокируют здравый смысл? И не относится ли к их числу обычное допущение, что конечная величина, делённая на ничто, бесконечна?

Вопрос 17. Не является ли главной причиной предположения о бесконечной делимости конечного протяжения, и всех последующих трудностей и абсурдностей, рассмотрение геометрических диаграмм абсолютно или самих по себе, а не как представителей всех определяемых величин или фигур того же рода?

Вопрос 18. Не следует ли из того, что геометрические предложения являются общими, и линии на диаграммах, следовательно, суть общие заместители или представители, что мы не можем ограничивать или рассматривать число частей, на которые делимы такие частные линии?

Вопрос 19. Когда говорится или подразумевается, что некая определённая линия, изображённая на бумаге, содержит более любого определяемого числа частей, не должно ли в действительности понимать под этим более того, что она является знаком, безразлично представляющим все конечные линии, сколь бы велики они ни были. В которой относительной способности она содержит, т.е. обозначает более любого определяемого числа частей? И не является ли в целом абсурдным предположение, что конечная линия, рассматриваемая сама по себе или в своей собственной положительной природе, должна содержать бесконечное число частей?

Вопрос 20. Не предполагают ли и не подразумевают ли все аргументы в пользу бесконечной делимости конечного протяжения, что объектом геометрии являются либо общие абстрактные идеи, либо абсолютное внешнее протяжение? И, следовательно, не прекращаются ли и не исчезают ли такие аргументы вместе с этими предположениями?

Вопрос 21. Не стала ли предполагаемая бесконечная делимость конечного протяжения западнёй для математиков и тернием в боку их? И не являются ли величина, бесконечно уменьшенная, и величина, бесконечно малая, одним и тем же?

Вопрос 22. Необходимо ли рассматривать скорости нарождающихся или исчезающих величин, или моменты, или бесконечно малые? И не является ли введение столь непостижимых вещей упрёком математике?

Вопрос 23. Могут ли противоречия быть истинами? Допустимы ли точки, неприемлемые и абсурдные, в каких-либо предметах или в какой-либо науке? И должно ли позволять использование бесконечностей в качестве достаточного предлога и оправдания для допущения таких точек в геометрии?

Вопрос 24. Не говорится ли правомерно, что величина известна, когда мы знаем её пропорцию к данным величинам? И может ли эта пропорция быть известна иначе, как через выражения или показатели, будь то геометрические, алгебраические или арифметические? И могут ли выражения в линиях или в виде [алгебраических] символов быть полезными далее лишь поскольку они сводимы к числам?

Вопрос 25. Не является ли отыскание правильных выражений или обозначений количества самой общей характеристикой и направленностью математики? А арифметические операции – тем, что ограничивает и определяет их употребление?

Вопрос 26. Достаточно ли математики рассмотрели аналогию и употребление знаков? И насколько специфическая ограниченная природа вещей соответствует им?

Вопрос 27. Не потому ли, что, формулируя общий случай чистой алгебры, мы в полной мере вольны позволить знаку обозначать либо положительную, либо отрицательную величину, либо ничто вообще, мы можем, следовательно, в геометрическом случае, ограниченном гипотезами и рассуждениями о частных свойствах и отношениях фигур, требовать той же вольности?

Вопрос 28. Не является ли подмена гипотезы, или (как мы можем её назвать) fallacia suppositionis, софизмом, который повсеместно заражает современные рассуждения, как в механической философии, так и в запутанной и утончённой геометрии?

Вопрос 29. Можем ли мы сформировать идею или понятие скорости, отличное от и исключающее её меру, подобно тому как мы можем [сформировать идею] тепла, отличную от и исключающую градусы на термометре, которым оно измеряется? И не предполагается ли это в рассуждениях современных аналитиков?

Вопрос 30. Можно ли представить себе движение в точке пространства? И если движение нельзя, то можно ли представить себе скорость? А если нет, то можно ли представить себе первую или последнюю скорость в пределе лишь, будь то начальном или конечном, описанного пространства?

Вопрос 31. Где нет приращений, может ли быть какое-либо отношение приращений? Могут ли ничто рассматриваться как пропорциональные реальным величинам? Или не является ли разговор об их пропорциях бессмыслицей? Также, в каком смысле мы должны понимать пропорцию поверхности к линии, площади к ординате? И могут ли [алгебраические] символы или числа, хотя и правильно выражающие величины, которые не являются однородными, тем не менее, считаться выражающими их пропорцию друг к другу?

Вопрос 32. Если все определяемые круги могут быть квадратированы, не является ли круг, для всех намерений и целей, квадратированным так же, как и парабола? Или может ли параболическая площадь фактически быть измерена более точно, чем круговая?

Вопрос 33. Не было ли бы правильнее честно приближаться [к решению], чем стремиться к точности посредством софизмов?

