Читать книгу Los problemas de matemática en la práctica didáctica - Bruno D´Amore - Страница 7

Premisa

Con algo de titubeo me dispongo a presentar al público el argumento de la reflexión de estas últimas décadas. El titubeo está ciertamente legado al hecho que mi formación de base es la de matemático, mientras que los temas de investigación en los cuales me adentré están en los confines de la pedagogía y de la psicología. Por otro lado, ¿cómo es posible ocuparse de la didáctica y dejar por fuera la pedagogía y la psicología, como quisieran algunos? Me parece una posición un poco miope y deletérea. Sin embargo, hubiese podido reservar para mí el fruto de mis estudios y de mis reflexiones y no llegar a proponer estos resultados, si no hubiese motivos de fondo que me parecieran válidos y que expongo a continuación.

Los motivos que me llevaron a dedicar (mucho) tiempo a este volumen son tres.

Primer motivo, banalmente editorial. Mi proyecto Ma.S.E.1 tuvo en Italia un éxito tal en ventas que el pedido explícito, más de una vez, por parte de los lectores, de afrontar el tema “Problemas” no se podía eludir. En realidad, en el curso del Ma.S.E., hay más de una referencia a esta importante actividad. Pero hacía falta un discurso específico, lo más coherente y completo posible.

Segundo motivo, más profundo. No hay quien, ocupándose a cualquier nivel de la Didáctica de la Matemática, no reconozca en la actividad de resolución de problemas una característica “fuerte”, central: hacer Matemática es en primera instancia afrontar problemas. Por otro lado, el Núcleo de Investigación de la Matemática de Bolonia (del cual soy fundador y responsable director científico desde 1984 hasta hoy) hace años se ocupa de una sub-sección particular propia de esta problemática: la resolución de problemas con estrategias ingenuas (es decir no formales). Llegó el momento de exponer las ideas que se encuentran en la base de esta investigación y algunos resultados en forma explícita y difusa.

Tercer motivo, más personal. En cuanto matemático profesional involucrado en la investigación en Didáctica de la Matemática, decidí graduarme en Pedagogía; por lo tanto ¡tenía que escribir una tesis de grado! Este tema tuvo una gran acogida por parte de un querido amigo mío, el famoso pedagogo Franco Frabboni quien fue mi director de tesis. Mi tesis de grado es un subconjunto (muy reducido) precisamente de este volumen2.

El Ma.S.E. ha tenido varias aplicaciones concretas, más allá de aquellas que he seguido en primera persona; es obvio que un producto editado en miles de copias se salga de las manos del autor y que cada lector se apropie de él a su manera.

Otro impulso decisivo llegó del sector didáctico en el cual se mueve el Núcleo de Bologna, es decir los “Laboratorios de Matemática”. Como ya he ampliamente escrito en otras ocasiones, también durante los laboratorios la actividad tiene como eje principal la resolución de problemas, por lo que una puntualización de tipo teórico se vuelve esencial3.

Buscaré inmediatamente un fundamento autorizado para dar importancia a este tema:

Una vez adquiridas ciertas reglas, el hombre puede usarlas con diferentes objetivos en su relación con el ambiente. Puede también hacer algo más importante: puede pensar. Esto significa fundamentalmente estar en capacidad de combinar las reglas aprehendidas a una gran variedad de reglas nuevas de orden superior. Esto se puede hacer por auto estimulación y también respondiendo a diversos tipos de estimulación del ambiente. Mediante el proceso de combinación de reglas viejas y reglas nuevas, la persona resuelve problemas que le son nuevos, adquiriendo así un patrimonio aún mayor de nuevas capacidades.

De esta manera se expresa R. M. Gagné (1973, p. 83). Y, del mismo modo, más adelante (p. 86):

El problem solving se resuelve a partir de la adquisición de nuevas ideas que multiplican la aplicabilidad de las reglas ya aprehendidas. Como sucede en otras formas de aprendizaje, ésta se funda sobre las capacidades ya obtenidas; y no se ubica en el vacío, en la ausencia de cada conocimiento ulterior. La condición más importante para impulsar al sujeto a pensar y asegurarse de tener algo en lo cual pensar. El aprendizaje mediante problem solving lleva a nuevas capacidades ulteriores del pensamiento.

