Читать книгу Jugando a ser Dios - Manuel López Michelone - Страница 10

¿Piensas que soy un autómata?

¿Una máquina sin sentimientos?

Charlotte Brontë (Jane Eyre)

Los autómatas celulares de Von Neumann y de Conway sin duda despertaron la imaginación de otros investigadores. Una idea interesante es quitar una dimensión a los autómatas bidimensionales, como los del Juego de la vida, y ver qué pasa si ponemos a trabajar a los autómatas en una sola dimensión. Esto, en principio, podría sugerir una simplicidad mayor que al trabajar con autómatas como en el Juego de la vida, que ocurren en dos dimensiones; sin embargo, esta simplificación es aparente, pues en una dimensión los autómatas hallan desarrollos emergentes complejos.

Consideremos una línea recta de células —de casillas—, las cuales pueden estar ocupadas o vacías. Las reglas del autómata, ciegas, se basan simplemente en la vecindad de cada célula con la que se está trabajando en cada generación. De acuerdo con las reglas que se definen, podremos ver lo que pasa en la línea de células, generación tras generación. Además, para darnos una mejor idea, podemos colocar la primera generación (la configuración inicial), y ver el comportamiento, pintando la segunda generación debajo de la primera. Podemos hacer esto para cada ciclo t en el tiempo, y en un momento determinado tendremos decenas, centenas o miles de generaciones desplegadas. Con ello podremos hacer un análisis de lo que está pasando.

Formalmente podríamos decir que los autómatas, las células, tienen valor 1 si están en alguna casilla de la línea de cuadros disponibles, o bien, contienen un valor 0 (cero), es decir, no hay nada en una casilla. Las reglas de evolución se presentan solamente analizando la vecindad de cada casilla de interés, una por una.

Uno de los primeros científicos en estudiar cuidadosamente este tipo de autómatas fue Stephen Wolfram. Hijo de refugiados judíos, se le consideró como niño prodigio. Estudió en el Eton College después de que se le otorgara una beca por publicar su primer artículo sobre física de partículas, a los 16 años. Un año después se matriculó en la Universidad de Oxford. Consiguió su doctorado a la edad de 20 años, en física de partículas, por parte de CalTech.

Wolfram es más conocido por Mathematica, un programa de computadora que puede hacer matemáticas simbólicas. Sin embargo, gran parte de su trabajo lo ha enfocado al comportamiento de los autómatas celulares. En 1983 se trasladó a Princeton e hizo muchísimas simulaciones de computadora para entender el comportamiento de los autómatas celulares en una dimensión.

Stephen Wolfram.

De acuerdo con el trabajo de Wolfram, existen diversas clases de autómatas celulares que se han clasificado según su comportamiento. Hay cuatro grandes clases basadas en el nivel de predicción en su evolución:

 Clase 1. Son aquellos cuya evolución está literalmente predeterminada (probabilidad 1), independientemente de su estado inicial o configuración.

 Clase 2. Son aquellos en los que el valor de un sitio en particular, a muchos pasos del tiempo, está determinado por los valores iniciales en algunos sitios en una región limitada.

 Clase 3. El valor de un sitio en particular depende de los valores de un número siempre creciente de sitios iniciales. Esto quiere decir, en términos coloquiales, que conducen a comportamiento caótico.

 Clase 4. Son aquellos en los que en un sitio en particular pueden depender de muchos valores en la configuración inicial y en los que la evolución del autómata simplemente no se puede predecir. Hay que hacer la simulación explícita del mismo.

Esta definición tan formal puede confundirnos pero, como veremos, el entender cómo evolucionan estos autómatas es verdaderamente sencillo.

