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Números racionales
ОглавлениеLectura introductoria a los Números racionales. Historia de los camellos
Un viejo pastor que sabía que se moría, tenía como fortuna 17 camellos que había alquilado a los conductores de caravanas. Vivía con sus tres hijos Hussein, Hassan y Hassin ¿qué sería de ellos?, se preguntaba con preocupación. Sabía que sus hijos aunque buenos y trabajadores, eran muy peleones. Una tarde cuando caía la noche, el viejo reunió a sus tres hijos y les dijo:
—Atended hijos míos. Yo sé que no estaré ya mucho tiempo con ustedes, recordad esto: vuestra riqueza son los 17 camellos que les dejo. Vosotros los repartiréis de la siguiente forma: Tu Hussein, eres el mayor, como has trabajado mucho tiempo conmigo te dejo la mitad de mi manada. A ti Hassan, el menor, que has trabajado también conmigo, pero menos tiempo, te dejo la tercera parte. Y en cuanto a ti Hassin, que eres el pequeño y no has tenido tiempo de trabajar conmigo, te doy la novena parte. ¿Respetaréis mi última voluntad?—
—Te lo prometemos padre—
A la mañana siguiente, el viejo pastor murió y sus hijos lo enterraron en el desierto. Después se pusieron a pensar en el reparto de la manada. Se acordaron bien de lo que su padre les había dicho, pero no llegaron a encontrar la forma de repartir diecisiete camellos en dos, ni en tres ni en nueve.
—Nuestro padre nos ha metido un gran lío. La mitad de diecisiete camellos es ocho y medio— dijo uno de los hermanos.
—Se puede matar o venderlo a uno y repartir el precio en tres. También podemos esperar hasta que las camellas tengan camellitos. Sí, pero ¿si se muere una camella?—
Los tres hermanos no llegaban a salir del embrollo. Entonces, vieron llegar a un hombre montado en un viejo camello pelado del todo, que les pedía hospitalidad para la noche
—Es Dios quien te envía— le dijo Hussein —Tú podrás darnos un consejo—. Y le explicó el problema del reparto. El viajero escuchó atentamente, reflexionó en silencio y después respondió:
—Hay una solución. Yo os doy mi camello. Así serán dieciocho camellos y podréis hacer el reparto—.
Entonces, hicieron el reparto. Hussein tomo la mitad, es decir, nueve camellos. Hassan la tercera parte, es decir, seis camellos y Hassin la novena parte, es decir, dos camellos. Por la mañana, feliz de haber encontrado la solución, el viajero sobre su viejo camello pelado, el camello 18, continuó su camino.
DE LA CRUZ, Armando (2012). Separata de Números Racionales. Lima: IEP «EDUARDO PALACÍ».
Objetivos:
• Identificar y representar gráficamente los números fraccionarios.
• Organizar estrategias para resolver operaciones combinadas con los números racionales.
• Matematizar situaciones concretas en las que se presentan números racionales.
Ampliación del campo numérico
Analizaremos porqué las operaciones indicadas son posibles de realizar en los respectivos campos numéricos.
Como se estudió anteriormente, en el conjunto de los números naturales, solo eran posibles las operaciones de la adición, la multiplicación y la potenciación, por que cumplen la Ley de Cierre o Clausura.
Al incorporar los números negativos, se resolvió el problema de la resta cuando el minuendo es menor que el sustraendo.
A continuación, estudiaremos la ampliación del campo numérico para resolver el problema de la división, cuando el dividendo no es múltiplo del divisor.
El esquema anterior se expresa, gráficamente, en el siguiente diagrama.
Necesidad de la creación de los números fraccionarios
Los números fraccionarios se crearon para solucionar la división, cuando el dividendo no es múltiplo del divisor.
Ejemplos:
Conjunto de números racionales
El conjunto de los números racionales está formado por el conjunto de los números enteros, unido con el de los números fraccionarios (F).
A los números racionales se los designa con la letra , inicial de la palabra quotient que en inglés significa cociente.
Al incorporar los números negativos, se resolvi
A los números racionales se los designa con la letra , inicial de la palabra quotient que en inglés significa cociente.
Número racional
Definición: se llama número racional a todo número que puede ser expresado como una fracción.
Ejemplos:
Representación de los números racionales en la recta numérica
A todo número racional le corresponde un punto en la recta numérica, pero no todos los puntos de la recta numérica corresponden a números racionales.
Esto significa que existe una correspondencia unívoca entre los puntos de la recta numérica y el conjunto de los números racionales.
Los números racionales positivos se representan a la derecha del cero, los racionales negativos a la izquierda del cero.