Sin abandonar a este autor (pp. 257-58):

Ciertamente una de las mayores razones para aprender reglas es su uso en la resolución de problemas. La actividad de problem solving es de tal suerte una extensión natural del aprendizaje de reglas, en la cual la parte más importante del proceso se desarrolla al interior del sujeto. La resolución puede ser guiada por una cantidad mayor o menor de comunicación verbal, proveniente del exterior, pero las variables más esenciales son internas. Es particularmente importante notar que los componentes que parecen posibilitar el problem solving son las reglas obtenidas precedentemente. El problem solving puede ser concebido como un proceso de descubrimiento por parte del sujeto de una combinación de reglas ya notas que éste puede aplicar para alcanzar la solución de una situación nueva y problemática. Sin embargo, no se trata solo de aplicar las reglas ya sabidas. El proceso también genera un nuevo aprendizaje. El sujeto está bajo o se encuentra en una situación problemática y recuerda las reglas precedentemente aprehendidas en el tentativo de encontrar una “solución”. Durante este proceso del pensamiento, éste probará cierto número de hipótesis verificando su aplicabilidad. Cuando encuentra una combinación particular de reglas que se adaptan a la situación, no solamente ha “resuelto el problema”, sino que también ha obtenido algo nuevo.

“Regla” sin embargo se debe entender en este contexto en sentido más amplio del que puede comúnmente venir a la mente, como veremos difusamente a lo largo del libro. Todavía una citación de la misma fuente (p. 265):

[…] la resolución de un problema jamás surge de la nada, sino que depende siempre de la experiencia precedente del sujeto.

Por lo tanto, la resolución de los problemas (o, como se dice habitualmente, también en los países de idioma español, el problem solving) es una condición óptima para el aprendizaje. Ésta es la tesis que acepto, aunque tendré que entrar en particularidades delicadas para analizarla profundamente, lo que requerirá varias decenas de páginas.

Sin embargo, hay que decir explícitamente que hasta aquí el problem solving se ha descrito de manera genérica (…) Surge espontáneamente la pregunta: ¿Qué caracteriza el problem solving en Matemática? En otros términos: resolver problemas no es una característica de las actividades matemáticas únicamente y nada nos impide pensar esta misma problemática en otros campos. Se pueden proponer dos tipos de actitudes:

1. el “contenido” es el que caracteriza; en esta acepción, “nuestro” problem solving es matemático porque nos ocupamos de problemas (a veces ejercicios) en el campo de la Matemática;

2. la “forma” en la cual el solucionador se propone es la que caracteriza; en esta acepción, paradójicamente, podremos tener problem solving matemático con contenidos no necesariamente matemáticos, o problem solving no matemático, pero con contenidos matemáticos.

La primera posición parece un poco débil, pero la segunda es difícilmente definible.

La posición asumida en el contexto de las investigaciones del Núcleo de Bolonia (y la mía personal) emergerá, lentísimamente, de las páginas de este libro y se trata de una especie de término medio entre las dos. Hay quien se ocupa del problem solving poniendo toda la atención a los procesos de “descubrimiento” y que parece al final más interesado en la actividad de resolución de ejercicios y no de problemas en el verdadero sentido de la palabra. Nos parece que se puede “descubrir” algo también frente a un ejercicio y que las “condiciones alrededor” sean las que determinan si se trata de descubrimiento o de otra cosa. Por otro lado, hay solucionadores de problemas para quienes el contexto es tal que su actividad no comporta de hecho descubrimiento sino mera aplicación.

Es obvio que en este punto se vuelve esencial definir bien el concepto de “problema”; ahora, si es cierto que en el primer capítulo enfrentaré un primer estudio sin profundizar sobre este punto fundamental, a vuelo de pájaro, también es cierto que la problemática no se extingue de hecho en el primer capítulo (el cual, en cambio, de acuerdo con mis intenciones, debe crear más (…) problemas de tipo interpretativo de los que puede resolver).

Como diré más adelante, el libro fue concebido a manera de espiral: qué es un problema es el argumento afrontado en el primer capítulo y NO resuelto allí. En cierto sentido, todo el libro es un intento por responder esta pregunta.

