Читать книгу Manual de álgebra lineal 2da edición - Sebastian Castañeda Hernández - Страница 10

Como se advirtió antes, la estructura principal a considerar en el curso de Álgebra Lineal es la de espacio lineal o espacio vectorial. Tales estructuras son construidas sobre una estructura aditivo multiplicativa básica conocida como campo o cuerpo. Comenzamos con un conjunto no vacío, con dos leyes de composición interna + : × → y · : × → (adición y multiplicación). La estructura (, +, ·) es un campo o cuerpo si y solo si

• (, +) es un grupo abeliano (con neutro 0)

• La multiplicación es conmutativa, asociativa, modulativa, con neutro 1 ≠ 0, y distributiva respecto de la adición.

• Cada elemento x ∈ , x ≠ 0, es invertible (multiplicativamente).

Se sigue así que si (, +, ·) es un campo, entonces (, +) y ( − {0}, ·) son grupos abelianos. La denominación de anillo se refiere a una estructura aditiva multiplicativa (R, +, ·) tal que (R, +) es un grupo abeliano y la multiplicación es asociativa y distributiva con relación a la adición. Las denominaciones de anillo conmutativo y anillo con elemento identidad se refieren, respectivamente, a un anillo tal que la multiplicación es conmutativa y a un anillo con elemento neutro para la multiplicación.

Tenemos entonces que todo campo es una anillo conmutativo con identidad en el cual todo elemento no nulo es invertible multiplicativamente. También se acostumbra decir que es un anillo conmutativo con división. La estructura (, +, ·) (enteros con la adición y la multiplicación) es un anillo conmutativo con elemento identidad, pero claramente no es un campo (¿por qué?). De igual manera, para un natural n ≥ 2, la estructura (_n, +, ·) es un anillo conmutativo con identidad y es un campo si y solo si n es un número primo.

En particular, nos interesa la estructura de campo del conjunto de los números reales. Suponemos por parte del lector un conocimiento, así sea intuitivo, de tal conjunto. Tal conjunto, notado por , es la unión del conjunto de los números racionales, notado , con el de los irracionales. El primero es el conjunto de los números que pueden expresarse como cociente de dos enteros. Una característica notable de los racionales es también que su expresión decimal es periódica, a diferencia de los irracionales en los cuales la expresión decimal es infinita y no periódica. Ejemplos notables de irracionales son las raíces cuadradas de números naturales que no son cuadrados perfectos (, etc.), el número π (constante universal que representa el cociente de la longitud de una circunferencia cualquiera sobre su diámetro), el número de Euler, e, base de los logaritmos naturales. Asumimos como verdadero que la estructura (, +, ·) es un campo, lo cual de acuerdo con la definición dada antes significa:

• (, +) es un grupo abeliano. El neutro aditivo por supuesto es 0 y cada real x tiene un inverso aditivo, notado −x.

• La multiplicación es conmutativa, asociativa y distributiva con relación a la suma. Igualmente es modulativa, con neutro 1 ≠ 0.

• Cada real x ≠ 0 tiene un inverso multiplicativo, notado x⁻¹.

Las propiedades de campo, conjuntamente con las de la igualdad, permiten fácilmente resolver ecuaciones de grado uno en una o más incógnitas. En particular, si es un campo, y a, b, c ∈ con a ≠ 0 la ecuación

ax + c = b

tiene solución única y puede resolverse fácilmente como en el álgebra elemental. Así, tenemos

En estructuras aditivo multiplicativas más generales, por ejemplo, anillos conmutativos, el problema no es tan simple. Considere por ejemplo la ecuación 2x + 7 = 5.

1. En (₁₁, +, ·) que es un campo, se tiene

x = 2⁻¹(5 + (−7)) = 6(−2) = 6(9) = 10.

2. En (₈, +, ·) que no es un campo, se tiene en cambio 2x = 5−7 = −2 = 6. Notemos, sin embargo, que no podemos “despejar” x, ya que 2 no es invertible en ₈. Si bien es claro que 3 es una solución de la ecuación, no podemos afirmar que es la única. Revisando la tabla multiplicativa de ₈ para el 2 tenemos (método de la “fuerza bruta”)

lo que muestra que la ecuación tiene exactamente dos soluciones: 3 y 7. Por otra parte, la ecuación 2x = 7 en ₈ no tiene solución⁴ (¿por qué?).

En el capítulo siguiente se resuelve el problema de resolver una ecuación lineal sobre el campo real. Los resultados teóricos que se presentan pueden extenderse sin problemas a ecuaciones sobre un campo cualquiera. Una ecuación lineal en las n incógnitas (o variables) x₁, x₂, . . ., x_n sobre un campo es una ecuación de la forma

donde a₁, a₂, . . ., a_n, b ∈ . Así, por ejemplo, 2x+3y = 6 es una ecuación lineal en las incógnitas x, y sobre el campo real. Como se verá en el capítulo siguiente, cada solución de la ecuación es un par de reales que “satisface” la ecuación. Usualmente ordenaremos las variables y cada solución se tomará como un par ordenado. En nuestro ejemplo, una solución es el par (3, 0) (x = 3, y = 0) ya que

2(3) + 3(0) = 6.

