Читать книгу Τίμαιος, Τόμος Β - Платон - Страница 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟΝ XX
ОглавлениеΤα τέσσαρα στοιχειώδη σώματα, πυρ, αήρ, ύδωρ, γη, είναι και αυτά σύνθετα, τα στοιχεία δ' αυτών είναι τριγωνικά σχήματα απείρως μικρά. Τα τρίγωνα είναι σκαληνά ή ισοσκελή. Τα σκαληνά συνδυαζόμενα γεννώσι τρία στερεά, την πυραμίδα, το οκτάεδρον και το εικοσάεδρον, τα ισοσκελή γεννώσι μόνον τον κύβον.
Πρώτον μεν, ότι το πυρ, η γη, το ύδωρ και ο αήρ είναι σώματα, είναι βέβαια γνωστόν εις πάντας. Παν δε είδος σώματος πρέπει να έχη και βάθος και στερεότητα3 και το στερεόν πάλιν αναγκαίως περιορίζεται υπό επιπέδων επιφανειών4. Αλλ' η επίπεδος και ευθύγραμμος επιφάνεια αποτελείται εκ τριγώνων, τα Δ. | δε τρίγωνα πάντα αρχήν έχουσι δύο άλλα έχοντα και το έν και το άλλο μίαν γωνίαν ορθήν και δύο οξείας. Εκ τούτων δέ τινα (τα ισοσκελή) έχουσιν εκ των δύο μερών ίσον μέρος γωνίας ορθής περιεχομένης υπό πλευρών ίσων, άλλα δε (τα σκαληνά) έχουσι μέρη άνισα διηρημένα διά πλευρών ανίσων. Ας υποθέσωμεν λοιπόν ότι αύτη είναι η αρχή του πυρός και των άλλων σωμάτων, προχωρούντες αναγκαίως κατά τον πιθανόν λόγον5, διότι τας ανωτέρας αρχάς τούτων γινώσκει μόνος ο Θεός και Ε. | εκείνος εκ των ανδρών, όστις είναι φίλος αυτού. Πρέπει λοιπόν να είπωμεν ποία είναι τα κάλλιστα εκείνα σώματα, τα οποία δύνανται να γίνωσι, τα τέσσαρα δηλαδή, ανόμοια μεν μεταξύ των, αλλά τινά εξ αυτών ικανά όντα να γεννώνται τα μεν εκ των δε, καθόσον ταύτα διαλύονται. Διότι εάν επιτύχωμεν τούτο, θα έχωμεν την αλήθειαν περί γενέσεως της γης και του πυρός και των δύο άλλων, τα οποία είναι μέσοι ανάλογοι αυτών. Διότι κατά τούτο δεν θα υποχωρήσωμεν εις κανένα, ότι δηλ. δύνανται να υπάρχωσί πού σώματα ορατά ωραιότερα από ταύτα, έκαστον εις το γένος του. Πρέπει λοιπόν να έχωμεν προθυμίαν, ίνα συναρμόσωμεν τα τέσσαρα είδη σωμάτων, διαφέροντα κατά την καλλονήν, και είτα είπωμεν, ότι ικανώς κατελάβομεν την φύσιν αυτών.
54. | Εκ των δύο ειδών τριγώνων το ισοσκελές μίαν μόνην έχει φύσιν, το δε σκαληνόν απείρους, πρέπει δε εκ των απείρων να προτιμώμεν το κάλλιστον, εάν θέλωμεν να αρχίσωμεν καθώς πρέπει. Αν λοιπόν τις δύναται να εκλέξη και να είπη άλλο ωραιότερον διά την σύστασιν των σωμάτων τούτων, ούτος ουχί ως εχθρός αλλ' ως φίλος νικά. Ημείς δε εκ των πολλών τριγώνων θέτομεν έν ως το κάλλιστον, παραλείποντες τα άλλα, εκείνο δηλ.