Cuando se habla de problemas, se disparan, entre los profesores de la escuela primaria, discusiones a propósito de:

• automatismos de cálculo (por ejemplo: tablas de multiplicar y similares);

• uso de las máquinas de cálculo (por ejemplo: ábacos, calculadoras, […]) (a favor, contrarios, más o menos, depende, […]);

• uso de otros instrumentos de cálculo más sofisticados (TIC).

A propósito de los automatismos de cálculo, sugiero la siguiente posición que exhibo desde siempre: si a las dificultades de resolución de un problema (de la comprensión textual a la elección de una estrategia resolutiva, como veremos de manera amplia y detallada) se agrega la dificultad de recordar cuánto es 7×8, ¡entonces sí que la actividad matemática se torna pesada! El aparente conservadurismo de quien propone adquirir automatismos de cálculo (acusación muy difundida en los primeros años de la década de los 70) se puede entender, en últimas, como un aligeramiento a favor de actividades más significativas. Luego, en cuanto al “cómo” (las tablas de multiplicar de memoria, o carteleras en las paredes que los niños u otra persona llenan diariamente, o algo más), el “estilo” del profesor y de los niños individualmente, podrían ser decisivos. Regresaré mucho más decididamente, en varias ocasiones, al problema de los automatismos de cálculo.

En cuanto a las máquinas calculadoras, he dicho y escrito mil veces, alborotando a veces avisperos, que el uso de las máquinas calculadoras no necesariamente lleva a la pérdida de la capacidad de hacer cálculos. Se puede incluso fácilmente demostrar que un uso inteligente y creativo de tal instrumento mejora las condiciones de la actividad escolar y facilita los cálculos; y lo demostramos con varias publicaciones (AA. VV., 1977).

A propósito de las calculadoras, en cambio, aquí un fragmento significativo:

Supongamos que debemos calcular: 0,18×75200+36500; digitando en orden las cifras y los signos de las operaciones, y al final la tecla =, una calculadora cualquiera de bajo costo puede dar el resultado correcto. Supongamos en cambio que debemos resolver el siguiente problema: Ángela dice a su papá: «Mido un metro y 32 centímetros»; el papá responde: «Yo soy 41 centímetros más alto que tú». ¿Qué tan alto es el papá de Ángela? Ninguna calculadora, ni siquiera una computadora, es capaz hoy de interpretar y resolver autónomamente un problema como éste, puesto en el teclado ¡tal como está “escrito”! La resolución de problemas matemáticos es tal vez la actividad matemática en la cual se constata con más claridad la brecha enorme de prestaciones que todavía separa el razonamiento humano del razonamiento que podemos “incorporar” en las máquinas. Esta constatación no es poco importante si se piensa en la importancia que tiene la resolución de problemas en la vida de todos los días y en muchas profesiones para comparar dos cotizaciones de seguros, hacer un presupuesto de gastos para unas vacaciones familiares, etc., es necesario individuar y resolver problemas en general bastante más complejos que aquel apenas citado; las calculadoras pueden ser de ayuda en la ejecución de los cálculos, pero las decisiones sobre los datos a tener en cuenta y sobre los cálculos a efectuar ¡no pueden ser delegadas a las máquinas existentes hoy en día! (Boero, 1990, p. 23)

No puedo más que hacer mía la posición de Paolo Boero expuesta aquí de manera muy convincente. Es extremadamente importante leer en el mismo texto también otros párrafos.

Una advertencia de gran importancia para la lectura de este libro. Se retorna una y otra vez sobre la misma cuestión; por lo que no se puede considerar cerrada una problemática en los primeros capítulos del libro, ya que será retomada ciertamente más adelante, de manera más profunda, una vez se pueda hacer uso de otros conocimientos. Lo anterior depende de la naturaleza de la temática evaluada: he imaginado una espiral cilíndrica que, después de cada giro, retorna a los mismos argumentos, enriquecida de experiencia. Tal y como es la característica de mucha didáctica (en forma de espiral) también este libro fue, y lo repito, escrito en espiral. Al leerlo no se puede olvidar, ni por un segundo, esta condición.

Agradecimientos

Doy las gracias a Martha Fandiño por la presencia constante y las críticas constructivas que fueron necesarias durante la escritura de este trabajo tan complejo, que a menudo excedió mis competencias y me obligó entonces a enfrentarme a una persona de plena confianza, del más alto nivel cultural y crítico. Y para ayudar a escribir este libro en español.

