Читать книгу Erkendelse - David Favrholdt - Страница 7

Abstraktion – en ny form for tænkning. Rationalitetens gennembrud i oldtidens Grækenland finder sted omkring 500 f.Kr., men der er naturligvis tale om en lang proces, og det, vi omtaler som den græske videnskab, er al den tænkning, alle de iagttagelser, teorier og metoder, som udvikledes over en periode på næsten 700 år. Her kan vi iagttage en del trin på vejen fra viden hvordan til viden hvorfor, men som allerede nævnt er der ved det sidste trin fra hvordan til hvorfor så at sige et tankemæssigt spring.

Det begynder, så vidt vi ved, med de såkaldt ioniske naturfilosoffer, der levede omkring 600 til 500 f.Kr. i de græske bystater i Ionien, det nuværende Tyrkiets vestkyst. Her kender vi en smule til tre filosoffer, som man i eftertidens Grækenland nævner som de første store tænkere: Thales, Anaximander og Anaximenes. En af de ting, vi ved om dem, er, at de søgte det generelle, der karakteriserede de enkelte tilfælde. Når jeg formulerer det sådan, kunne det lyde, som om de blot generaliserede fra enkelttilfælde til alle tilfælde af samme art – som når stenaldermennesket generaliserede fra oplevelsen af nogle svampe som giftige, til at alle svampe af samme udseende måtte være det, men sådan forholder det sig ikke. De nævnte ioniske filosoffer abstraherede – en tankeform, der i en vis forstand er en modsætning til generalisering.

Når de f.eks. iagttog forskellige former for trekanter, mente de, at man måtte kunne finde noget fælles for dem, nemlig at det for dem alle måtte gælde, at vinkelsummen er 180 grader. Ligeledes mente de, at det måtte gælde for alle trekanter, der indskrives i en halvcirkel, at de må være retvinklede. Her har vi den første refleksion over geometrien, som nu pludselig ikke længere blot var noget “tankemæssigt værktøj”, som hos ægypterne og babylonerne, men nu blev til et forskningsobjekt i sig selv.

På tilsvarende vis forsøgte de uden om alle religiøse forestillinger at tænke sig til noget alment, hvoraf alt andet eksisterende var opstået. Vi ved ikke med sikkerhed, hvad Thales har ment, da han hævdede, at alt oprindeligt var vand, eller hvad Anaximander mente med, at det oprindelige var det formløse stof, apeiron, eller hvad Anaximenes mente med, at luft var det oprindelige. Der er mange fortolkninger af disse uklare gengivelser af deres tænkning, men uanset fortolkningerne har formålet åbenbart været at fatte det uforanderlige bag det foranderlige, fatte det fælles for alt eksisterende. Det er samme bestræbelse, vi træffer hos de samtidige kinesiske taoister, der mener, at der oprindelig blot var Tao, det som ikke kan benævnes, fordi det er altomfattende og derfor ikke står i modsætning til noget. Som sagt er der her ikke tale om en generalisering, men tværtimod om en abstraktion, en helt ny form for tænkning.

Når stenaldermennesket havde erkendt en svamp som giftig, måtte han nøje indprente sig alle kendemærker, egenskaber ved svampen, størrelse, farven, formen osv. Men når de græske filosoffer søgte efter det fælles ved alle former for trekanter, måtte de ved betragtning af den individuelle trekant se bort fra så mange egenskaber ved den som muligt: sidernes længde, trekantens størrelse, tykkelsen af stregerne osv. Og tilsvarende når det gjaldt for alt eksisterendes fællesnævner.

Talteori. En anden ting, som er en konsekvens af den abstraherende tænkning, er den talteori, som udvikledes i den pythagoræiske skole i byen Kroton i Syditalien. Vi ved ikke noget om Pythagoras – han formodes at have levet omkring 500 f.Kr. – men der var altså en kreds af tænkere, som må have haft ham som deres første “profet”. Pythagoras tillægges som nævnt også beviset for den læresætning, der bærer hans navn. Læresætningen går ud på, at kvadratet på hypotenusen i en retvinklet trekant er lig med summen af katedernes kvadrater. Som nævnt ovenfor må såvel ægyptere som babylonere have kendt denne sætning og brugt den som regneregel, men efter sigende skulle Pythagoras gennem abstrakt tænkning have bevist, at den må gælde for enhver retvinklet trekant.

Vor viden om denne tidlige periode i grækernes tænkning er meget begrænset, men en af pythagoræernes opdagelser er sikker nok, nemlig opdagelsen af de harmoniske talforhold i musikken. Hvis man f.eks. tager en violinstreng – grækerne havde lyre-strengen – og fæstner den udspændt, vil den frembringe en bestemt tone, hvis man knipser på den. Hvis man nu tager det halve af strengen, vil den i udspændt stand afgive en tone, der akkurat er oktaven over den oprindelige. Tager man af den oprindelige streng, får man kvinttonen over den oprindelige tone, og tager man ¾ af den oprindelige streng, får man kvarttonen over den oprindelige grundtone.

Figur 4: Pythagoras

Den pythagoræiske læresætning lyder: I en retvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen (den side, der ligger over for den rette vinkel) lig med summen af kateternes (de to andre siders) kvadrater. F.eks. kan den ene katete være 3 cm lang, den anden 4 cm, og hypotenusen 5 cm, og vi får da 3² + 4² = 5².

