Читать книгу Praktische Statistik für Data Scientists - Peter Bruce - Страница 20

Das grundlegendste Lagemaß ist der Mittelwert (genauer, das arithmetische Mittel) oder auch der Durchschnitt. Der Mittelwert entspricht der Summe aller Werte dividiert durch die Anzahl von Werten. Betrachten Sie die folgende Zahlenfolge: {3 5 1 2}. Der Mittelwert beträgt (3 + 5 + 1 + 2) / 4 = 11 / 4 = 2,75. Sie werden auf das Symbol (ausgesprochen als »x quer«) stoßen, das verwendet wird, um den Mittelwert einer Stichprobe, die aus einer Grundgesamtheit gezogen wurde, darzustellen. Die Formel zur Berechnung des Mittelwerts für eine Menge von Werten x₁, x₂, …, x_n lautet:

N (oder n) bezieht sich auf die Gesamtzahl aller Einträge bzw. Beobachtungen. In der Statistik wird es großgeschrieben, wenn es sich auf eine Grundgesamtheit bezieht, und kleingeschrieben, wenn es auf eine Stichprobe aus einer Grundgesamtheit abzielt. In der Data Science ist diese Unterscheidung nicht von Relevanz, weshalb Sie beide Möglichkeiten in Betracht ziehen können.

Eine Variante des Mittelwerts ist der getrimmte Mittelwert, den Sie berechnen, indem Sie eine feste Anzahl sortierter Werte an jedem Ende weglassen und dann den Mittelwert der verbleibenden Werte bilden. Für die sortierten Werte x₍₁₎, x₍₂₎, …, x_(n), wobei x₍₁₎ der kleinste Wert und x_(n) der größte ist, wird der getrimmte Mittelwert mit p kleinsten und größten weggelassenen Werten durch folgende Formel berechnet:

Durch die Verwendung des getrimmten Mittelwerts wird der Einfluss von Extremwerten beseitigt. Zum Beispiel werden bei internationalen Tauchmeisterschaften die höchste und die niedrigste Punktzahl der fünf Kampfrichter gestrichen, und als Endpunktzahl wird der Durchschnitt der Punktzahlen der drei verbleibenden Kampfrichter gewertet (https://oreil.ly/uV4P0). Dies macht es für einen einzelnen Kampfrichter schwierig, das Ergebnis zu manipulieren, etwa um den Kandidaten seines Landes zu begünstigen. Getrimmte Mittelwerte sind sehr verbreitet und in vielen Fällen der Verwendung des gewöhnlichen Mittelwerts vorzuziehen (siehe »Median und andere robuste Lagemaße« auf Seite 11 für weitere Erläuterungen).

Eine weitere Möglichkeit der Mittelwertbildung ist der gewichtete Mittelwert. Zur Berechnung multiplizieren Sie jeden Datenwert x_i mit einem benutzerdefinierten Gewicht w_i und dividieren die daraus resultierende Summe durch die Summe der Gewichte. Die Formel für den gewichteten Mittelwert lautet dementsprechend:

Den gewichteten Mittelwert verwendet man hauptsächlich aus zwei Gründen:

 Einige Werte weisen von sich aus eine größere Streuung auf als andere – um den Einfluss stark streuender Beobachtungen zu verringern, erhalten sie ein geringeres Gewicht. Wenn wir z.B. den Mittelwert von mehreren Sensoren bilden und einer der Sensoren weniger genau misst, können wir die Daten dieses Sensors niedriger gewichten.

 Unsere erhobenen Daten repräsentieren die verschiedenen Gruppen, an deren Messung wir interessiert sind, nicht gleichmäßig. Beispielsweise ist es möglich, aufgrund der Art und Weise, wie ein Onlineversuch durchgeführt wurde, einen Datensatz zu gewinnen, der nicht alle Gruppen in der Nutzerbasis wahrheitsgemäß abbildet. Zur Korrektur können wir den Werten der Gruppen, die unterrepräsentiert sind, ein höheres Gewicht beimessen.