εκ του οποίου επαναλαμβανομένου σχηματίζεται τρίτον, ισόπλευΒ. | ρον6 διατί δε τούτο, ο λόγος είναι μακρός, αλλ' εις εκείνον όστις δύναται να αναιρέση τούτο και να εύρη ότι δεν έχει ούτως, ως βραβείον πρόκειται η φιλία ημών. Ας εκλέξωμεν λοιπόν δύο τρίγωνα, εκ των οποίων κατεσκευάσθησαν το σώμα του πυρός και το των άλλων (στοιχείων), το μεν (να είναι) ισοσκελές, το δε άλλο να έχη την μεγαλυτέραν των καθέτων κατά την δύναμιν τριπλασίαν της μικροτέρας7.
Εκείνο δε, το οποίον πρότερον έχω ειπεί όχι σαφώς, τώρα πρέπει καλύτερα να προσδιορίσω. Τα τέσσαρα δηλαδή είδη (στοιχεία) μας εφαίνοντο τότε ότι όλα αμοιβαίως εγεννώντο τα μεν εκ των δε, αλλά δεν εφανταζόμεθα ορθώς. Διότι γεννώνται C. | μεν εκ των τριγώνων, τα οποία εξελέξαμεν, τέσσαρα είδη, τα τρία μεν εκ του ενός, το οποίον έχει τας πλευράς ανίσους, αλλ' έν μόνον, το τέταρτον, αποτελείται εκ του ισοσκελούς τριγώνου. Δεν είναι λοιπόν δυνατόν όλα, διαλυόμενα εις άλληλα να γίνωνται εκ πολλών μικρών ολίγα μεγάλα, και αντιστρόφως, αλλά μόνα τα τρία πρώτα. Διότι ταύτα, επειδή εγεννήθησαν όλα εξ ενός τριγώνου, όταν λυθώσι τα μεγαλύτερα συστήματα (αθροίΔ. | σματα), πολλά μικρότερα θα συσταθώσι, λαμβάνοντα τας καταλλήλους εις αυτά μορφάς, και ούτως, όταν πάλιν τα πολύ μικρά χωρισθώσιν εις τρίγωνα, εάν εξ ενός όγκου γίνη μία ενότης, δύναται να αποτελεσθή έν άλλο είδος μέγα8. Aρκούσι λοιπόν όσα είπομεν περί της αμοιβαίας γενέσεως του ενός εκ του άλλου των ειδών τούτων. Εκείνο δε όπερ ων ακόλουθον εις ταύτα πρέπει να είπωμεν, είναι: τι είναι έκαστον είδος, όπερ γίνεται εξ αυτών, και εκ της συμπτώσεως ποίων αριθμών γίνεται.
Και θα αρχίσωμεν με το είδος το πρώτον και έχον την σμικροτάτην σύστασιν. Στοιχείον τούτου είναι το τρίγωνον το έχον την υποτείνουσαν διπλασίαν της μικροτέρας καθέτου κατά το μήκος, συνδυάζοντες δε ανά δύο εκ των τριγώνων τούτων διά της διαΕ. | γωνίου, και τούτο ποιούντες τρεις φοράς, ούτως ώστε αι διαγώνιοι και αι μικρότεραι κάθετοι να συνενώνται εις έν κοινόν σημείον ως εις κέντρον, γίνεται έν ισόπλευρον τρίγωνον εκ των έξ τα οποία υπήρχον9. Όταν έπειτα συνενωθώσι τέσσαρα τρίγωνα 55. | ισόπλευρα, ανά τρεις ομού επίπεδοι γωνίαι αποτελούσι μίαν στερεάν γωνίαν, κειμένην εφεξής της αμβλυτέρας των επιπέδων γωνιών· και επειδή απετελέσθησαν τέσσαρες τοιούτοι συνδυασμοί σχηματίζεται ούτω το πρώτον στερεόν είδος10, όπερ έχει την ιδιότητα να διαιρή εις μέρη ίσα και όμοια την όλην επιφάνειαν