No es difícil entender que tal ecuación tiene infinitas soluciones y que una solución se puede obtener asignándole valores arbitrarios a una de las incógnitas y reduciendo el problema a una ecuación en una sola variable. Así, por ejemplo, si t es un número real cualquiera y asignamos tal valor a x, entonces debe tenerse

2t + 3y = 6.

Resolviendo esta ecuación en y se tiene

Así, toda solución, como par ordenado de reales, es de la forma

siendo t un real cualquiera. El conjunto solución (conjunto de todas las soluciones) es entonces

Si consideramos la ecuación 2x + 3y = 6 ahora sobre el campo finito ₇ podemos también proceder como antes y se tendría que para x = t con t ∈ ₇ se obtiene

De modo que todas las soluciones son de la forma (t, 2 + 4t) y, así, la ecuación tiene siete soluciones: (0, 2), (1, 6), (2, 3), (3, 0), (4, 4), (5, 1), (6, 5).

Ejercicios 1.3.1

1. Demuestre que en una estructura modulativa (A, ∗), donde ∗ es una ley de composición interna en A, el neutro es único. Demuestre también que en una estructura asociativa y modulativa si un elemento es invertible, entonces el inverso es único. Concluya de la demostración realizada, que si un elemento x tiene un inverso a mano derecha y, y un inverso a mano izquierda z, entonces y = z.

2. Considere en la ley de composición interna definida por:

x ∗ y = xy + x + y

(a) Calcule 2 ∗ 3 y −3 ∗ .

(b) Demuestre que (, ∗) es una estructura asociativa, modulativa y conmutativa, pero no es invertiva, pues existe un (único) elemento z no invertible.

(c) Calcule los inversos, bajo ∗, de 1, 0 y .

(d) Si A = − {z}, muestre que A es cerrado bajo ∗ y que (A, ∗|_A) es una estructura asociativa, modulativa, conmutativa e invertiva (grupo abeliano).

3. Considere los conjuntos A = {a, b, c} y B = {c, d, e} y la operación definida por la tabla que se muestra:

(a) ¿Existe un neutro a izquierda para ∗?

(b) Calcule, si existen, (a ∗ c) ∗ e y a ∗ (c ∗ e).

(c) ¿Qué puede decir acerca de la existencia de “inversos unilaterales”?

4. Muestre que si (G, ·) es una estructura asociativa y modulativa y x, y ∈ G son elementos que tienen inverso, entonces (xy)⁻¹ = y⁻¹x⁻¹. Concluya que el conjunto de los elementos invertibles en G es un grupo.

5. En el ejemplo 1.2.1, 3, página 7, se introdujo el conjunto _n con las operaciones de adición y multiplicación módulo n. Como se dijo, (_n, +) es un grupo abeliano. (_n, ·) no es un grupo porque, en general, no todo elemento tiene inverso (multiplicativo). Puede demostrarse que un elemento m ∈ _n es invertible (multiplicativamente) si y solo si el único divisor común positivo de m y n es 1 (es decir, m y n son primos relativos).

(a) Determine, si existen los inversos aditivos y multiplicativos de cada elemento de ₈ y ₁₂.

(b) El conjunto de los elementos invertibles (multiplicativamente) de _n es un grupo y se denota por U_n. Muestre entonces U₈ y U₁₂.

(c) Explique porqué si p es un número primo, entonces todo elemento no nulo de _p es invertible. Concluya así que (_p − {0}, ·) es un grupo abeliano.

6. En cada caso determine, si existen, −2, −5, −7, 2⁻¹, 5⁻¹ y 7⁻¹ en _n para el valor de n indicado.

(a) n = 8.

(b) n = 13.

(c) n = 35.

(d) n = 70.

7. Encuentre en cada caso el conjunto solución de la ecuación dada.

(a) 2x = 6 en ₁₀.

(b) 2x = 6 en ₇.

(c) 5x = 6 en ₁₀.

(d) 2x = 7 en ₁₀.

(e) 2x + 9 = 15 en ₂₀.

Tarea 1

1. En cada caso indique, marcando con una X en la casilla, la estructura correspondiente. Los conjuntos indicados son:

= {1, 2, 3, 4, 5, . . . }: Conjunto de los números naturales.

₀ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }: Conjunto de los números cardinales.

= {. . ., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }: Conjunto de los números enteros.

= { m, n ∈ , n ≠ 0}: Conjunto de los números racionales.

= ∪ ′: Conjunto de los números reales.

2. Encuentre en cada caso el conjunto solución de la ecuación dada. Use el método de la “fuerza bruta” solamente si es necesario.

(a) 2x = 6 en ₁₀.

(b) 2x = 6 en ₇.

(c) 5x + 3y = 6 en ₇.

3. Considere la tabla multiplicativa de ₁₆.

(a) Complete la tabla (recuerde que la operación es conmutativa).

(b) Indique (buscando en la tabla de resultados dónde aparece 1) los elementos invertibles y sus respectivos inversos.

(c) Resuelva, usando la tabla, las ecuaciones 4x = 12 y 6x = 7. Explique.