Читать книгу Энциклопедия финансового риск-менеджмента - Алексей Лобанов - Страница 37

Стохастическим дифференциальным уравнением (stochastic differential equation) называется уравнение вида

Решением стохастического дифференциального уравнения (1.71) на промежутке [t, Т] называется случайный процесс х (w, τ), удовлетворяющий следующим условиям:

Любое решение стохастического дифференциального уравнения (1.71), удовлетворяющее некоторому начальному условию

В частности, геометрическим броуновским движением (geometric Brownian motion) является случайный процесс, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению:

Геометрическое броуновское движение, определяемое условиями (1.74) и (1.75), можно найти в явном виде:

Свойства геометрического броуновского движения

Во многих случаях можно считать, что эволюция цены финансовых активов описывается геометрическим броуновским движением. Такое моделирование оказывается достаточно точным, например, в случае обыкновенных акций.

Пример 1.72. Инвестор считает, что цена бездивидендной акции описывается геометрическим броуновским движением с коэффициентом смещения 0,1 и годовой волатильностью 40 %. В данный момент времени цена акции равна 100 долл. Инвестора интересует цена этой акции через месяц.

Эволюцию цены В_τ облигации с нулевым купоном можно описывать с помощью геометрического броуновского движения, лишь когда до погашения облигации остается достаточно много времени. Действительно, в момент погашения Т ее цена всегда равна номиналу, т. е. известна достоверно. Это означает, что и зависимость от времени должна иметь вид, изображенный на рис. 1.31.

Таким образом, при моделировании эволюции цены облигации с нулевым купоном необходимо учитывать эффект приближения к номиналу (pull to par), а геометрическое броуновское движение этот эффект не учитывает, так как растет во времени линейно.

В общем случае найти решение стохастического дифференциального уравнения (1.71) в явном виде не удается. Поэтому для моделирования траекторий случайного процесса Ито часто применяется метод Монте-Карло.

Чтобы смоделировать траекторию случайного процесса Ито на отрезке [t, Т], этот отрезок разбивается на n равных частей (n должно быть большим), а затем разыгрывается случайная величина ξ, распределенная нормально с параметрами Тогда для последовательности случайных чисел δ₁, δ₂…., δ_n будет построена соответствующая последовательность значений случайной величины ξ, а траектория случайного процесса Ито будет определяться точками:

Указанным выше способом можно построить сколь угодно много траекторий случайного процесса Ито.