Det er en ret så fascinerende opdagelse, for den viser jo, at noget som vi pr. øre og hørelse finder smukt og harmonisk, grunder sig på lydindtryk, der er baseret på nogle elementære matematiske forhold. Opdagelsen medførte en hel del talmystik hos pythagoræerne, som umiddelbart troede, at der lå elementære talforhold bag alle mulige oplevelser. Den medførte også, at musik hele tusind år frem blev regnet for en matematisk disciplin. På de europæiske universiteter, der blev grundlagt fra omkring slutningen af 1100-tallet og fremefter, var noget af arven fra grækerne fag på grunduddannelsen. Her havde man til langt op i 1600-tallet to faggrupper: Trivium, der omfattede logik, dialektik og retorik, og Qvadrivium, der omfattede astronomi, geometri, algebra og musik.

I de fleste filosofihistorier kan man læse, at pythagoræerne også opdagede, at √2 er et irrationelt tal, og at et medlem af deres “skole” på skammeligste vis offentliggjorde dette på torvet i Athen. Det burde han ikke have gjort, var der nogle der mente, for det underminerede pythagoræernes filosofi om, at alt måtte kunne beskrives med hele tal i forhold til hinanden – som tilfældet var ved intervallerne i musik. Det endelige bevis for, at √2 er et irrationalt tal, får vi langt senere i matematikkens historie, men hvad grækerne erkendte var, at diagonalen i et kvadrat ikke kan måles med sidens længde, uanset hvor meget man fin-inddeler siden i måleenheder.

Aksiomatik. Omkring 300 f.Kr. udkom et videnskabshistorisk set epokegørende værk: Euklids Elementer.¹ Vi ved ikke noget om Euklid og ordet “udkom” betyder i denne forbindelse ikke noget med forlag, oplag og boghandel. Grækerne skrev deres afhandlinger i hånden på det fra Ægypten importerede papyrus, og når en forfatter havde skrevet en afhandling, samlede han en flok elever, som så skrev hver sin kopi af afhandlingen efter forfatterens diktat. Kopierne cirkulerede derpå i de græske bystater, hvor der igen opstod en række nye afskrifter, hvis man fandt afhandlingen interessant.

Euklids Elementer er en systematisk opsummering af alt, hvad man vidste om geometri på den tid, og her må man formode, at han selv har leveret et stort bidrag. Hvordan systematisk? Jo, Euklid viser, at man kan opstille et forholdsvis lille antal grundsætninger – aksiomer kalder man sådanne – ud fra hvilke man så kan udlede alle geometriens love og regler ved almindelig logisk slutning, det vi kalder deduktion. Og forud for opstillingen af aksiomerne anfører Euklid en nøje definition af alle grundbegreber, så hele den plangeometri, som er det, der behandles, fremstår som et mesterværk i klarhed. Elementer er inddelt i seks afsnit, som hver indledes med et sæt af aksiomer.

Som eksempel anfører jeg her nogle af definitionerne – der er i alt 23 – og aksiomerne, som indleder det første kapitel:

Definitioner

1. Et punkt er det, som ikke kan deles.

2. En linje er en længde uden bredde.

3. En linjes grænser er punkter.

4. En ret linje er en linje, som ligger lige mellem punkterne på den.

…

11. En stump vinkel er en, som er større end en ret.

12. En spids vinkel er en, som er mindre end en ret.

…

17. En diameter i cirklen er en ret linje, trukket gennem centrum og begrænset til begge sider af cirkelperiferien; den halverer også cirklen.

…

23. Parallelle er de rette linjer, som ligger i samme plan og, når de forlængesubegrænset til begge sider, ikke mødes til nogen af siderne.

Aksiomer

1. Man kan trække en ret linje fra et hvilket som helst punkt til et hvilket som helst punkt.

…

4. Alle rette vinkler er lige store.

5. Når en ret linje skærer to rette linjer, og de indvendige vinkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linjer, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler ligger, der er mindre end to rette.

Af nr. 5 følger, at hvis de to omtalte vinkler er lig med to rette, så mødes linjerne ikke – hvor meget de end forlænges. Dette omtales som Euklids parallelaksiom i den senere diskussion om matematikkens grundlag.

Euklids Elementer udgør, hvad man kalder for et aksiomatiskdeduktivt system, bestående af grundsætninger (aksiomer) og følgesætninger (teoremer). Efter renæssancen blev det for mange et forbillede på, hvordan en videnskabelig teori burde formuleres.

Inden for naturvidenskaberne har det vist sig, at der er grænser for, hvad man kan indordne i aksiomatisk-deduktive systemer, men vi skal lægge mærke til her, at Elementer repræsenterer et andet nyt skridt i den menneskelige tænknings udvikling, nemlig kohærenstænkningen. Det er han ikke ene om. Netop i tiden fra 400 til 300 f.Kr. bliver det almindeligt at søge efter en indre kohærens, sammenhæng, mellem de mange nye opdagelser inden for matematik, geometri og teoretiske overvejelser i forbindelse med viden hvordan. Euklid kombinerer alle de praktiske geometriske lovmæssigheder, som man betjente sig af ved byggeri, ved opmåling af marker og byggegrunde etc., så at man kan se, at de ikke er tilfældige situationsbestemte forskrifter, men derimod indbyrdes afhængige sandheder. Når stenaldermennesket generaliserer fra, at en svamp med bestemte karakteristika er giftig, til at alle svampe, der ligner, også er det, er det naturligvis en slags kohærenstænkning, der spirer her, men denne viden at forudsætter ikke mere end den blotte generalisering. Det samme gælder viden hvordan. Så kohærenstænkning er et nyt skridt på vejen frem mod en videnskabelig erkendelse og verdensforståelse.

