Читать книгу Wprowadzenie do logiki formalnej. Podręcznik dla humanistów - Barbara Stanosz - Страница 7

Wyrażenia, które z powodu uniwersalności swych zastosowań są obiektem zainteresowania logików, noszą nazwę stałych logicznych. Jak już mówiliśmy, należą do nich spójniki zdaniowe i słowa kwantyfikujące, przy czym dzięki ich wzajemnym związkom znaczeniowym (równoznaczności lub definiowalności) teorie logiczne mogą uwzględniać bezpośrednio tylko nieliczne z nich.

Zdania, których analityczność ma źródło wyłącznie w ich strukturze oraz w znaczeniu występujących w nich stałych logicznych, nazywamy zdaniami logicznie prawdziwymi lub prawdami logicznymi[3]. Tak więc, zdanie (2) jest – w odróżnieniu od zdania (1) – nie tylko analityczne, lecz także logicznie prawdziwe.

Związki analityczne między zdaniami uwarunkowane wyłącznie strukturą tych zdań oraz znaczeniem występujących w nich stałych logicznych nazywamy związkami logicznymi. Wyróżniamy wśród nich: wynikanie logiczne, równoważność logiczną, sprzeczność logiczną oraz logiczne wykluczanie się i logiczne dopełnianie się zdań jako – odpowiednio – takie rodzaje analitycznych związków wynikania, równoważności, sprzeczności, wykluczania się i dopełniania się, które są związkami logicznymi. Tak więc, wśród odnotowanych przez nas związków analitycznych między zdaniami (3) – (9) logiczny charakter ma sprzeczność między (3) i (7), wynikanie między (3) i (8), wynikanie między (4) i (8), a także wynikanie zdania (4) ze zbioru zdań {(7), (8)} oraz zdania (5) ze zbioru zdań {(7), (9)}. Pozostałe związki analityczne między zdaniami (3) – (9) mają charakter pozalogiczny.

Teorię związków logicznych między zdaniami można w istocie ograniczyć do teorii wynikania logicznego (zwanego także konsekwencją logiczną). Pozostałe związki logiczne można bowiem zdefiniować za pomocą pojęcia wynikania logicznego jak następuje.

Niech symbole Z₁, Z₂ reprezentują dowolne zdania, a neg (Z₁) i neg (Z₂) – odpowiednio – zaprzeczenia zdań Z₁, Z₂. Wówczas:

(D1) Z₁ jest logicznie równoważne Z₂ zawsze i tylko, gdy Z₁ wynika logicznie z Z₂ a Z₂ wynika logicznie z Z₁.

(D2) Z₁ jest logicznie sprzeczne z Z₂ zawsze i tylko, gdy neg (Z₁) wynika logicznie z Z₂ (wówczas także neg (Z₂) wynika logicznie z Z₁) oraz Z₁ wynika logicznie z neg (Z₂) (wówczas także Z₂ wynika logicznie z neg (Z₁)).

(D3) Z₁ wyklucza się logicznie z Z₂ zawsze i tylko, gdy neg (Z₁) wynika logicznie z Z₂ (wówczas także neg (Z₂) wynika logicznie z Z₁).

(D4) Z₁ dopełnia się logicznie z Z₂ zawsze i tylko, gdy Z₁ wynika logicznie z neg (Z₂) (wówczas także Z₂ wynika logicznie z neg (Z₁))[4].

Przyjmując pewne założenie co do warunków prawdziwości zdań, które gramatycy nazywają okresami warunkowymi, można dokonać kolejnego ograniczenia przedmiotu i zadań teorii logicznych. Umówmy się nazywać poprzednikiem okresu warunkowego zdanie występujące między słowami „jeżeli” i „to”, następnikiem zaś – zdanie występujące po „to”; na przykład, poprzednikiem okresu warunkowego (1) jest zdanie „Jan jest starszy od Piotra” a jego następnikiem – zdanie „Piotr jest młodszy od Jana”. Otóż przy założeniu, że okres warunkowy jest prawdziwy zawsze, z wyjątkiem przypadku, gdy jego poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy, pojęcie wynikania logicznego można zdefiniować za pomocą pojęcia prawdy logicznej jak następuje:

(D5) Z₂ wynika logicznie z Z₁ zawsze i tylko, gdy okres warunkowy, którego poprzednikiem jest Z₁ a następnikiem Z₂, jest prawdą logiczną.

