Читать книгу Путешествие в квантовую механику - Игорь Мерзляков - Страница 5

В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения, не поддающиеся единственному аналитическому решению. В поиске общего аналитического решения дифференциального уравнения разбирается уравнение Шредингера в декартовой системе координат, хотя метод и является вариационным, но он вполне бы себе мог подойти для исследования других обыкновенных и в частных производных уравнений.

4.1 Уравнение Шрёдингера

Во второй главе было выведено уравнение Шредингера. Обобщим его, записав в следующей форме:

Волновая функция ψ выражена семейством функций. Под Δ обозначают ∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²…, под ∂_t обозначают ∂/∂t, под a=ħ²/ (2M). В дальнейшем в этой главе мы откажемся от многомерного случая и будем рассматривать только одномерный случай:

4.2 Пример решения

Выполним замены в уравнении Шредингера на следующие справедливые тождества (решение для волновой функции A и разложенные в ряд Фурье значения B,C):

F (x) – произвольная дифференцируемая функция F (x) ≠0, если F (x) =0 точка x имеет бесконечное множество решений для ψ в уравнении Шредингера

следовательно, F (x) либо строго положительная, либо строго отрицательная функция, если F (x) ∈R. Если F (x) =const, тогда m – нечётное, в остальных случаях m∈N.

Подставим тождества в одномерное уравнение Шредингера, преобразовав его к виду:

Выражение (4*) имеет общий член exp (iπmx/R) exp (iπnx/R). Необходимо его сократить, оставив в результате лишь коэффициенты тригонометрического ряда:

Применим метод разделения переменных относительно ψ (t,n,m). Решив данную задачу, мы получим:

Коэффициент C₀ определяется исходя из соотношений для вероятности

Область определения волновой функции ограничивается на практике отрезком (-R,R), в некоторых теоретических случаях R=∞, тогда:

Возможность заменить ∞ на константу R появляется в случае, когда значение C₀ не принципиально, как мы убедимся в конце этой главы, коэффициент C₀ не будет влиять на выводы, сделанные при анализе решения уравнения Шредингера для полной энергии E.

Таким образом, имея вначале наиболее общее решение для ψ, мы получили набор частных решений волновой функции.

Энергия E электрона для выбранных квантовых чисел из стационарного одномерного уравнения Шредингера:

Для трёхмерного случая полная энергия составит:

В заключение отметим, что выражение E не имеет хотя бы какой-нибудь пользы для точного его определения, так как в выражении для энергии E присутствует произвольная величина F (x) для одномерного и F (x,y,z) для трёхмерного случаев. Исходя из неизвестного E (U (x)), точное определение F (x) невозможно.

Поиск единственного значения сильного решения в рамках данного аналитического метода для уравнения Шредингера не имеет смысла, кроме случая U (x) =const, который был рассмотрен в главе 3.

Несмотря на все недостатки метода, отметим и его преимущества. Внимательно проанализируем выражение (4**). При выборе произвольной F (x) можно утверждать, что мы не получим значения истинной полной энергии системы. Однако можно констатировать, что при изменении функции потенциальной энергии U (x) при фиксированном F (x) получается относительное значение полной энергии E, с помощью которого можно сделать вывод: уменьшилась или увеличилась истинное значение полной энергии. Результаты расчёта показывают, что точное решение для волновой функции не сохраняет своё значение в координатах с точками, зависимыми от F (x).

Примером физически наблюдаемого проявления волновой природы квантовых систем являются интерференционные пики электронного пучка в эксперименте с двумя щелями. Картина эксперимента очень похожа на полученную дифракцией классических волн.

F (x) может быть постоянной величиной от времени для волновой функции стационарного уравнения Шредингера. Для эволюции волновой функции ψ (n,m,t) во времени t требование постоянства во времени F (x) вполне справедливо для выбранной суперпозиции исследуемого квантового процесса. С вопросами суперпозиции мы ознакомимся ниже.