Dertil kommer Euklids demonstration af, at den matematiske erkendelse består i en abstrakt, billedløs, uanskuelig tænkning. Vi kan jo ikke forestille os et punkt uden udstrækning eller en linje uden bredde. Men vi kan tænke det. Hvis ikke det var tilfældet, ville geometri være en rent empirisk videnskab.

Indirekte bevisførelse. Hos Euklid finder vi endnu en ny ting i grækernes forskning, nemlig den såkaldte indirekte bevisførelse. Et berømt eksempel er hans bevis for, at der ikke findes et største primtal. Kunne der ikke findes et, som er det sidste og dermed største? Begrundelsen for at stille det spørgsmål forstår vi, når vi ser nærmere på fordelingen af primtal. Hele beviset er så ligetil, at selv læsere med matematik-skræk sagtens kan forstå det. Så se nu her:

Ved primtal forstås positive, hele tal, der kun kan deles restløst med 1 og tallet selv. Eksempler på primtal er 3, 5, 7, 11, 13, 17. Tal som 8, 16, 25 og 27 er ikke primtal. 8 kan opløses i 2 × 2 × 2, 16 kan opløses i 2 × 2 × 2 × 2, 25 kan opløses i 5 × 5 og 27 kan opløses i 3 × 3 × 3.

Ethvert tal, som ikke er et primtal, kan opløses i primfaktorer uden rest (er et multiplum af primtal).

Ser vi på tallene fra 1 til 100 finder vi følgende primtal: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Der er ikke noget system i den måde, primtallene fordeler sig på, og der findes ikke nogen formel, ud fra hvilken man kan producere primtal. Man må “botanisere” sig frem, undersøge tallene ét for ét for at se, om de er primtal eller ej. Men da talrækken er uendelig, bliver man selvsagt aldrig færdig med en sådan undersøgelse.

Det viser sig, at hyppigheden af primtal aftager, jo længere man kommer hen i talrækken. Så det spørgsmål melder sig, om primtallene ophører, når man kommer op på meget store tal, f.eks. tal, der skrives med hundrede tusinde, en million eller en milliard cifre. Er der et største primtal, et sidste i talrækken? Eller vil der vedblivende dukke primtal op, hvor langt vi end tæller frem i talrækken? Kan mennesker overhovedet besvare dette spørgsmål? Ja, det kunne Euklid. Han beviste, at rækken af primtal er uendelig. Der findes ikke noget største primtal. Uanset, hvor store de fundne er, vil man altid kunne finde ét, som er endnu større.

Argumentationen er i første omgang følgende: Hvis man ganger primtallene med hinanden fortløbende og lægger 1 til produktet, får man et nyt primtal. Eksempler: 1 × 2 × 3 = 6. Lægger man 1 til, får man 7, som er et primtal. 1 × 2 × 3 × 5 = 30. Lægger man 1 til, får man 31, som er et primtal. 1 × 2 × 3 × 5 × 7 = 210. Lægger man 1 til, får man 211, som er et primtal. 1 × 2 × 3 × 5 × 7 × 11 = 2310. Lægger man 1 til, får man 2311, som er et primtal. Hvis man opløser et givet tal n i primfaktorer, og der bliver 1 til rest, må n være et primtal. Men bemærk, at vi her har et induktionsproblem: Resultatet bygger alene på erfaring, empiri, og det kan jo ikke udelukkes, at man et eller andet fjernt sted i talrækken støder på et tilfælde, hvor reglen ikke gælder.

Euklids bevis er indirekte. Han antager, at der er et endeligt antal primtal. Derpå viser han, at denne antagelse fører til en uløselig selvmodsigelse, hvorfor den må være forkert – uantagelig. I stedet for at remse rækken af primtal op fra en ende af, skriver vi:

P₁, P₂, P₃, P₄, P₅, …… P_n.

(P₁ står altså for tallet 1, P₂ for tallet 2, P₃ for tallet 3, P₄ for tallet 5, P₅ for tallet 7 osv. op til P_n, som står for det største/ukendte primtal). Euklid antager altså, at der er et bestemt antal primtal, nemlig n. Vi kan nu gange alle primtallene med hinanden:

P₁ × P₂ × P₃ × P₄ × P₅ × …. × P_n.

Vi får så et tal – hvad det nu end bliver. Til dette tal lægger vi nu 1, så at vi får:

(A) P₁ × P₂ × P₃ × P₄ × P₅ × …. × P_n + 1.

Om dette tal må det gælde, at det enten er et primtal eller ikke er et primtal. Vi prøver begge muligheder.