Doy las gracias a la traductora de esta obra, Diana Rocío Pérez Blanco.

Doy las gracias a Gianfranco Arrigo por su asistencia técnica en la creación de las imágenes, las figuras y los esquemas que ha creado con experiencia y amistad.

Nota bibliográfica

Indicaciones bibliográficas ulteriores sobre los laboratorios, además de las ya citadas (D’Amore, 1988a, 1988b, 1990-91; Caldelli, D’Amore, 1986; D’Amore, Marazzani, 2011).

Sugiero al lector interesado en la investigación dos lecturas, si es posible, preliminares (Boero, 1986; Boero, Ferrari, 1988). La rica bibliografía allí contenida será de gran ayuda para quien tenga intenciones de entrar a fondo en este campo de estudio.

Sugiero la lectura de (Pellerey, 1991a, 1991b).

Están también los “clásicos” del problem solving, el primero entre todos George Polya que citaré varias veces en este libro y sobre cuyo trabajo equivocadamente interpretado como didáctico discutiré muy críticamente al final del libro; entre todos los autores posibles, sugiero (Aebli, 1961; Lester, Garofalo, 1982; Schoenfeld, 1987a) porque su visión ha influido y no poco sobre las diversas elecciones descritas en este libro, aunque no siempre serán citados de manera explícita.

Recuerdo también el libro (Cofman, 1990).

Sobre la “didáctica a manera de espiral” tengo en mente el famoso modelo de Bruner (1962).

Hoy, en el 2020, frente a la posibilidad de sacar a la luz una nueva edición muy ampliada y muy enriquecida, tendré el deber de revisar algunas posiciones, de tomar en cuenta nuevas contribuciones que señalaré cada vez que lo considere necesario. Por ejemplo, citaré tesis y estudios publicados entre el ya lejano 1993 y el actual 2020. Pero lo haré de manera oportuna y específica a su debido tiempo.

Permanece el firme deseo de presentar esta obra que recoje los estudios sobre este delicado e interesantísimo problema didáctico, pero que no sea solo teórico (para investigadores en Didáctica de la Matemática), sino una fuente de rica estimulación concreta para los profesores de la escuela primaria, sobre todo, en su quehacer cotidiano.

Vale la pena recordar aquí la formidable aventura del Proyecto MaSE, sobre la cual he escrito tantas veces y que, por su magnitud histórica en el ámbito nacional italiano, obtuvo un lugar también en una famosa Enciclopedia, como lo he dicho anteriormente. Para la lista completa de los ejemplares, se puede consultar la bibliografía final (D’Amore, 1986-1993).

En tiempos mucho más recientes, dados los rápidos y fantásticos progresos de la Didáctica de la Matemática, con Martha Isabel Fandiño Pinilla y Silvia Sbaragli hemos concebido un nuevo megaproyecto dirigido a profesores de la escuela primaria, llevado a cabo por la casa editorial Pitagora de Bolonia, Matemática en la escuela primaria, recorridos para aprender (D’Amore, Fandiño Pinilla, Sbaragli, 2011). En la bibliografía se retoma la lista completa de libros de diversos autores.

1 El Proyecto Ma.S.E. constaba de 12 volúmenes y tuvo un éxito fulgurante en los años 90 en Italia, entre los profesores de la escuela primaria; el éxito fue tal, que el proyecto terminó con una amplia voz en la Enciclopedia Pedagógica (2002) dirigida por Mauro Laeng, Brescia: La Scuola Editrice, páginas 1228-1230.

2 Unos años después decidí de graduarme también en filosofía ya que me di cuenta de necesitar bases filosóficas para mi trabajo de investigador en didáctica de la matemática. La idea era de incluir lo que necesita de pedagogía, filosofía y psicología al interior de la didáctica de la matemática, así que esta, al final sea autónoma y completa. Como hoy es.

3 He publicado mucho desde un punto de vista teórico sobre las actividades de laboratorio de matemática, también a propósito de la teoría de las situaciones de Guy Brousseau, por lo tanto al interior de teorías didácticas fundamentales, desde 1986 (como se sustrae de la lista de publicaciones que aparece en www.dm.unibo.it/rsddm).