Читать книгу Путешествие в квантовую механику - Игорь Мерзляков - Страница 3

В данной главе будут рассмотрены два варианта вывода тождеств на примере уравнения Шредингера и эмпирического подхода к фундаментальным уравнениям физических процессов. Справедливость зависимостей эмпирических процессов изначально можно поставить под сомнение, но результаты измерений искомых величин говорят об обратном, то есть о справедливости применения практического подхода. Вид уравнений, которые я называю эмпирическими, это законы, вывод которых получен экспериментальным путём.

Начну эту книгу с вывода уравнения Шредингера. Обычно такой подход к уравнению указывает на интуитивность его вывода, однако, покажем ниже, что эта интуитивность вполне логична.

2.1 Волны Де Бройля

В 1924 г французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер (электрон может одновременно являться и волной и частицей). Согласно гипотезе де Бройля, каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причем соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы, остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения. Напомним, что энергия E и импульс частицы p связаны с круговой частотой ν, длиной волны λ и приведённой постоянной Планка ħ соотношениями:

Первое, что следует сделать для вывода уравнения Шредингера, это записать закон сохранения энергии для волны де Бройля. Полная энергия E представляет собой сумму кинетической энергии E_k и потенциальной энергии U (x,y,z):

где M – масса частицы. T – период волны Де Бройля.

Длину волны Де Бройля можно выразить через скорость V:

Непосредственный вывод уравнения Шредингера следует производить в четырёхмерном пространстве координат-време-ни. Для этого рассмотрим бесконечно маленький объём в таком пространстве. Для закона сохранения энергии на комплексной плоскости волны Де Бройля справедливо:

Выполним следующие преобразования, где t – время, а x – координата:

Вывод, который можно подчеркнуть из этих преобразований, гласит: для справедливости уравнения Шредингера необходимо вводить новую функцию под знак производной, так как в процессе преобразований получился оператор, который характеризует закон изменения энергии в исследуемых волнах Де Бройля. Такой функцией принято обозначать волновую функцию ψ. Тогда:

Полученное уравнение носит своё название в честь учёного, который обобщил волны Де Бройля, получив выражение, которое как мы убедимся ниже, сыграло огромную роль в развитии теоретических и практических результатов. Этим учёным был Эрвин Рудольф Йозеф Александр Шредингер.

2.2 Эмпирический метод получения законов физики

В школьной программе принято брать на веру фундаментальные законы физики, например, закон Кулона или закон Ньютона для гравитационной силы. В этом разделе повествование пойдёт о получении подобных законов, так как их целесообразно применять в любой сфере научного знания.

Определим понятие «зависимости» физических величин, свойства которых определяются изменениями прочих независимых переменных. Согласно формулировке о зависимости силы от функции f_i (x_i) переменной x_i, заданные функции перемножаются между собой, если они независимы. Так силу можно определить из общего выражения:

Выберем в качестве примера закон Кулона.

f₁ (x₁) – произведение зарядов q₁q₂.

f₂ – коэффициент пропорциональности k.

f₃ (x₃) – квадрат расстояния между частицами f₃ (x₃) =|r₁-r₂|². r_i – радиус-вектор построенный в точку с зарядом q_i.

Нам известно из эксперимента, что сила Кулона прямо пропорциональна f₁ (x₁) и f₂, но обратно пропорциональна f₃ (x₃).

Запишем закон Кулона в той форме, в которой он был получен:

Если величины f_i (x_i) зависимы друг от друга, такое также нередко бывает, тогда прибегают к сложению зависимых функций вдоль координаты x_i, от которой определяется зависимость.

Функции f_i (x_i) могут носить более сложный математический характер, нежели «степенная» функция. Часто эмпирическим методом невозможно вывести тот или иной закон. Тогда исследователи прибегают к составлению дифференциальных уравнений, например, в частных производных. Решение последних затруднено невысокой производительностью современных компьютеров, и тогда для таких целей используют суперкомпьютеры.

Пришло время ознакомить читателя с третьим разделом этой книги, чтобы иметь представление о технических трудностях определения начальных условий в стационарном и нестационарном уравнениях Шредингера. Конечно, мной не ставится цель объяснить сразу суть уравнения, но в последующих главах мы разберём и это. Здесь продемонстрирован метод квазианалитического решения произвольно заданных дифференциальных уравнений в частных производных.