Читать книгу Энциклопедия финансового риск-менеджмента - Алексей Лобанов - Страница 29

I. Количественный анализ
В. Е. Барбаумов
1.20. Дискретные случайные величины

Оглавление

Случайная величина ξ называется дискретной случайной величиной (discrete random variable), если она принимает лишь конечное или счетное число различных значений.

Чтобы задать дискретную случайную величину, достаточно указать закон распределения вероятностей этой случайной величины в следующем виде:


т. е. для каждого возможного значения случайной величины ξ задать вероятность этого значения.


Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины ξ показана на рис. 1.17.

Основные числовые характеристики дискретной случайной величины ξ определяются следующим образом:


Свойства математического ожидания и дисперсии


Пример 1.48. Дана 10 %-ная облигация с полугодовыми купонами, продающаяся по номиналу, когда до ее погашения остается 20,5 года. Инвестор считает, что доходность к погашению этой облигации через 6 месяцев может принять следующие значения:


Законы распределения вероятностей цены облигации (η) и годовой реализуемой доходности за 6 месяцев (τ) указаны в таблице:


Например, если ξ = 11,0 %, то


Математическое ожидание цены облигации через 6 месяцев и ее дисперсия могут быть найдены следующим образом:


Таким образом, ожидаемое значение реализуемой доходности облигации за 6 месяцев равно 11,96 %, а ее стандартное отклонение составляет 14,81 %.

Закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин ξ и η может быть задан следующим образом:


Pij – это вероятность того, что случайная величина ξ принимает значение Xi, а случайная величина η – значение Yj, i = 1, 2, 3…, j = 1, 2, 3…, причем


Зная закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин, можно найти закон распределения вероятностей каждой из этих случайных величин, так как


Дискретные случайные величины ξ и η называются независимыми, если


Для независимых случайных величин справедливы следующие два равенства:


Ковариация (covariance) между двумя дискретными случайными величинами ξ и η определяется равенством


Свойства ковариации


Корреляция (correlation) между двумя случайными величинами ξ и η определяется следующим образом:


Случайные величины называются некоррелированными, если корреляция между ними равна 0.

Свойства корреляции


Пример 1.49. Совместное распределение вероятностей случайных величин ξ и η приведено в таблице:


Распределение вероятностей случайных величин ξ,η и ξη имеет следующий вид:


Ковариация и корреляция между случайными величинами ξ и η находятся следующим образом:


Энциклопедия финансового риск-менеджмента

Подняться наверх