Читать книгу Путешествие в квантовую механику - Игорь Мерзляков - Страница 4

В главе будет рассмотрен квазианалитический подход для решения дифференциальных уравнений в частных производных, который содержит в себе аналитическое описание результата искомой функции и численный метод эволюции её во времени. Подобные численные методы уже существуют, но они чаще всего не являются по своей природе аналитическими, поэтому мне хочется обобщить предыдущие знания с помощью нового подхода.

3.1 Интерполяция рядами Фурье

Рассмотрим тригонометрический ряд Фурье в одномерном случае. Преобразуем его в качестве набора линейных функций, отображаемых на участке (kΔx, (k+1) Δx) вдоль оси x на отрезке (0,R), где Δx – шаг между линейными комбинациями F_k, k – это номер вычислительной операции, k∈N, а R – координата граничного условия:

Тригонометрический ряд для произвольной дифференцируемой кусочно-линейной функции F (x,y) на отрезках (kΔ x, (k+1) Δx) для x и (jΔy, (j+1) Δy) для y:

Для трёхмерного случая x∈ (0,R_x), y∈ (0,R_y), z∈ (0,R_z), где: R_x, R_y, R_z – координаты граничных условий:

Так для функций F (x,y,z), F (x,y), F (x) из выбранных систем координат на отрезках (hΔx_g, (h+1) Δx_g), где g – индекс координаты, а h – номер итерации, выстраивается произвольная кривая или поле дифференцируемых произвольных функций.

3.2 Квазианалитическое решение дифференциальных уравнений в частных производных

Пусть Q∈C, что является решением произвольного дифференциального уравнения в частных производных. Обозначим функции a, b, как вещественную и мнимую часть тождества Q=a+ib соответственно. Для примера квазианалитического метода выберем дифференциальное уравнение, численный метод которого состоит в применении метода Эйлера. Заметим, это не единственный применяемый способ решения, но в рамках данной книги остановимся на нём, как на простом и более наглядном. Общий вид дифференциального уравнения в частных производных выглядит:

ReD и ImD – вещественная и комплексная часть функции D.

Выразим через ряд Фурье решение Q:

Частные производные порядка s по координате x_i в D:

Здесь n_i и R_i – коэффициенты при координате x_i.

В случае расходимости ряда (3.2) применяется следующее преобразование:

Поле для каждой точки ∂^sQ/∂x^s строится согласно уравнению (3.3). Затем выполним пересчёт для D (если D нелинейно) таким образом, что каждой выбранной точке на D ставится в соответствие отрезок (hΔx_g, (h+1) Δx_g), как было предложено в разделе «Интерполяция рядами Фурье»:

Рассмотрим частную производную решения по времени:

Вместо Q₀ подставляется Q из тождества (3.1).

a₁ и b₁ указывают на новую итерацию по времени Δt для решения дифференциального уравнения Q. Тогда:

В этом тождестве имеется общий член exp (iπnx/R_x+iπmy/R_y+iπlz/R_z) / (R_xR_yR_z), справедливо, что его можно упустить, следовательно:

Тогда для вещественной части:

для мнимой части уравнения:

В следующей итерации по времени в качестве решения Q подставляется тождество Q₁:

Производится переход к уравнению (3.1), пока не будет достигнуто условие VΔt> T, здесь T – время от начальных условий до конечного искомого результата, V – количество итераций во времени, Δt – величина шага по времени.

3.3 Частный случай решения

В предыдущем подразделе был разобран более общий случай решения дифференциального уравнения на комплексной плоскости. Условимся рассматривать линейные дифференциальные уравнения для частного случая решения. Когда заданы граничные условия Q (0,t) =0 и Q (R,t) =0 в одномерной системе координат, тогда в вычислениях для частного случая применяется подход вещественных значений Q∈R, тогда выражение (3*) примет вид:

Тождество (3.1) преобразуется к виду:

Для операции дифференцирования выражение (3.3) выглядит:

для всех s – чётных. p – индекс координаты.

Выражение для функции D преобразуется:

Решение для новой итерации (3.5) преобразуется к виду:

Как видно из выражения (3.6), коэффициенты ряда Фурье следующей итерации легко выражаются через коэффициенты ряда Фурье предыдущей итерации в случае чётного коэффициента s.

Уравнение Шредингера с постоянной потенциальной энергией является линейным, с чётным коэффициентом дифференцирования s, следовательно уравнение может иметь подобное квазианалитическое решение. Более того, если заменить решение на Q=ψ (t) ψ (x) ψ (y) ψ (z), тогда уравнение Шредингера разрешимо относительно ψ (t). Следовательно, для постоянной потенциальной энергии U:

Аналитическое решение для волновой функции:

Коэффициент C₀ определяется из тождества ограниченности вероятности

под обозначением ψ^* понимается комплексно-сопряжённая волновая функция. Плотностью вероятности появления частицы в точке с координатами (x,y,z) называют соотношение ψψ^*.

Следовательно:

n,m,l – значения, соответствующие квантовым числам расположения электрона на энергетических уровнях.

Постоянство потенциальной энергии не такое редкое явление в расчётах. Например, по закону Кулона для энергий рассчитывают строение молекулярных структур. Структура стабильна при локально минимальной сумме энергий Σ_iΣ_{j, j≠i}U_ij всех кулоновских взаимодействий, описываемых тождеством:

Волновая функция ψ – комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Сама волновая функция физического смысла не имеет, но физический смысл приписывается плотности вероятности.

Приведённый в главе ниже подход к некоторым дифференциальным уравнениям с помощью метода общего аналитического решения уравнения Шредингера для произвольной функции потенциальной энергии U (x,y,z) не так бесполезен, как может показаться на первый взгляд. Метод следующей главы способен описать большинство явлений квантовой механики и дать объяснение редукции Фон Неймана (коллапса волновой функции).