Tak więc, jako przedmiot badań logiki formalnej wolno traktować prawdy logiczne, a jej zadania sprowadzić do zadania sporządzenia teoretycznego opisu zbioru prawd logicznych. Ponieważ w każdym języku jest nieskończenie wiele prawd logicznych, opis taki nie może polegać po prostu na wyliczeniu elementów tego zbioru. Winien on natomiast dostarczyć jednoznacznej syntaktycznej charakterystyki wszystkich prawd logicznych oraz – jeśli jest to możliwe – efektywnej metody rozstrzygania o dowolnym zdaniu, czy jest ono, czy też nie jest logicznie prawdziwe. Przez syntaktycznącharakterystykę wyrażeń danego rodzaju (w tym przypadku – prawd logicznych) rozumiemy charakterystykę ich zewnętrznej postaci, tj. ich kształtu graficznego lub akustycznego. Mówiąc zaś o efektywnej metodzie rozstrzygania, czy dane wyrażenie ma daną własność (w tym przypadku – czy jest prawdą logiczną), mamy na myśli procedurę, która w skończonej liczbie kroków prowadzi „automatycznie” (tj. bez udziału inwencji ludzkiej) do prawdziwej odpowiedzi na to pytanie.

Przypomnijmy, że logiczna prawdziwość zdania nie zależy od znaczenia tych jego wyrażeń składowych, które nie są stałymi logicznymi; inaczej mówiąc, prawdy logiczne są inwariantne ze względu na zastępowanie w nich (z zachowaniem kategorii syntaktycznej) wyrażeń pozalogicznych. Pozwala to sprowadzić zadanie podania syntaktycznej charakterystyki zdań logicznie prawdziwych do wskazania niektórych tylko syntaktycznych aspektów takich zdań, z pominięciem kształtu ich pozalogicznych składników. Powiedzieliśmy już, że tym, co przesądza o logicznej prawdziwości zdania, a także o jego związkach logicznych z innymi zdaniami, jest struktura tego zdania i znaczenie występujących w nim stałych logicznych. Syntaktyczna charakterystyka prawd logicznych winna zatem wskazywać odpowiednie aspekty struktury każdego z takich zdań oraz te jego wyrażenia składowe, które są stałymi logicznymi.

Ogół tych syntaktycznych cech danego zdania, które łącznie stanowią o jego logicznej prawdziwości bądź o związku wynikania logicznego, łączącym je z innymi zdaniami (a więc o logicznej prawdziwości odpowiednich okresów warunkowych), nazywamy formą logiczną tego zdania. Tak więc formę logiczną zdania wyznacza jego struktura i występujące w nim stałe logiczne.

Nasuwa się myśl, że jako formę logiczną danego zdania można traktować wspólny schemat tych wszystkich zdań, które powstają w wyniku zastępowania (konsekwentnego) pozalogicznych składników tego zdania dowolnymi wyrażeniami należącymi do tej samej kategorii syntaktycznej. Za schemat taki wolno uznać napis, w który przekształci się to zdanie po zastąpieniu jego pozalogicznych wyrażeń składowych dowolnymi symbolami, markującymi tylko kategorię syntaktyczną tych wyrażeń (na miejscu tych samych wyrażeń winny się znaleźć te same symbole, a na miejscu różnych – różne, jest to bowiem warunek zachowania struktury zdania). Na przykład, przyjmując umowę, że litery a, b reprezentują dowolne imiona własne, a R, S – dowolne wyrażenia odnoszące się do relacji dwuczłonowych, można by uznać za formy logiczne zdań (1), (2) – odpowiednio – schematy zdaniowe:

Jeżeli aRb, to bSa, (S1)

aRb lub nieprawda, że aRb. (S2)[5]

Schematy (S1), (S2) adekwatnie oddają własności logiczne zdań (1), (2). Z (S1) można bowiem, przez konsekwentne podstawianie odpowiednich wyrażeń za symbole literowe, otrzymać zarówno zdania prawdziwe, jak i fałszywe. Z (S2) natomiast otrzyma się na tej drodze wyłącznie zdania prawdziwe. Zatem (S2) jest, a (S1) nie jest schematem prawd logicznych. Taka metoda konstruowania formy logicznej zdania jest jednak nieekonomiczna, a co gorsze – zwodnicza. Nieekonomiczność tej metody polega na zbędnym „rozmnożeniu” form logicznych. Stosując ją literalnie należałoby przypisać odmienną formę logiczną, na przykład,

każdemu ze zdań:

Jan lubi Piotra, (10)

Piotr jest lubiany przez Jana, (11)

a także zdaniom:

Jan biegnie szybko, (12)

Bieg Jana jest szybki. (13)

Tymczasem każda z tych par zdań jest niewątpliwie parą parafraz strukturalnych: zdania (10) i (11), a także zdania (12) i (13), są analitycznie równoważne na mocy samej swej struktury, wolno im zatem przypisać wspólną formę logiczną.