σφαίρας (εις την οποίαν είναι εγγεγραμμένη). Δεύτερον είδος γίνεται εκ των αυτών τριγώνων, αλλ' ενουμένων εις οκτώ ισόπλευρα τρίγωνα, ώστε να αποτελώσι μίαν στερεάν γωνίαν έχουσαν τέσσαρας επιπέδους γωνίας, και όταν γίνωσιν έξ τοιαύτα, τότε το Β. | δεύτερον πάλιν σώμα αποτελείται11. Το τρίτον είδος στερεού σύγκειται εξ εκατόν είκοσι στοιχείων (τριγώνων) ομού ηνωμένων και εκ δώδεκα στερεών γωνιών, των οποίων εκάστη περιέχεται υπό πέντε επιπέδων ισοπλεύρων τριγώνων, και έχει ως βάσεις (όψεις) είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα12. Και ούτω το έν εκ των στοιχείων, αφού εγέννησε πάντα ταύτα, εξηντλήθη. Το δε ισοσκελές τρίγωνον εγέννησε το τέταρτον είδος σώματος, καθ' όσον ανά τέσσαρα ισοσκελή ηνούντο ούτως, ώστε αι ορθαί γωνίαι να συνενώνται εις το κέντρον και να γεννάται έν τετράγωνον ισόπλευC. | ρον13. Έξ δε τοιαύτα συνενωθέντα αποτελούσιν οκτώ στερεάς γωνίας, των οποίων εκάστη συνίσταται από τρεις επιπέδους ορθάς· το δε σχήμα του ούτω συναποτελεσθέντος σώματος γίνεται κυβικόν έχον έξ επιπέδους τετραγώνους ισοπλεύρους βάσεις (έδρας)14. Προσέτι δε, επειδή υπήρχεν είς πέμπτος συνδυασμός, ο Θεός μετεχειρίσθη αυτόν, ίνα κοσμήση το σχήμα του παντός15.
3
Τ. έ. πρέπει να έχη και τρίτην διάστασιν, βάθος.
4
Ο Πλάτων ανατρέχει εις το στοιχειωδέστατον σχήμα, όπερ είναι το ευθύγραμμον. Πάσα επίπεδος επιφάνεια δύναται να διαιρεθή εις τρίγωνα, παν δε τρίγωνον εις δύο άλλα ορθογώνια τρίγωνα. Ώστε το ορθογώνιον τρίγωνον είναι το πρώτον στοιχείον του σχήματος. Αλλά τα ορθογώνια ταύτα τρίγωνα δύνανται να είναι ισοσκελή ή σκαληνά. Εάν μεν είναι ισοσκελή, έχουσι τας δύο οξείας γωνίας ίσας μεταξύ των, ήτοι η ετέρα ορθή γωνία του ορθογωνίου είναι διηρημένη εκατέρωθεν εις δύο ημίση, όπως ίσαι είναι και αι κάθετοι πλευραί αι ανήκουσαι εις τας δύο ταύτας γωνίας. Εάν τα τρίγωνα είναι σκαληνά, έχουσιν ανίσους τας οξείας γωνίας. Έστω το ισοσκελές τρίγωνον ΑΒΓ ορθογώνιον εις Α. Αι γωνίαι Β και Γ είναι ίσαι, ήτοι αι κάθετοι ΑΒ και ΑΓ τέμνουσιν εις δύο ίσα μέρη τας λοιπάς 90 μοίρας τας αναγκαίας, ίνα αποτελεσθώσιν αι 180 μοίραι, ας περιέχει το τρίγωνον. Αι κάθετοι αύται καθ' υπόθεσιν είναι ίσαι. Έστω ήδη το σκαληνόν α β γ ορθογώνιον εις α. Αι γωνίαι β και γ είναι άνισοι, όπως άνισοι είναι και αι κάθετοι α β και α γ.
5
Ήτοι κατ' εκείνον τον λόγον δι' ον είναι αναγκαίον να αρκώμεθα εις την πιθανότητα ή όστις κατ' ανάγκην δεν δύναται να είναι παρά πιθανός.
