Читать книгу Энциклопедия финансового риск-менеджмента - Алексей Лобанов - Страница 34

Случайная величина γ, принимающая 10 значений: 0, 1, 2, 3, …, 9 с одинаковой вероятностью, называется случайной цифрой.

Предположим, что мы произвели N независимых опытов, в результате которых получили N случайных цифр. Записав эти цифры (в порядке их появления) в таблицу, получим то, что называется таблицей случайных цифр. Например, таблица из 150 случайных цифр может иметь следующий вид (цифры разбиты на группы для удобства чтения таблицы):

Случайным числом (random number) называется случайная величина

Иными словами, случайное число – это случайная величина, равномерно распределенная на промежутке [0, 1).

Если задана таблица случайных цифр, то можно строить различные случайные числа, как, например:

В настоящее время существуют специальные компьютерные программы для построения случайных чисел в любом количестве. Такие программы называют генераторами случайных чисел.

Рассмотрим теперь дискретную случайную величину ξ, распределение которой имеет вид:

Равенство (1.68) позволяет каждому случайному числу приписать определенное значение случайной величине ξ. Такой процесс приписывания значений случайной величине ξ часто называют разыгрыванием этой случайной величины.

Пример 1.66. Случайная величина ξ принимает значения 1 и 2 с вероятностью 0,6 и 0,4 соответственно. В данном случае

Значения этой случайной величины, приписываемые случайным числом из последовательности (1.67), приведены ниже:

Частоты появления 1 и 2 соответственно равны и близки к их вероятностям. Чтобы получить лучшую модель, необходимо рассмотреть большее количество случайных чисел.

Предположим, что даны две случайные величины ξ и η, совместное распределение которых имеет вид:

Равенство (1.69) позволяет каждому случайному числу приписать определенную пару значений случайных величин ξ и η. Такой процесс приписывания значений паре случайных величин (ξ, η) называют разыгрыванием этой пары.

Если случайные величины ξ и η независимы, то для разыгрывания пары (ξ, η) достаточно разыграть каждую случайную величину в отдельности. Для разыгрывания непрерывной случайной величины можно вначале найти дискретную случайную величину, близкую к данной случайной величине, а затем разыграть эту дискретную случайную величину.

Метод Монте-Карло позволяет численно находить различные вероятностные характеристики случайной величины η, зависящей от большого числа других случайных величин ξ₁, ξ₂…., ξ_n. Этот метод сводится к следующему: разыгрывается последовательность случайных величин (ξ₁, ξ₂…., ξ_n), для каждого розыгрыша определяется соответствующее значение случайной величины η, а по найденным значениям строится эмпирическое распределение вероятностей этой случайной величины.

Пример 1.67 [5]. Инвестор владеет портфелем, состоящим из одной казначейской облигации и двух корпоративных облигаций одного и того же кредитного рейтинга. Основные параметры портфеля указаны в таблице:

Инвестора интересует реализуемая доходность портфеля облигаций за 6 месяцев. По его мнению, реализуемая доходность портфеля будет определяться следующими двумя факторами: кривой доходностей казначейских облигаций через 6 месяцев и спредом между доходностями корпоративных и казначейских облигаций. Предположим, что инвестор располагает еще и следующей информацией:

Для определения реализуемой доходности портфеля облигаций можно использовать метод Монте-Карло.

Первая итерация (случайные числа: 0,91 для кривой доходностей и 0,12 для спреда между доходностями). В этом случае доходности казначейских облигаций со сроком до погашения 5, 15 и 25 лет составят соответственно 10, 8 и 8 %, а доходности корпоративных облигаций со сроком до погашения 15 и 25 лет – 9 и 9 %.

Тогда цены облигаций (на номинал в 100 долл.) через 6 месяцев определяются следующим образом:

Предположим, что было проведено 100 итераций. При этом оказалось, что наименьшая реализуемая доходность портфеля равна -3,905 %, а наибольшая реализуемая доходность составляет 24,97 %.

Разделив отрезок [-3,905 %; 24,97 %] на достаточно большое число частей, подсчитаем для каждой части число итераций, дающих реализуемую доходность из этой части.

Таким образом, будет построено эмпирическое распределение вероятностей реализуемой доходности портфеля облигаций. После чего можно получить различные числовые характеристики этой реализуемой доходности: среднее значение, стандартное отклонение и т. д.