(1) Vi antager, at (A) er et primtal. Men denne antagelse fører os ind i en modsigelse, for vi begyndte jo med at antage, at P_n var det største primtal, og (A) er jo større end P_n.

(2) Vi antager, at (A) ikke er et primtal. Men hvis dette er tilfældet, så skulle (A) jo kunne dannes som et produkt af alle de kendte primtal. Men det kan (A) jo ikke, for opløser man (A) i alle de primtal, som er brugt til at producere (A), bliver der 1 til rest. Så hvis (A) ikke er et primtal, må der være et primtal udover primtallene fra P₁ til P_n, som går op i det. Og så er der et primtal, der er større end P_n. Men også denne konklusion er i modstrid med den antagelse, som vi gik ud fra: At der er et bestemt (endeligt) antal primtal, nemlig n.

Eftersom der ikke findes andre muligheder end (1) og (2), så må den oprindelige antagelse, at der findes et endeligt antal primtal være forkert. Altså er antallet af primtal uendeligt. Uanset, hvor stort det fundne er, vil man altid kunne finde ét, som er endnu større.

Man kommer næppe uden om, at Euklids bevis for, at der ikke findes et største primtal, må ses som et lysende eksempel på det, man lidt romantisk kan kalde for “tankens magt”. Talrækken er uendelig, og går man rent empirisk til værks, ser man, at der bliver længere og længere mellem primtallene, jo længere man når frem i talrækken. Så kunne det ikke tænkes, at hvis man nåede frem til ikke blot tallet en milliard, men langt længere frem til et tal, der har en milliard cifre, og som vi aldrig nogensinde ville kunne tænke os frem til inden for et menneskeliv, om så vi kunne tælle tusind tal i sekundet – kunne det ikke tænkes, at der i alt, hvad der fulgte efter, aldrig ville optræde et primtal, ligegyldig hvor langt man bevægede sig ud i det uendelige? Svaret er nej. Euklid var i stand til at bevise noget om det ukendte, om noget uendeligt, en præstation, der givetvis har inspireret tænkere som Anselm, Thomas Aquinas og Descartes til at forsøge alene ved tænkning at bevise Guds eksistens.

Forskning for forskningens egen skyld. Karakteristisk for den græske filosofi og den gryende naturvidenskab fra år 500 f.Kr. og fremefter var, at de mange tænkere ikke overvejede, om forskningen kunne føre til resultater, der lod sig udnytte teknisk. De var alene koncentreret om at finde ud af, hvordan verden, den givne virkelighed, var beskaffen. Deres spørgsmål var dybtgående og ledte dem ud i problemer, som ingen før havde tænkt over. Ét angik spørgsmålet om, hvordan forandring overhovedet er mulig. Hvordan kan et agern blive til et egetræ? Hvordan går det til, at vi kan smelte is til vand? Hvordan kan et barn blive til et voksent menneske? Hvad er det, der forandrer sig, når dejligt solskinsvejr afløses af skyer, regn og lyn og torden? Er der noget, der er uforanderligt, f.eks. granit? Hvorfor forandrer noget sig hurtigt og andet sig uendelig langsomt?

Heraklit fra Efesos (ca. 550-480 f.Kr.) hævdede, at alt er i stadig forandring, selv i det mindste tænkelige øjeblik. “Man kan ikke bade to gange i den samme flod”, sagde han – for floden er jo i uafbrudt forandring hele tiden. Og – kunne han have tilføjet – det er ethvert menneske, der vil bade i floden, også.

Parmenides fra Elea (født ca. 510 f.Kr.) hævdede det stik modsatte. Forandring finder overhovedet ikke sted. De nærmere begrundelser for dette synspunkt – og også for Heraklits – kender vi ikke, og de overleverede tekststumper og citater kan fortolkes på flere måder. Heraklit synes at have ment, at der ikke findes springvise forandringer, men kun kontinuerte, og af den grund må forandringerne foregå hele tiden. Parmenides synes at have ment, at vi ikke ville kunne navngive noget, medmindre det har en identitet – og at vi nok oplever, at tingene forandrer sig, men at sådanne oplevelser i det hele taget er et stort bedrag: at livet i en vis forstand kan sammenlignes med en drøm – en idé, som han muligvis har fået fra indisk filosofi.

Men karakteristisk for grækerne er, at de ikke stopper op ved disse generaliserende opfattelser, men søger at uddybe dem gennem argumentation for og imod. Leukippos (omkring 500 f.Kr.) og Demokrit (ca. 460-370 f.Kr.) fremsætter en atomteori, der i al sin enkelhed går ud på, at alt er sammensat af bittesmå, uforanderlige, udelelige partikler (atomos = udelelig), som er så små, at de hverken kan ses eller føles, og at al forandring består i, at disse atomer, som har forskellige former, så at sige “ommøbleres”. Det forklarer jo mange ting, f.eks. at is kan smelte til vand, og at man kan lave bronze ved at smelte tin sammen med kobber.