6
Δύο τρίγωνα ορθογώνια σκαληνά και ίσα, κοινήν έχοντα την μείζονα κάθετον, αποτελούσιν ισόπλευρον τρίγωνον, όταν η ελάσσων κάθετος είναι το ήμισυ της υποτεινούσης. Έστωσαν τα ορθογώνια σκαληνά και ίσα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ, κοινήν έχοντα την κάθετον ΑΔ, την δε κάθετον ΒΔ ίσην προς το ήμισυ της υποτεινούσης ΑΒ. Διά τούτο ΔΓ είναι ήμισυ της ΑΓ, άρα ΒΔ+ΔΓ=ΑΒ=ΑΓ.
7
Είναι το αυτό σκαληνόν ορθογώνιον τρίγωνον έχον την ελάσσονα κάθετον ίσην με το ήμισυ της υποτεινούσης. Εις το τρίγωνον τούτο το τετράγωνον της μείζονος καθέτου είναι το τριπλάσιον του τετραγώνου της ελάσσονος (τριπλασία δύναμις). Έστω το ανωτέρω τρίγωνον ΑΔΒ. Εάν ΑΒ είναι διπλασία της ΒΔ, τότε (ΑΒ)2 θα είναι τετραπλάσιον του (ΒΔ)2. Αλλά κατά το Πυθαγορικόν θεώρημα (ΑΔ)2=(ΑΒ)2– (ΒΔ)2. Άρα το (ΑΔ)2 είναι τριπλάσιον του (ΒΔ)2.
8
Το ύδωρ, ο αήρ και το πυρ, αποτελούμενα στοιχειωδώς εκ των αυτών σκαληνών τριγώνων, δύνανται να μεταβάλλωνται εναλλάξ, ούτως ώστε το αποτελούμενον εκ μεγαλυτέρων στοιχείων, π.χ. το ύδωρ, δύναται να διαλύηται εις εκείνα των μικροτέρων στοιχείων, λοιπόν το ύδωρ εις αέρα, έως ου διαλυθή εις τα στοιχειώδη τρίγωνα, τα οποία έπειτα δύνανται να συνδεθώσι πάλιν εις νέαν ενότητα, και, όταν αύτη αποτελέση έν σύνολον, τότε υπάρχει το νέον είδος· δηλαδή τα τρίγωνα, τα οποία πρότερον απετέλουν το ύδωρ, θα δύνανται τώρα ν' αποτελέσωσι το πυρ, τα δε του πυρός το ύδωρ κ.τ.λ.
9
Αύτη είναι άλλη ιδιότης του ειρημένου ορθογωνίου σκαληνού τριγώνου. Έστωσαν δύο ορθογώνια σκαληνά τρίγωνα ίσα ΑΒΓ και ΑΖΓ κοινήν έχοντα την υποτείνουσαν ΑΓ διπλασίαν της μικροτέρας καθέτου ΒΓ. Αύτη γίνεται η διαγώνιος του τετραπλεύρου ΑΒΓΖ. Διά τούτο λέγει ο Τίμαιος ότι διά της διαγωνίου (διαμέτρου) συνδέονται τα τρίγωνα μάλλον παρά διά της υποτεινούσης. Διά προεκβολών επαναλαμβάνοντες δις τα δύο ταύτα τρίγωνα έχομεν τα τετράπλευρα ΗΒΓΔ και ΕΔΓΖ, πάντα δε γεννώσι τα ισόπλευρον τρίγωνον ΑΗΕ. Τούτο λοιπόν προκύπτει από έξ τρίγωνα ορθογώνια σκαληνά, των οποίων έκαστον έχει την υποτείνουσαν διπλασίαν της ελάσσονος καθέτου και είναι ίσα προς άλληλα.