Вопрос 34. Не было бы более приличествующим действовать путём проб и индукций, чем притворяться, что доказываешь ложными принципами?

Вопрос 35. Нет ли пути к достижению истины, хотя принципы и не научны, и рассуждение не справедливо? И следует ли называть такой путь сноровкой или наукой?

Вопрос 36. Может ли быть наука о заключении, где нет науки о принципах? И может ли человек иметь науку о принципах, не понимая их? И, следовательно, действуют ли математики нынешнего века как люди науки, прилагая столь больше усилий к применению своих принципов, чем к их пониманию?

Вопрос 37. Не может ли величайший гений, борющийся с ложными принципами, потерпеть поражение? И могут ли быть получены точные квадратуры без новых постулатов или допущений? И если нет, не следует ли предпочесть те из них, которые понятны и последовательны, противоположным? См. разделы 28 и 29.

Вопрос 38. Являются ли утомительные вычисления в алгебре и методе флюксий наиболее вероятным методом для совершенствования ума? И не приводит ли привычка людей рассуждать исключительно о математических знаках и фигурах к тому, что они оказываются в затруднении, как рассуждать без них?

Вопрос 39. Означает ли та самая лёгкость, которую аналитики приобретают в постановке задачи или в нахождении подходящих выражений для математических величин, необходимо пропорциональную способность в постижении и выражении других предметов?

Вопрос 40. Не является ли общим случаем или правилом, что один и тот же коэффициент, деля равные произведения, даёт равные частные? И всё же может ли такой коэффициент быть истолкован как 0 или ничто? Или согласится ли кто-либо с тем, что если уравнение 2 x 0 = 5 x 0 разделить на 0, то частные по обе стороны равны? Не может ли поэтому случай быть общим по отношению ко всем величинам и всё же не распространяться на ничто, или не включать случай ничто? И не ввело ли людей в ложные рассуждения подведение ничто под понятие величины?

Вопрос 41. Не могут ли люди в самых общих рассуждениях о равенствах и пропорциях доказывать так же, как и в геометрии? Не обязаны ли они в таких доказательствах к той же строгости рассуждений, что и в геометрии? И не выводятся ли такие их рассуждения из тех же аксиом, что и в геометрии? Не является ли поэтому алгебра столь же подлинной наукой, как и геометрия?

Вопрос 42. Не могут ли люди рассуждать в [алгебраических] символах так же, как и в словах? Не действуют ли в обоих случаях одни и те же правила логики? И не имеем ли мы права ожидать и требовать той же очевидности в обоих случаях?

Вопрос 43. Может ли алгебраист, флюксионист, геометр или демонстратор любого рода рассчитывать на снисхождение за туманные принципы или некорректные рассуждения? И может ли алгебраический знак или символ в конце процесса быть истолкован в смысле, который не мог быть подставлен вместо него в начале? Или может ли какое-либо частное допущение подпадать под общий случай, если оно не согласуется с его рассуждением?

Вопрос 44. Не заключается ли разница между простым вычислителем и человеком науки в том, что один вычисляет на основе ясно понятых принципов и по правилам, очевидно доказанным, тогда как другой – нет?

Вопрос 45. Хотя геометрия и является наукой, и алгебра признаётся наукой, и аналитический метод – превосходнейшим методом в его применении, не могли ли люди, тем не менее, при применении анализа к геометрии допустить ложные принципы и ошибочные методы рассуждения?

Вопрос 46. Хотя алгебраические рассуждения признаются сколь угодно справедливыми, когда они ограничены знаками или символами как общими представителями величин, не можете ли вы, тем не менее, впасть в ошибку, если, ограничивая их обозначать частные вещи, вы не ограничиваете себя рассуждениями, последовательными с природой таких частных вещей? И не должна ли такая ошибка вменяться чистой алгебре?

Вопрос 47. Не кажется ли, что взгляд современных математиков скорее направлен на достижение выражения посредством ухищрений, чем на достижение науки посредством доказательства?

Вопрос 48. Не может ли существовать здравой метафизики так же, как и нездоровой? Здравой логики так же, как и нездоровой? И не может ли современный аналитический метод быть отнесён к одной из этих категорий, и к какой именно?

Вопрос 49. Не существует ли действительно philosophia prima, некая трансцендентальная наука, превосходящая математику и более обширная, чем она, которую нашим современным аналитикам следовало бы скорее изучить, чем презирать [1]?