Para representar en la recta números fraccionarios se divide la unidad en tantas partes como indica el denominador y se toman tantas como indica el numerador.
Relación entre números fraccionarios y números decimales
Como se sabe, las fracciones se utilizan para expresar cantidades que no son números enteros. Pero en la práctica, para indicar esas cantidades es frecuente emplear números decimales.
Por ejemplo, decimos 0,6 m en vez de
También debemos recordar que toda fracción es un cociente indicado entre dos números enteros, por lo tanto, a cada fracción le corresponde un número decimal que es el resultado de la división entre el numerador y el denominador.
Actividad 1.7:
• Complete la siguiente tabla:
Teniendo en cuenta las expresiones decimales obtenidas, se observa que existen dos tipos de números decimales.
1. Números cuya parte decimal es finita o limitada, que se denominan números decimales finitos.
2. Números cuya parte decimal es infinita periódica o ilimitada periódica se denominan números decimales periódicos.
Conclusión
• Toda fracción que tiene en el denominador, potencias de 2, de 5 o producto de ambas potencias, se transforman en números decimales exactos o finitos, es decir, con un número exacto de cifras decimales.
Toda fracción que tiene en el denominador, factores que no sean potencias de 2 o de 5, se transforman en expresiones decimales periódicas.
Actividad 1.8:
1. Escriba los siguientes números indicando cuál es su período:
a.
b. 0,151515...=
c. 5,432432...=
d. 123,1312312...=
e. 0,236565...=
f. 0,125125...=
2. Clasifique los siguientes números decimales en exactos, periódicos puros o mixtos:
a. 2,424242
b. 3,25
c.
d.
e. 0,42 =
f.
g. –0,4 =
Transformación de una expresión decimal en fracción
Ya se estudió que toda fracción se puede expresar como número decimal. La afirmación recíproca también es válida, es decir que todo número decimal se puede expresar como fracción.
Transformación de un número decimal finito
Para expresar un número decimal finito en fracción, se escribe como numerador, el número dado sin la coma decimal y como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número dado. Luego se simplifica todo lo posible.
Actividad 1.9:
a. 1,2 =
b. 0,4 =
c. 1,08 =
d. 0,026 =
Transformación de un número decimal periódico
Periódico puro
Para transformar un número decimal periódico puro en fracción, se escribe como numerador el número dado sin la coma decimal y se le resta la parte entera y en el denominador tantos 9 como cifras tenga el período.
Si tiene parte entera se le suma. Luego, se busca la fracción irreducible correspondiente.
Ejemplos:
a.
b.
c.
d.
e.
Periódico mixto
Para transformar un número decimal periódico mixto en fracción, se escribe como numerador el número dado sin la coma decimal y se le resta el número formado por la parte entera y las cifras decimales no periódicas y como denominador, tantos 9 como cifras decimales tenga el periodo, seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga la parte no periódica.
Ejemplos:
Significado del periodo 9
Ejemplos:
Periodo 9
Cuando en un número decimal periódico, el periodo es 9, se aumenta una unidad a la cifra anterior al periodo, transformándose en un número entero si es una expresión periódica pura, o un número decimal exacto si es una expresión periódica mixta.
Actividad 1.10:
Exprese los siguientes números decimales como fracción irreducible:
a. 1,25 =
b. 1,333...=
c.
d.
e.
f. 1,33 =
g. 0,05454...=
h.
i.
j. 0,75 =
Revisión de operaciones con números racionales
Todas las operaciones que se realizan con números enteros también pueden realizarse con números racionales.
Como a las cuatro operaciones fundamentales (+, –, ×, ÷) se las comienza a estudiar en cuarto año de la escuela primaria, solo se realizará una rápida revisión y se profundizará más, la potenciación y la radicación de números racionales.
Suma y resta de números racionales
Suma y resta de números fraccionarios de igual denominador:
Para sumar o restar números fraccionarios de igual denominador se escribe el mismo denominador y se suman o se restan los numeradores.
Suma y resta de números fraccionarios de distinto denominador:
Para sumar o restar números fraccionarios de distinto denominador se buscan fracciones equivalentes a las dadas, cuyo denominador sea el mínimo común múltiplo de los denominadores dados.
De este procedimiento surge la siguiente regla práctica:
Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, se escribe como denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores dados, luego este valor se divide por cada uno de los denominadores y a ese resultado se le multiplica por los numeradores. Luego, se suma o se resta, según corresponda.
Suma y resta de números decimales
Para sumar o restar números decimales, se suman o se restan las cifras de igual valor relativo. Para esto, se ubican en columnas las cifras haciendo coincidir la coma decimal.
a. 158,32 – 25,35 = 132,97
b. – 160,12 107,32 =
c. 45,8 – 180 =
Suma y resta de números racionales
Multiplicación y división de números racionales
Para multiplicar o dividir números racionales se utiliza la misma regla de los signos que se estudió para números enteros.