Wolfram habla de reglas locales de evolución, que no son otra cosa que las reglas ciegas que descubrió Conway en el Juego de la vida o las reglas en la Hormiga de Langton, como veremos más adelante. Estas reglas son las que definen el comportamiento en la evolución del autómata. Por ejemplo, consideremos una línea de células y las siguientes reglas locales:

↓↓

000 → 0

001 → 1

010 → 0

011 → 1

100 → 1

101 → 0

110 → 1

111 → 0

Reglas locales de un autómata en una dimensión

Por ejemplo, consideremos una línea que contenga dos células en medio de la misma, es decir:

000…001100…000

La evolución de la siguiente generación pide revisar cada célula en la línea. Cuando tenemos 000…000… no hay cambio alguno, pero llega un momento en que tenemos 001 (recuérdese, sólo hay dos células en la línea del autómata). Hallamos que tenemos que calcular el resultado cuando encontramos 001. Eso, de acuerdo con la tabla, da como resultado un 1. Se pone en la siguiente línea, debajo de la célula que estamos analizando. Ahora movemos nuestro apuntador a la siguiente célula y hallamos la configuración 011, la cual da como resultado un 1. Pasamos a la siguiente célula y encontramos la configuración 110, lo cual vuelve a darnos un 1. Seguimos con este procedimiento y hallamos los valores 100, lo cual de nuevo da un 1. Inmediatamente después todos los valores dan 0. El autómata quedará entonces así en la segunda generación (la primera generación es la inicial):

000…001100…000 [Generación inicial]

000…011110…000 [Segunda generación]

Este sencillo procedimiento se puede programar en una computadora para no tener que “hacerlo a mano”. En los apéndices puede hallarse un programa en Pascal para realizar esta simulación.

Wolfram define, además, las reglas “legales”,21 las cuales tienen las siguientes características:

 La configuración: 0000000…00000… se puede considerar un estado nulo (o estado base), y esto no cambia con el tiempo. Los físicos y matemáticos suelen decir que es “invariante” en el tiempo.

 Las reglas locales deben ser simétricas, es decir, 001 debe dar el mismo resultado que 100, por ejemplo.

Wolfram analiza estos autómatas considerando inicialmente la vecindad de cada célula con su casilla inmediata, a la izquierda o a la derecha. No hay razón para no considerar una vecindad más amplia, pero evidentemente, el tomar la vecindad más pequeña, hace el análisis más simple, al menos en un principio.

He aquí una serie de reglas locales, que Wolfram ha estudiado:

Diferentes reglas locales.

Veamos un ejemplo completo. Tomemos las reglas locales ya descritas anteriormente. Ésta es la regla 90 (binario 01011010).22 Si consideramos el conjunto de reglas locales, sólo tenemos 256 posibilidades, de 0 a 255. Si en la primera generación, la inicial, ponemos una sola célula en medio de la línea completa, el desarrollo (que se ve cada generación una línea hacia abajo), será el siguiente:

Regla 90 del autómata celular de una dimensión de Wolfram.

Puede verse que la imagen generada es literalmente un fractal, es decir, un objeto cuya estructura básica, fragmentada (o irregular), se repite a diferentes escalas. Los árboles, por ejemplo, son fractales. Sus ramas se van adelgazando en más ramas pequeñas, etcétera.

Otras configuraciones interesantes pueden verse en la siguiente figura:

Otras reglas locales y sus resultados.

La cuestión aquí es entonces saber qué resultados nos proporcionan los autómatas celulares en una sola dimensión. ¿Qué nos dicen?

Debemos comprender que estos autómatas son sistemas dinámicos y podrían ayudarnos a modelar la creación de las formas biológicas. De hecho, hay ejemplos notables de formas —en la biología— que pueden modelarse de esta manera. Algunos dibujos en la piel de ciertas serpientes, las manchas de algunos felinos o bien, la pigmentación de una concha de caracol (véase la imagen), muestran cómo estas reglas locales de un autómata celular en una dimensión en donde solamente dichas reglas tienen influencia en una vecindad de cada célula, modelan muy bien estos eventos biológicos.

Pero más allá de los fenómenos de la vida, los autómatas pueden ser útiles incluso para intentar dar más luz sobre teoremas y conjeturas no resueltas en matemáticas.23 Eso indica probablemente su universalidad.

Una notable pigmentación de una concha de caracol, la cual se asemeja a un autómata celular en una dimensión.

21 Es evidente que calificar las reglas como “legales” o “ilegales” no tiene una connotación real; es simplemente una manera de definir cuáles reglas son a las que se les van a dedicar las simulaciones.

22 El número de regla es simplemente el resultado de las reglas locales leídas de arriba abajo formando un número binario. En el caso del ejemplo, 01011010 binario es en decimal 90.

23 Véase el apéndice sobre la Conjetura de Collatz y los autómatas celulares en una dimensión.