Platon (427-347 f.Kr.) fremsætter en anden løsning, der sandsynligvis er inspireret af debatten mellem Heraklit og Parmenides, men som også bygger på en løbende debat om forholdet mellem geometri og virkelighed. Han skelner mellem en evig, uforanderlig idéverden på den ene side, og sanseverdenen, som er i stadig forandring, på den anden. Idéverdenen rummer alle begreber, men er kun tilgængelig for vores tænkning. Kort fortalt med et eksempel: Der findes heste i sanseverdenen, den verden, vi erkender med vore sanser, og der er ikke to heste, der er ens. De er forskellige i størrelse, behåring osv. og er individuelt eksisterende. Men de falder alle ind under begrebet hest, som vi tankemæssigt kan erkende. Og i og med, at vi kan erkende begrebet (en hest har hove, manke, særlig tandsætning osv.) og tale om det, må det eksistere. Og da det jo ikke kan eksistere i sanseverdenen – man kan jo ikke se et begreb eller flytte et begreb fra et sted til et andet – så må det eksistere i en hinsidig idéverden, som vi tankemæssigt er i kontakt med.

Umiddelbart har Platon jo ret i, at vi kan tænke meget, som hverken kan sanses eller tegnes, f.eks. at to rette linjer, der skærer hinanden, skærer hinanden i et og kun et punkt. Tænk på Euklids definitioner: Et punkt er det, som ikke kan deles, og en linje er en længde uden bredde. Man kan jo hverken tegne et udeleligt punkt eller en linje uden bredde. Men man kan udmærket gøre sådanne begreber til genstand for en tankemæssig behandling. Platon tager fejl, når han mener, at enhver sand sætning må handle om noget eksisterende, og derfor konkluderer, at der f.eks. må være et af ham og os alle uafhængigt eksisterende noget, som svarer til begrebet om et punkt uden udstrækning.

En udløber af striden mellem Heraklit og Parmenides er de berømte paradokser, som blev fremsat af Zenon (ca. 490-430 f.Kr.) – muligvis for at vise, at al forandring er en illusion. Det kendteste er det tænkte kapløb mellem Akilleus – ifølge overleveringen den hurtigste løber i Grækernes land – og en skildpadde.

Figur 5: Akilleus og skildpadden

Da en skildpadde er en langsom løber, giver vi den et vist forspring. Akilleus starter ved A, og samtidig starter skildpadden ved B. Ræsonnementet er nu følgende: Når Akilleus når hen til B, er der forløbet en vis tid, og i dette tidsrum har skildpadden bevæget sig hen til C. Men når Akilleus er nået fra B til C, er der igen forløbet en vis tid, og i dette tidsrum er skildpadden nået fra C til D. Igen tager det tid for Akilleus at nå fra C til D … og sådan kan vi fortsætte ræsonnementet i det uendelige. Konklusionen må være, at Akilleus kommer nærmere og nærmere til skildpadden, men at han aldrig kan komme op på siden af den og altså dermed ikke passere den.

Zenons paradokser blev først løst efter opfindelsen af infinitesimalregningen i 1600-tallet. Løsningen ligger i, at Zenon fejlagtigt antog, at tid og længde kan opdeles i et endeligt antal punkter. I infinitesimalregningen taler man ikke om opdeling i punkter, men om kontinuitet. Det er forkert at sige, at skildpadden til et givet tidspunkt befinder sig i et bestemt punkt, men derimod rigtigt at sige, at den til et givet uendeligt lille tidsinterval bevæger sig igennem et uendeligt lille længdeinterval. Og hermed opløses forudsætningerne for Zenons argumentation.

Udformningen af den formelle logik. Den megen debat og uenighed i græsk filosofi måtte naturligt nok vække til eftertanke, hvad angår menneskets mulighed for at opnå sikker erkendelse. Og hos nogle tænkere er der en tilbøjelighed til at mene, at man ikke kan vide noget med absolut sikkerhed. De kendteste er Gorgias (ca. 490-390 f.Kr.) og Protagoras (født ca. 510 f.Kr.). Sidstnævnte er kendt for to meget ofte citerede sætninger: “Den samme vind kan være kold for én person og varm for en anden” og “Mennesket er alle tings målestok. Det værende for, hvad det er, og det ikke værende for, hvad det ikke er.” Meningen er formentlig, at meget af vor erkendelse er subjektiv og derfor ikke absolut sand. En sådan anskuelse kaldes for relativisme. Den er vanskelig at udforme, uden at man ender i skepticisme: Vi ved intet med sikkerhed om noget som helst.

Aristoteles var en af de store tænkere, og han skrev værker om snart sagt alle emner. Hans skrifter om logik har haft blivende værdi. Aristoteles’ udgangspunkt var her en slags analyse af den menneskelige bevidsthed. Vi har alle – når vi ser ind i os selv – følelser og følelsesholdninger, og de fleste af os har forestillingsbilleder: Jeg kan “se noget for mit indre blik”, når jeg erindrer en eller anden begivenhed. Men vi har også tankeforløb, påstande, argumenter, konklusioner m.m., der i en vis udstrækning kan formuleres sprogligt og skrives ned. Aristoteles rettede nu blikket mod de mest elementære tankefunktioner og fandt, at de måtte bestå i, at man fra to påstande undertiden kunne udlede en tredje, der, hvad enten de to påstande var sande eller falske, måtte være lige så holdbar som dem.