• El producto (o cociente) de dos números racionales de igual signo es un número racional positivo.
• El producto (o cociente) de dos números racionales de distinto signo es un número racional negativo.
También, para determinar el signo de un producto o cociente de números racionales, podemos expresar la siguiente regla:
• Si la cantidad de factores negativos es par, el resultado es postivo.
• Si la cantidad de factores negativos es impar, el resultado es negativo.
Esta regla explica por qué en la fracción es un cociente donde la cantidad de signos negativos es impar.
Multiplicación de números fraccionarios
Para multiplicar números fraccionarios, se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí, respectivamente. Si se puede simplificar, se realiza antes de multiplicar las fracciones.
Multiplicación de números decimales
a. 0,5 · (–0,02) =
b. 121,3 · (–2,1) =
Para multiplicar números decimales, se operan como si fuesen enteros, luego se coloca la coma según la cantidad total de cifras decimales que intervienen en la operación.
División de números fraccionarios
Para dividir números fraccionarios, se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor.
División de números decimales
Para dividir números decimales, es necesario que el divisor sea un número entero. Si no lo es, se debe hallar una expresión equivalente para el dividendo y para el divisor, de manera tal, que el divisor se transforme en número entero.
Luego, se divide como si fueran números enteros, colocando la coma decimal cuando se agotan las cifras enteras del dividendo.
Potenciación de números racionales
Potenciación de números fraccionarios
Con exponente natural: para elevar una fracción a una potencia con exponente natural, se eleva numerador y denominador a dicha potencia.
En símbolos:
Ejemplos:
Con exponente negativo: para elevar un número fraccionario a una potencia de exponente negativo, se invierte la base y se la eleva con exponente positivo.
En símbolos:
Ejemplos:
Potenciación de números decimales
Para elevar un número decimal a una potencia, se opera como si fueran números enteros, teniendo en cuenta que la cantidad de cifras decimales del resultado es igual al producto entre la cantidad de cifras decimales de la base por el exponente.
Actividad 1.11:
Exprese los siguientes números decimales como fracción irreducible:
a. (0,01)3 = (0,01) · (0,01) · (0,01) =
b. (–0,03)2 = (–0,03) · (–0,03) =
c. (0,08)3 =
d. (–0,002)2 =
Propiedades de la potenciación
La potenciación de números racionales goza de las mismas propiedades que la potenciación de números enteros.
• La potenciación de números racionales es distributiva solamente con respecto a la multiplicación y división.
• La potencia enésima de un producto de varios factores es igual al producto de las potencias enésimas de los factores.
• La potencia enésima de un cociente es igual al cociente entre la potencia enésima del dividendo y la del divisor.
Simbólicamente:
Ejemplos:
Analicemos las siguientes igualdades que verifican la propiedad enunciada anteriormente.
Radicación de números racionales
De números fraccionarios
Para hallar la raíz enésima de un número fraccionario, se halla la raíz enésima del numerador y la del denominador.
Simbólicamente:
Ejemplos:
De números decimales
Para extraer la raíz enésima de un número decimal, se opera como si fuera entero, teniendo en cuenta que la cantidad de cifras decimales que se obtiene en el resultado es igual al cociente entre la cantidad de cifras decimales del radicando y el índice.
Actividad 1.12:
Calcule las siguientes raíces aplicando la definición, verificando la regla enunciada anteriormente.
Propiedades de la radicación
La radicación de números racionales goza de las mismas propiedades que la radicación de números enteros.
• La radicación de números racionales es distributiva solamente con respecto a la multiplicación y división.
• La raíz enésima de un producto de varios factores es igual al producto de las raíces enésimas de los factores.
• La raíz enésima de un cociente es igual al cociente entre la raíz enésima del dividendo y la del divisor.
Simbólicamente:
Ejemplos:
Ejercicios combinados con números racionales
Un ejercicio combinado es aquel en el que figuran distintas operaciones matemáticas.
Para resolver un ejercicio combinado, debe respetarse la jerarquía de las operaciones, es decir, el orden de resolución de las operaciones, de la misma manera que con los números enteros.