Rozważana metoda jest również zwodnicza, prowadzi bowiem do przypisania tej samej formy logicznej zdaniom o wyraźnie odmiennych własnościach logicznych. Weźmy pod uwagę zdania:

Jan jest małoletnim przestępcą, (14)

Jan jest małoletni. (15)

Wydaje się niewątpliwie, że zdanie (15) wynika logicznie ze zdania (14), tj. że okres warunkowy:

Jeżeli Jan jest małoletnim przestępcą, to Jan jest małoletni (16)

jest logicznie prawdziwy. Tymczasem rekonstruując formę logiczną zdania (16) zgodnie z zaproponowaną metodą, uzyskujemy schemat, z którego można otrzymać przez podstawianie m.in. zdanie:

Jeżeli Jan jest pospolitym przestępcą, to Jan jest pospolity. (17)

Zdanie to z pewnością nie jest prawdą logiczną. Czy zatem należy odmówić logicznej prawdziwości także zdaniu (16)? Bardziej naturalne jest rozwiązanie polegające na przyjęciu, iż (16) ma inną formę logiczną niż (17). Źródeł tej różnicy należy upatrywać w odmiennej formie logicznej poprzedników tych zdań. Przemawia za tym istnienie strukturalnej parafrazy zdania:

Jan jest pospolitym przestępcą (18)

w postaci zdania:

Przestępstwo Jana jest pospolite, (19)

podczas gdy (14) analogicznej parafrazy nie posiada.

Rozważania powyższe prowadzą do wniosku, że jeśli forma logiczna zdania ma być wyznaczona przez jego strukturę i występujące w nim stałe logiczne, to pojęcia struktury zdania nie wolno utożsamiać z pojęciem budowy składniowej, które zawdzięczamy szkolnej nauce gramatyki. Mówiąc o strukturze zdania jako wyznaczniku jego formy logicznej ma się na myśli nie tylko (i nie wszystkie) własności syntaktyczne tego zdania wziętego w izolacji, lecz także pewne relacje, w jakich pozostaje ono do innych zdań danego języka. Korzystając z terminologii, którą wprowadziło współczesne językoznawstwo, można to spostrzeżenie sformułować następująco: forma logiczna odzwierciedla nie powierzchniową, lecz głęboką strukturę syntaktyczną zdania. Struktura głęboka zaś nie musi (choć może) być identyczna ze strukturą powierzchniową.

Tak więc, forma logiczna zdania nie zawsze przypomina jego zewnętrzną postać. Różni sie ona od zdania języka naturalnego także i tym, że stałe logiczne są w niej wyrażone za pomocą sztucznych symboli. Decyzję zastąpienia naturalnych spójników zdaniowych i słów kwantyfikujących arbitralnie wybranymi symbolami usprawiedliwiają wymogi oszczędności miejsca i związanej z tym przejrzystości zapisu. Zabieg ten pozwala też nadać logice dostatecznie „abstrakcyjny” charakter. Nie jest ona dzięki temu teorią prawd logicznych właściwych jakiemuś określonemu językowi naturalnemu: stosuje się w jednakowym stopniu do wszystkich – naturalnych i sztucznych

– języków, w których występują wyrażenia spełniające warunki znaczeniowe, nałożone w logice na odpowiednie symbole.

Podanie pełnego rejestru reguł, według których należy przyporządkowywać formy logiczne zdaniom danego języka, nie jest zadaniem logiki. Reguł takich dostarczyć powinien opis gramatyczny języka, sporządzony w myśl założeń teorii gramatyk generatywno-transformacyjnych. Jak dotąd, dla żadnego języka naturalnego nie podano kompletnego opisu tego rodzaju. Nie uniemożliwia to jednak badań formalnologicznych nad którymkolwiek językiem naturalnym. Reguły przyporządkowania form logicznych zdaniom takiego języka są bowiem w większości przypadków dostatecznie proste i intuicyjne, by jego biegły użytkownik mógł – zapoznawszy się z formalizmem logicznym – stosować je w praktyce bezbłędnie nawet wtedy, gdy nie potrafi ich sformułować jako zasad ogólnych.