I den aristoteliske logik, som efter universiteternes grundlæggelse i Vesteuropa i slutningen af 1100-tallet blev grundlaget for al debat, skelner man mellem (1) kategoriske domme, der udtrykker, at noget fastslås som tilfældet, (2) hypotetiske domme, der indledes med et “hvis” (“Hvis det regner, bliver gaden våd”) og (3) disjunktive domme (“Enten regner det, eller også skinner solen”).

Aristoteles undersøgte derpå de kategoriske syllogismer, dvs. slutninger fra to kategoriske domme eller udsagn til eventuelle konklusioner. Der findes i alt fire typer, som der her gives nogle eksempler på:

a-domme, som udsiger, at Alle A er B.

f.eks. “Alle mennesker er dødelige”, “Alle flagermus er pattedyr”, “Alle fugle har vinger”.

i-domme, som udsiger, at Nogle A er B.

f.eks. “Nogle sygdomme er smitsomme”, “Nogle danskere taler engelsk”, “Nogle mennesker bliver 100 år gamle”.

e-domme, som udsiger, at Alle A er ikke B.

f.eks. “Ingen heste er drøvtyggere”, “Ingen køer kan flyve”, “Ingen kvadrater er sekskantede”.

o-domme, som udsiger, at Nogle A er ikke B.

“Nogle sygdomme er ikke smitsomme”, “Nogle danskere taler ikke engelsk”, “Nogle mennesker bliver ikke 100 år gamle”.

Betegnelserne for de fire typer domme stammer fra de to første vokaler i de to latinske ord affirmo (“jeg bekræfter”) og nego (“jeg benægter”). Alle sådanne domme kaldes subjekt-prædikat-domme, fordi der i dem er et prædikat – f.eks. “smitsom” – der udsiges om et subjekt, også kaldet det logiske subjekt f.eks. “sygdom”.

Hvis vi nu betragter en slutning fra to præmisser til en konklusion som f.eks.:

1 Alle mennesker er dødelige.

2 Alle danskere er mennesker.

Konklusion: Alle danskere er dødelige.

Så ser vi, at der indgår tre begreber: “menneske”, “dødelig” og “dansker”. Vi kalder “menneske” for subjekt, og “dødelig” for prædikat i 1. præmis, og “danske” for subjekt og “mennesker” for prædikat i 2. præmis. For at man kan nå fra præmisserne til en konklusion, skal der være et begreb (“menneske”), som er fælles for dem. Dette begreb kalder man mellembegrebet. Aristoteles satte system i de mulige kategoriske syllogismer og nåede frem til, at kun 19 af disse kunne være gyldige slutninger. Eksempel på en ugyldig slutning kunne være:

1 Ingen danskere taler japansk.

2 Ingen nordmænd er danskere.

Konklusion: Alle nordmænd taler japansk.

Aristoteles opstillede ud fra sine undersøgelser slutningsregler for de kategoriske syllogismer, hvoraf jeg her blot nævner nogle:

1 Enhver syllogisme skal indeholde tre og kun tre begreber.

2 Enhver syllogisme skal indeholde tre og kun tre domme.

3 Begreberne må ikke være tvetydige.

4 Der kan ikke drages nogen konklusion ud fra to benægtende præmisser (altså e- og o-domme).

5 Der kan ikke drages nogen konklusion ud fra to delvise præmisser (altså to i-domme).

Det vigtige her er ikke at gøre rede for hele den aristoteliske logik – det ville fylde mange sider – men at gøre opmærksom på, at man allerede i den græske filosofi er ude efter, hvad der må stå fast, hvad der er sikker erkendelse. Aristoteles var imod relativisme og skepticisme og Protagoras’ fejlagtige argumentation. Aristoteles byggede ikke alene på sin egen intuition, men på, at enhver ved nærmere eftertanke kan se, hvad der er en korrekt slutning.

Figur 6: Hvor stor er jorden?

Allerede ca. 200 år f.Kr. målte grækeren Eratosthenes jordens størrelse. Han havde observeret, at der i en brønd i Syene (ved det nuværende Assuan) om middagen ved sommersolhverv ikke kastedes skygge i brønden. Det følgende år, på samme dato og tid, satte Eratosthenes en pind i jorden i Alexandria og målte skyggelængden og dermed skyggevinklen. Han antog, at afstanden fra jorden til solen var så stor, at solens stråler kunne anses for at være parallelle. Det betyder, at den skrå skyggelinje i Alexandria må være parallel med det sollys, som går lodret ned i brønde i Syene. Da han nu tillige vidste, at jorden er rund, og at Alexandria og Syene ligger på nogenlunde samme længdegrad, kunne han slutte, at vinklerne a og b (se figuren) er lige store. Han målte vinkel a til at være 7 grad, dvs. af en cirkel. Dvs. at vinkel b spænder over af jordens omkreds. Da afstanden imellem Alexandria og Syene var målt op til ca. 5000 stadier (= 787,5 km), behøvede han blot at gange den med 50 for at få tallet for jordens omkreds (= 39,370), hvilket næsten er det tal, vi kender i dag.

Figur 7a og b: Afstand til sol og måne

Aristarch fra Samos (310-230 f.Kr.) målte afstandene fra jorden til månen og solen.

Hvis man sigter mod månen fra to steder på jorden, får man to vinkler, a og b, og kender man afstanden mellem de to steder, kan man beregne de øvrige sider og højden i trekanten.