[1 Так Бэкон: «Поскольку распределения и разделения знания не подобны нескольким линиям, сходящимся в одном угле и, таким образом, соприкасающимся лишь в точке; но подобны ветвям дерева, которые сходятся в стволе, имеющем протяжённость и цельность до того, как он раздробится и разветвится на сучья и ветви; поэтому благо, прежде чем мы приступим к упомянутому распределению, воздвигнуть и учредить Одну Универсальную Науку, под именем Philosophia Prima, Первичной или Сводной Философии, как главный и общий путь, прежде чем мы подойдём к месту, где пути расходятся и разделяются: которую науку, должен ли я считать её недостающей или нет, я остаюсь в сомнении.» («О достоинстве и приумножении наук», Книга II.)]

Вопрос 50. Не было ли с момента возрождения математической учёности постоянных споров и противоречий среди математиков? И не умаляет ли это очевидность их методов?

Вопрос 51. Не может ли что-либо, кроме метафизики и логики, открыть глаза математикам и вывести их из затруднений?

Вопрос 52. Может ли величина на принятых принципах путём какого-либо деления или подразделения, сколь бы далеко оно ни проводилось, быть сведена к ничто?

Вопрос 53. Если целью геометрии является практика, и эта практика есть измерение, и мы измеряем лишь определяемые протяжения, не следует ли из этого, что неограниченные приближения полностью отвечают намерению геометрии?

Вопрос 54. Не могут ли те же самые вещи, которые теперь делаются с помощью бесконечностей, быть сделаны с помощью конечных величин? И не явилось бы это великим облегчением для воображения и понимания математиков?

Вопрос 55. Не могут ли те филоматематические врачи, анатомы и деятели в области животной экономии, которые принимают учение о флюксиях с слепой верой, с хорошей миной оскорблять других людей за веру в то, чего они не постигают [1]?

Вопрос 56. Не поглотила ли корпускулярная, экспериментальная и математическая философия, столь усердно культивировавшаяся в прошлом веке, чрезмерно внимание людей; не могла ли она полезно употребить некоторую его часть?

Вопрос 57. Не были ли умы спекулятивных людей подавлены вследствие этой и других совпадающих причин, что привело к принижению и отупению высших способностей? И не можем ли мы отсюда объяснить ту преобладающую узость и фанатизм среди многих, кто сходит за людей науки, их неспособность к вещам моральным, интеллектуальным или теологическим, их склонность мерить все истины чувством и опытом животной жизни [2]?

Вопрос 58. Не является ли это действительно следствием [недостаточного] мышления, что одни и те же люди восхищаются великим автором [3] за его флюксии и насмехаются над ним за его религию?

[1 Видя, что с точки зрения человеческого понимания всякая наука, включая математическую, должна отступать в область тайны и, таким образом, в конечном счёте покоиться на вере, конечная непостижимость вселенной в её религиозном понимании не в большей степени является аргументом против теизма, чем конечная непостижимость её физической эволюции во времени – причиной для отвержения механической науки.]

[2 Не являются ли привычки, сформированные таким образом, объяснением догматического агностицизма и его узкой веры в настоящее время? Ср. «Сир», разделы 331, 332.]

[3 Сэр Исаак Ньютон.]

Вопрос 59. Если у некоторых философских виртуозов нынешнего века нет религии, можно ли сказать, что это от недостатка веры?

Вопрос 60. Не является ли более справедливым способом рассуждения рекомендовать положения веры по их следствиям, чем доказывать математические принципы по их выводам?

Вопрос 61. Не является ли менее предосудительным допускать положения выше разума, чем противоречащие разуму?

Вопрос 62. Не могут ли таинства с большим правом допускаться в Божественной Вере, чем в человеческой науке [1]?

Вопрос 63. Исследовали ли когда-нибудь такие математики, которые вопиют против таинств, свои собственные принципы?

Вопрос 64. Являются ли математики, столь щепетильные в религиозных вопросах, строго скрупулёзны в своей собственной науке? Не подчиняются ли они авторитету, принимают ли вещи на веру и верят ли в непостижимые положения? Нет ли у них своих таинств, и, что более того, своих непримиримостей и противоречий?

Вопрос 65. Не подобало ли бы людям, озадаченным и смущённых насчёт своих собственных принципов, судить осмотрительно, беспристрастно и скромно относительно других предметов?

Вопрос 66. Не предоставляет ли современный аналитический метод сильный argumentum ad hominem против филоматематических неверующих этих времён?

Вопрос 67. Следует ли из вышеупомянутых замечаний, что точное и справедливое рассуждение есть отличительная черта настоящего века? И можно ли приписать современный рост неверия столь подлинно ценной особенности [2]?

[1 И всё же математики молча исходят из них в математике, в то время как жалуются на них в религии. Ибо, не покоится ли всё человеческое знание в конечном счёте на вере в Бога?]

[2 То, что те, кто претендует на звание «свободомыслящих», на деле являются «мелкими философами», чьё узкое зрение ограничено данными чувств и кто не способен признать сверхъестественное в естественном, является сквозной темой как «Алкифрона», так и «Аналиста». ]