10
Πάντα τα κανονικά πολύεδρα διαιρούσιν εις μέρη ίσα και όμοια την σφαίραν, εν η είναι εγγεγραμμένα. Το ελάχιστον κανονικόν πολύεδρον είναι η πυραμίς, ης η βάσις και αι έδραι είναι τρίγωνα ισόπλευρα. Η αμβλυτάτη επίπεδος γωνία είναι εκείνη, ήτις μάλλον προσεγγίζει εις τας δύο ορθάς. Αλλ' η ενταύθα περιγραφομένη στερεά γωνία αποτελεί ακριβώς δύο ορθάς γωνίας. Διότι τα τρίγωνα, εξ ων αποτελείται το τετράεδρον τούτο, έχουσι τας γωνίας ίσας, δι' ό τρεις εκ των γωνιών τούτων οπουδήποτε ληφθείσαι ισούνται προς δύο ορθάς, ου μόνον αι τρεις αι αποτελούσαι έν τρίγωνον, αλλά και αι τρεις αι αποτελούσαι μίαν στερεάν γωνίαν. Σημειωτέον ότι ο Πλάτων προσδιορίζων τα αρχικά σχήματα νοεί όχι την ύλην, αλλά τον χώρον. Εισάγει εις το άπειρον τα πέρας, όπερ είναι ο αριθμός και το μέτρον· τα γεωμετρικά δε σχήματα είναι αριθμός και μέτρον. Αι επιφάνειαι λοιπόν αυτού δεν είναι υλικαί, αλλά όρια μαθηματικά και μέτρα· τα δε γεωμετρικά στερεά, τα οποία αι επιφάνειαι περιγράφουσι, δεν είναι υλικά στερεά, αλλ' αντιστοιχούσι προς τους αριθμούς εκείνους, οίτινες μεσάζουσι μεταξύ ιδεών και πραγμάτων. Ο Πλάτων ζητών τα πρώτα στοιχεία ουχί της ύλης, τα άτομα, αλλά τα των σχημάτων, ευρίσκει πρώτον το ορθογώνιον τρίγωνον, όπερ είναι η απλουστάτη εφαρμογή του πέρατος.
11
Είναι το οκτάεδρον, όπερ έχει οκτώ έδρας τριγωνικάς και έξ γωνίας. Είναι δε το σχήμα του αέρος.
12
Είναι το 20εδρον· το σχήμα του ύδατος· έχει 20 έδρας, ων εκάστη σύγκειται από έξ στοιχειώδη ορθογώνια σκαληνά τρίγωνα. Αποτελείται λοιπόν από 120 στοιχεία. Ούτω το οκτάεδρον σύγκειται από 48 και το τετράεδρον από 24 στοιχεία.
13
Έστωσαν τέσσαρα ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα αεβ, βεγ, γεδ, δεα, ηνωμένα ούτως ώστε η ορθή γωνία εκάστου να είναι εν τω κέντρω. Έχομεν ούτω το τετράγωνον αβγδ.
14
Ο κύβος είναι το στοιχειώδες σχήμα της γης.
15
Υπονοεί το δωδεκάεδρον, το πέμπτον κανονικόν στερεόν το υπάρχον εν τη φύσει. Ο Έγελος παρατηρεί: Εν τω κόσμω τούτω των μεταβολών η μορφή είναι το τοπικόν σχήμα. Διότι όπως εν τω κόσμω, όστις είναι άμεσος εικών του αιωνίου, ο χρόνος είναι η απόλυτος αρχή, ούτως ενταύθα η απόλυτος ιδανική αρχή είναι η καθαρά ύλη ως τοιαύτη, η ύπαρξις (das bestehen = subsister) του χώρου. 1) Ύλη, 2) χώρος 3) γένεσις. Ο χώρος είναι η ιδανική ουσία του φαινομενικού τούτου κόσμου, ο μέσος ο συνενών το θετικόν και το αρνητικόν, οι διορισμοί δ' αυτού είναι τα σχήματα. Και τω όντι εκ των διαστάσεων του χώρου η επιφάνεια πρέπει να εκλαμβάνηται ως αληθής πραγματικότης, διότι είναι 1) ο απόλυτος μέσος μεταξύ 2) γραμμής και του 3) σημείου. Ούτω δε και το τρίγωνον είναι το πρώτον των σχημάτων, ενώ ο κύκλος ουδέν όριον έχει εν εαυτώ. Και ενταύθα ο Πλάτων προβαίνει εις την εξαγωγήν των σχημάτων, ένθα το τρίγωνον αποτελεί την θεμελιώδη αρχήν.