Hvis man antager, at månen får sit lys fra solen, så må sigtelinjen fra jorden danne en vinkel på 90 grader i forhold til lyset fra solen. Kender man afstanden til månen og sigtevinklen til solen, kan man beregne afstanden til solen.

Grækernes måleudstyr var primitivt, så de nåede ikke frem til de korrekte tal. Bedste bud på afstanden til månen var 375.000 kilometer og til solen ca. 83 millioner kilometer. Men de kunne fastslå, at dimensionerne i solsystemet var langt større, end man hidtil havde troet. I øvrigt mente Aristarch, at jorden bevægede sig om solen – hele 1900 år før man beviste, at han havde ret.

Jorden er rund. Grækerne var nærmest besatte af en altomfattende nysgerrighed, en erkendetrang uden noget højere formål. Pythagoras havde fremsat den formodning, at jorden er rund, og Aristoteles mente at kunne bevise denne teori. Han fremførte tre argumenter. For det første er det jo klart for enhver, der ser et skib forsvinde i horisonten, at jordens overflade krummer. For man ser jo skibet forsvinde under horisonten, men det sidste, man ser, er masten, der rager op. Hvis jorden var flad, ville man jo bare se skibet blive til en lille prik i det fjerne, jo længere det bevægede sig væk.

For det andet havde Aristoteles hørt, at når man sejlede sydpå ad Nilen, dukkede nogle helt ny stjernebilleder op, stjerner, som man ikke kunne iagttage i Grækenland. Hvis jorden var flad, ville man jo kunne se alle stjerner på himlen, der hvælvede sig over den. De opdukkende stjerner, som man kunne se på rejsen sydpå, talte for, at jorden var rund, for så havde man en rimelig forklaring på fænomenet.

Et tredje argument for at jorden er rund, fandt Aristoteles i måneformørkelserne. Måneformørkelser forekommer jo kun, når månen står i opposition til solen – hvis solen f.eks. står i vest, skal månen befinde sig i øst – ellers forekommer der ikke nogen formørkelse. Det kunne jo tyde på, mente Aristoteles, at det, vi ser ved måneformørkelser, er jordens skygge, der kastes på månen, og eftersom skyggen altid er rund, må jorden være rund. De fleste lærde grækere bøjede sig for Aristoteles’ argumentation. En af dem, Eratosthenes (ca. 275-194 f.Kr.), fandt ud af, at man endda kunne måle, hvor stor jordkloden er.

Som det fremgår af figur 7, målte grækerne også afstanden fra jorden til såvel månen som solen. Unøjagtigheden i målingerne var naturligvis store. Den bedste bestemmelse af afstanden til solen stod Poseidonius (ca. 135-50 f.Kr.) for. Hans resultat var omkring 83 millioner kilometer – et godt stykke fra sandheden, 150 millioner kilometer, men alligevel i en størrelsesorden, som gav grækerne et helt andet indtryk af universets størrelse, end de tidligere kulturer havde haft. Afstanden til månen havde grækerne nemmere ved at beregne, og man fandt værdier, der ligger tæt på de nøjagtige bestemmelser, vi har i dag.

På vej til viden hvorfor. Målingerne af jordens størrelse og afstandene til månen og solen betegner et vigtigt trin i videnskabens og erkendelsens udvikling: “kortlægning” af en række faktiske forhold ved hjælp af matematiske metoder. Aristoteles’ forklaring på måneformørkelserne var tænkt som et argument for, at jorden er rund, men var også en kortlægning og desuden en forklaring på et fænomen, måneformørkelse, ud fra andre forhold. Ser man nøjere efter i den mangeartede græske tænkning, er der mange forsøg på at tænke “bag om” fænomenerne og finde en logisk tilfredsstillende forklaring på dem.

Det var jo tilfældet, da Leukippos og Demokrit forsøgte sig med en atomteori til forklaring af, hvordan forandring overhovedet kunne forekomme. Som vi senere – under omtalen af astronomien i renæssancen – skal se det, udviklede grækerne forskellige geometriske modeller til forklaring af planeternes bevægelser i forhold til jorden. Og vender vi os til noget helt andet, nemlig sygdom, ser vi også her hos Hippokrates (ca. 460-375 f.Kr.), ham som ofte omtales som lægevidenskabens grundlægger, et forsøg på at finde en rationel forklaring på epilepsi frem for den på hans tid gængse: at sygdommen skyldtes guddommelige, dæmoniske kræfter. Han skriver bl.a.:

Efter min mening er den såkaldt hellige syge ikke mere guddommelig end nogen anden sygdom. Den har ligesom alle andre sygdomme en naturlig årsag. Folk kalder den guddommelig, simpelthen fordi de ikke forstår den. Men hvis man skal kalde alt, som man ikke forstår, for guddommeligt, så er der ingen ende på de guddommelige ting … I naturen har alle ting det til fælles, at de kan føres tilbage til forudgående årsager.

