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Cantor

La esencia de las matemáticas está en su libertad.

Georg Cantor

Es convencional pensar que en las matemáticas no hay lugar para discusiones sobre los puntos de vista porque la nitidez de sus teoremas no deja lugar a interpretaciones. Salvo que se discuta sobre el infinito y que uno de los contrincantes tenga una personalidad brillante, intensa y paranoide con tendencias depresivas que le permita conocer la gloria y padecer el tormento.

Georg Cantor nació a mediados del siglo xix, en San Petersburgo, Rusia, en el seno de una familia acomodada. A sus once años se trasladaron a Alemania, donde Georg habría de graduarse de matemático; con apenas treinta y cuatro años ya era profesor titular de la Universidad de Halle. Comenzó entonces a indagar sobre el concepto de infinito, una noción que tradicionalmente pertenecía al ámbito de la teología, como metáfora de lo ilimitado. Sus resultados lo convirtieron en blanco de los ataques de Leopold Kronecker, su antiguo profesor.

Kronecker afirmaba que las matemáticas debían partir de los números naturales, que el infinito era un anatema y que su uso era inadmisible. Kronecker dominaba en el ámbito académico y era poderoso. Cantor era paranoico. Para Kronecker, Cantor era un revolucionario peligroso y una mala influencia para los estudiantes. Para Cantor, Kronecker era un reaccionario peligroso para el crecimiento y la libertad de las matemáticas. Cantor empezó así a imaginar conspiraciones e intrigas para alejarlo de los cenáculos académicos prestigiosos.

Mientras tanto, Cantor dio con la definición adecuada de un conjunto infinito, y creó una noción, la cardinalidad, que expresa el tamaño del infinito de cada conjunto. La cardinalidad de los naturales, 1, 2, 3…, se llama aleph cero y es el menor de los infinitos.

El conjunto de los números naturales, 1, 2, 3…, puede ponerse en correspondencia con los pares; por tanto, el número de pares (o de impares) es igual al de naturales. Luego Cantor demostró que, si se incluye a las fracciones, el conjunto resultante también es numerable: es un infinito del mismo tamaño que el de los naturales.

Demostró con un ingenioso argumento que, si se incluyen los irracionales, es imposible contarlos, y, por tanto, la recta real representa un infinito mayor que el de los naturales. Pero el infinito nos depararía más sorpresas: Cantor logró probar que los puntos de un segmento y los de un plano tienen la misma cardinalidad, son un infinito del mismo tamaño. Un asombrado Cantor le escribió a Hilbert: «Lo veo y no lo puedo creer».

En 1884 experimentó un profundo desequilibrio mental que lo alejó fugazmente de las matemáticas. Entonces se dedicaba a explorar las consecuencias filosóficas y teológicas de sus descubrimientos acerca del infinito o discurría sobre literatura inglesa. Sostenía que Francis Bacon era el verdadero autor de las obras de teatro de William Shakespeare.

¿Existe un infinito entre los infinitos de los naturales y el de los reales? Cantor conjeturaba que no. Formalizó la teoría de conjuntos para intentar demostrar su conjetura, pero no pudo, y quedó como una hipótesis, la famosa hipótesis del continuo.

Nuestro personaje consiguió entonces un procedimiento para generar conjuntos de una cardinalidad cada vez mayor, en una jerarquía ascendente. Y no hay límite a esta inconcebible infinidad de infinitos. Cada uno de ellos haría que Kronecker se revolviera en su tumba infinitas veces.

La muerte de su madre, de su hermano y de su hijo menor en un corto lapso sumieron a Cantor en nuevas crisis mentales. A partir de 1899 fue recluido intermitentemente en hospitales psiquiátricos. Conoció el tormento y no disfrutó plenamente de la gloria de los premios, las medallas y los títulos honoríficos que le fueron concedidos.

El 6 de enero de 1918, en las difíciles circunstancias de la Primera Guerra Mundial y las peores condiciones del psiquiátrico, el corazón de Cantor se negó a seguir funcionando.

Hilbert exclamaría: «Nadie nos podrá expulsar del paraíso que para nosotros ha creado Cantor». Y nadie pudo. Buena parte de las matemáticas actuales son la herencia de Cantor, el hombre que domesticó el infinito.