El orden de resolución de las operaciones es el siguiente:
1. Se resuelven las operaciones que están entre paréntesis y luego las de los corchetes, si los hay.
2. Si no hay paréntesis o corchetes, los signos «+» y «–» separan términos.
Las distintas operaciones que intervienen en un ejercicio combinado, se resuelven en el siguiente orden:
1. Se resuelven las potencias y raíces.
2. Luego las multiplicaciones o divisiones de cada término.
3. Por último las sumas y restas.
4. Siempre se opera de izquierda a derecha.
Ejemplos:
Trabajemos en clase
Desarrolle:
1. Complete con los símbolos ∈ o ∉ según corresponda.
2. Represente en la recta numérica.
3. Ubique los números del ejercicio 2, en el conjunto numérico correspondiente.
4. Clasifique y transforme en fracción irreducible, los siguientes números decimales.
5. Resuelva, expresando los resultados como fracciones irreducibles.
Ejercicios y problemas
Manejo de conceptos
1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique sus respuestas.
a. La suma de dos números racionales es siempre un número racional.
( )
b. Todo número pertenece a .
( )
c. Todo número pertenence a .
( )
d. La potenciación de números racionales es distributiva con respecto a la adición.
( )
e. Las fracciones que tienen distinto denominador se pueden suman directamente.
( )
f. Si dos fracciones son equivalentes, es menor aquella de menor numerador.
( )
g. Para multiplicar dos fracciones es necesario que tengan el mismo denominador.
( )
h. Todo número decimal también puede ser expresado como como una fracción.
( )
Habilidades de cálculo
1. Coloque los símbolos mayor, menor o igual, según corresponda:
2. Halle el resultado de las siguientes operaciones y escríbalo como una fracción irreducible:
3. Resuelva y exprese los resultados como fracciones irreducibles:
4. Calcule las siguientes potencias:
5. Determine, si es posible, las siguientes raíces:
a. En la figura mostrada, ¿qué fracción del rectángulo mayor representa la región sombreada?
b. La siguiente figura es un cuadrado ¿qué fracción del cuadrado representa la región sombreada?
c. En la siguiente figura:
• ¿Qué fracción del rectángulo mayor representa la región sombreada?
• ¿Qué fracción del rectángulo mayor representa la región que quedó sin sombrear?
Modelación
Resuelva los siguientes problemas:
1. Luis invita a sus amigos a comer una torta. Pedro come 1/5, Ana 1/6 y Tomás 1/3. Si Luis se come el resto, ¿cuánto come?
2. De un bidón de aceite se saca primero la mitad y después la quinta parte del resto, quedando aún tres litros ¿cuál es la capacidad del bidón?
3. De su sueldo, el señor Jiménez gastó la primera semana, la segunda y la tercera ¿qué parte de su dinero gastó hasta ahora?
4. Un autor escribió una novela en tres meses. En el primer mes escribió de la novela y en el segundo mes ¿qué fracción de la novela escribió en el tercer mes?
5. La quinceava parte de los alumnos de un curso miran 4 horas de televisión por día, la décima parte mira 3 horas diarias y mira 2 horas diarias. Calcule qué fracción de ese curso no ve televisión.
6. Se reparte una fortuna entre tres hermanos. El hermano mayor se queda con nueve décimos de los del dinero. El hermano menor se queda con seis octavos de del dinero ¿qué parte se llevó el tercer hermano?, ¿cuál de los tres se quedó con más dinero?
7. Un pintor realiza en el primer día la tercera parte de su trabajo, en el segundo día las partes del resto, al tercer día de lo que aún le falta y el resto el cuarto día ¿qué porcentaje del trabajo realizó cada día?
8. Una modista usó de tela en vestidos, la mitad de lo que queda en faldas y le sobraron 4 m, ¿cuántos metros de tela tenía?
9. En un colegio se eligió la reina que los representaría. de los alumnos votaron a la candidata número 1, a la candidata número 7 y 187 alumnos votaron por otras ¿cuántos alumnos votaron?
10. El perímetro de un triángulo isósceles es igual a 39 cm. Si cada uno de los lados congruentes es igual a los de la base, ¿cuál es la longitud de cada lado?
11. Durante la primera hora, el dueño de un quiosco de periódicos vendió la cuarta parte de los diarios que tenía, en la segunda hora la sexta parte de lo que quedaba. Contó los ejemplares y le quedaban 25 ¿cuántos diarios tuvo en total?
12. Un avión está dividido en tres categorías de pasajeros: primera clase tiene un octavo del total de asientos, categoría ejecutivo tiene una vez y media de los asientos de primera clase y hay 165 asientos de turistas ¿cuántos asientos tiene el avión?, ¿cuántos asientos de cada clase hay?
Páginas web para consultar
| Ejemplos, ejercicios y juegos de fracciones: | |
| http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/todo_mate/fracciones_e/fracciones_ej_p.html | |
| http://www.vedoque.com/juegos/matematicas-04-fracciones.swf |