I sin fysik forsøgte Aristoteles at gå bagom fænomenerne og finde frem til nogle principper, der kunne give den endelige forklaring på alle bevægelsesfænomener. Han stiller sig selv det enkle spørgsmål, om hvorfor en sten falder nedad. Hans forklaring lyder omtrentligt således: Jorden er rund, og jorden er universets midtpunkt. Alt andet – sol, måne, planeter og fiksstjernerne – kredser om jorden. Men egentlig er det jo jordklodens midtpunkt, der er hele universets midte. Og alt tungt – sten, jord og vand – søger ind mod dette midtpunkt. Han har naturligvis noteret sig, at en faldende sten bevæger sig i en lige linje i sit fald, og at denne lige linje peger direkte imod jordklodens centrum. Men hvorfor? Ja, fordi den søger “sit naturlige sted”, lyder Aristoteles’ svar. Jordens midte er dens mål, på græsk dens telos. Vi kalder derfor Aristoteles’ “forklaring” på stenens fald for en teleologisk forklaring.

Aristoteles tænkte, at alle naturfænomener inklusive dyrs adfærd måtte kunne underlægges en teleologi. Hver ting, hver plante, hvert dyrs adfærd havde sit formål, og på denne måde mente han at kunne skabe en enhed i naturforståelsen eller verdensopfattelsen. Som vi skal se efterfølgende, holdt Aristoteles’ forklaring ikke. Men forklaring eller ej – Aristoteles havde stillet et spørgsmål, rejst et problem: Hvorfor falder en sten nedad? Og sådan blev der spurgt om alting: Hvorfor søger ilden opad? Hvad får solen til at bevæge sig? Ja, det var der jo allerede nogen, der spurgte om i bronzealderen, hvor Solvognen fra Trundholm lader os formode, at man mente, at den blev trukket af en hest. Forklaringer af denne art betragtede grækerne som mytologiske. De søgte efter rationelle forklaringer, som det var forbeholdt en eftertid at levere svarene på. Men de stillede spørgsmålene – og med de rette spørgsmål begynder al videnskab.

Første statusopgørelse. Jeg har ikke her givet en oversigt over græsk naturvidenskab. Der er tale om nogle udpluk, hvor meget andet kunne anføres, for at vise, hvad der kom til at udgøre nogle af forudsætningerne for den naturvidenskabelige erkendelse, som udviklede sig i Europa fra ca. år 1500 og fremefter. Lad mig for overskuelighedens skyld kort resumere, hvilke elementer det var, der betingede og medførte rationalitetens gennembrud i oldtidens Grækenland. Vi standser lige op et øjeblik og ser på den tankemæssige udvikling fra stenaldermennesket for 10.000 år siden til den oplyste græker omkring Kristi fødsel.

Stenaldermennesket udforskede sine omgivelser med det ene formål at overleve. Det har besiddet en omfattende viden at, har struktureret sine omgivelser, har kunnet forudse og planlægge, har kunnet generalisere og kategorisere på mange områder, har kunnet erkende årsagssammenhæng, har kunnet tilvirke redskaber og har dermed også haft en vis viden hvordan. På et sent tidspunkt har det udviklet religiøse forestillinger – sandsynligvis baseret på analogislutninger.

Ved dannelsen af bysamfund og udvikling af landbrug og derpå følgende handel mellem forskellige samfund og stammer har mennesket udviklet et skriftsprog og en elementær matematik, som naturligvis også i sin oprindelse er en del af det daglige sprog.

De næste trin frem mod en fornuftsbegrundet erkendelse finder vi i oldtidens Grækenland. Her udgør udviklingen af skriftsproget med et færdigsyet alfabet og udforskningen af logikken og matematikken med deraf følgende udvikling af bevisførelse og aksiomatik de nødvendige forudsætninger for den senere naturerkendelse. En tredje nødvendig forudsætning er sekulariseringen i de græske bystater, der betyder, at man gør op med dogmatisk tænkning og kombinerer holdningsneutral naturiagttagelse med rationel bevisførelse, som vi f.eks. ser det i Aristoteles’ argumenter for, at jorden er rund. Her ser vi en begyndende kohærenstænkning, som i matematikken udmøntes i abstrakt tænkning, dvs. en tænkning, hvor der drages slutninger og gennemføres beviser, som ikke kan repræsenteres ved forestillingsbilleder af nogen art. Et punkt er det “noget”, som ikke har nogen udstrækning, en linje har ikke nogen bredde – her er der ikke tale om billedlig tænkning. Man indser, at de “billeder”, som folk ser for sig i forbindelse med slutninger og bevisførelser i logik og matematik, er subjektive foreteelser, hvorimod den rene fornuft, den abstrakte tænkning, er det fælles i den menneskelige kommunikation og erkendelse.

Hos grækerne møder vi for første gang i historien en fri forskning og fri udforskning i den forstand, at formålet ikke er at udvikle nye tekniske redskaber eller underbygge en given religiøs dogmatik, men alene at finde ud af, hvordan virkeligheden er beskaffen – med nysgerrighed og erkendeglæde som den eneste drivkraft. Alt dette er trin i udviklingen men kun en del af historien. Det skulle vise sig, at flere tankeformer og argumentationsmønstre måtte udvikles, før man kunne etablere, hvad vi i dag forstår ved rationel erkendelse. Det skete først i den europæiske renæssance, som vi straks kommer til. For som bekendt går hele den græske kultur under for en tid – en lang tid.

1 Dansk udgave: Euklids Elementer, I-IV. Oversat af Thyra Eibe. Gyldendal, København 1959.