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Proporcionalidad en la vida cotidiana

En la vida corriente utilizamos el término proporción con distintos sentidos:

Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: «Este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado». Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo expresamos la correlación entre estas dos variables: éxito y trabajo.

También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: «proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante». Sucede que el hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente, equivaldría a que un hombre levantará sobre su cabeza un tanque de 50 toneladas. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura y para competir con ella, un hombre debería saltar limpiamente la Torre Eiffel.

Por otra parte, debes tener en cuenta que el tema de proporcionalidad aparece estrechamente vinculado a nuestra vida cotidiana.

¿Has hecho un pastel?, ¿cómo calculaste las cantidades de sus ingredientes?. Por eso, para muchos de los problemas de la vida cotidiana, la proporcionalidad existente entre sus parámetros podemos resolverlos con la técnica maravillosa de la regla de tres, ya sea directa o inversa.

Pero, cuidado, algunas veces es una intuición la que nos dice si puedo o no emplear una regla de tres para resolver un problema. Y ante problemas como el siguiente: «Si Colón tardó tres meses en llegar a América con tres carabelas ¿cuánto habría tardado llevando seis carabelas?» A nadie de nosotros se nos ocurre emplear una regla de tres, ¿verdad?

Demostrar que puedes emplear una regla de tres implica probar que existe una dependencia lineal, directa o inversa, entre las dos magnitudes o los dos parámetros que está utilizando. Cuando esto es así, la solución del problema es muy sencilla.

PROPORCIONALIDAD INTERACTIVA (2014) (http://proporcionalidadinteractiva.blogspot.com/2012/10/normal-0-21-false-false-false-es-co-x_197.html) Blog dedicado a profundizar los conceptos relacionados con la proporcionalidad (Consulta: 20 de enero)

Objetivos

• Diferenciar las características que poseen las magnitudes según su naturaleza.

• Obtener conclusiones acerca de las relaciones que cumplen determinadas magnitudes que participan en casos particulares.

• Establecer una relación de las magnitudes con nuestra realidad cotidiana para un adecuado planteamiento de la resolución de un problema.

Introducción

La proporcionalidad numérica es un concepto que resulta a los alumnos complejo y difícil de comprender si no se ha adquirido soltura en aspectos como las operaciones de multiplicación y división de números enteros y por la unidad seguida de ceros, la equivalencia de fracciones, la fracción como expresión decimal y de una cantidad y el porcentaje.

A través de la comprensión de los conceptos de magnitud, proporción, razón y constante de proporcionalidad se aplican las proporciones y sus métodos de resolución de problemas a situaciones de la vida cotidiana.

Las relaciones entre magnitudes inversamente proporcionales plantean un mayor grado de dificultad y se estudiarán mediante relaciones entre proporciones.

Concepto de Magnitud

• Una magnitud es una cualidad o una característica de un objeto que podemos medir. Ejemplo: longitud, masa, número de alumnos, capacidad, velocidad, etcétera.

• Las magnitudes se expresan en unidades de medida.

Ejemplo: metros, kilómetros, kilogramos, gramos, número de personas, litros, centilitros, kilómetros por hora, metros por segundo, etcétera.

• Para cada una de esas medidas existen diferentes cantidades de esa magnitud.

Ejemplo: una regla de 1 metro, una caja de 2 kilogramos, un tonel de 5 litros, 95 km/h, etcétera.

Actividad 1.15:

1. Indique con una «» si los siguientes enunciados son magnitudes.

a. El peso de un saco de patatas.

( )

b. El cariño.

( )

c. Las dimensiones de tu carpeta.

( )

d. La belleza.

( )

e. Los litros de agua de una piscina.

( )

f. La risa.

( )

2. Indique dos unidades de medida para cada magnitud.

a. El precio de una bicicleta.

b. La distancia entre dos pueblos.

c. El peso de una bolsa de naranjas.

d. El contenido de una botella.

e. El agua de un embalse.

f. La longitud de la banda de un campo de fútbol.

Relación entre magnitudes

Las relaciones matemáticas que existen entre las magnitudes son de mucha importancia, ya que nos permiten deducir la variación de una magnitud, modificando los valores de las magnitudes con los que está en interdependencia, considerando que estas relaciones pueden ser sencillas (solo entre dos magnitudes) y otras más complejas (más de dos magnitudes). A continuación estudiaremos las dos magnitudes.

Magnitudes directamente proporcionales (DP)

Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra aumenta o disminuye en las mismas proporciones.

Notación:

Ejemplo:

Observe que si duplicamos el n.° de huevos, el costo también se duplicará. Ocurrirá lo mismo si triplicamos, cuadriplicamos, etcétera.

Se cumple:

Se concluye que: «Si dos magnitudes (A y B) son directamente proporcionales, el cociente de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad».

Graficando el ejemplo planteado al principio, observaremos que se trata de una recta, en efecto:

Actividad 1.16:

1. Indique con un «» si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales.

a. El peso de naranjas (en kilogramos) y su precio.

( )

b. La velocidad de un auto y el tiempo que emplea en recorrer una distancia.

( )

c. El número de operarios de una obra y el tiempo que tardan en terminarla.

( )

d. El número de hojas de un libro y su peso.

( )

e. El precio de una tela y cuántos metros se van a comprar.

( )

f. La edad de un alumno y su altura.

( )

2. Un túnel de lavado limpia 12 autos en una hora (60 minutos) ¿cuánto tiempo tardará en lavar 25 autos?, ¿y 50?

Magnitudes inversamente proporcionales (IP)

Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra disminuye o aumenta en proporciones inversas.

Notación:

Ejemplo:

Observe que si duplicamos el n.° de obreros, el n.° de días se reduce a la mitad. Ocurrirá lo mismo si triplicamos, cuadruplicamos, etcétera.

Se cumple:

2×24 = 4×12 = 6×8 = … = 48 (constante)

Se concluye que: «Si dos magnitudes (A y B) son inversamente proporcionales, el producto de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad».

Graficando el ejemplo planteado líneas arriba, observamos que se trata de una hipérbola.

Actividad 1.17:

1. Indique con un «» si las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales.

a. La velocidad de un auto y el tiempo que tarda en recorrer una distancia.

( )

b. El número de limpiadores de un edificio y el tiempo que tardan.

( )

c. El número de ladrillos de una pared y su altura.

( )

d. El peso de la fruta y el dinero que cuesta.

( )

e. La velocidad de un corredor y la distancia que recorre.

( )

f. El número de grifos de un depósito y el tiempo que tarda en llenarse.

( )

2. Un depósito de agua se llena en 18 horas con un grifo del que salen 360 litros de agua cada minuto.

a. ¿Cuánto tardaría en llenarse el depósito si salieran 270 litros por minuto?

b. ¿Y si fueran 630 litros por minuto?

Reparto proporcional

Es un procedimiento que tiene como objetivo dividir una cantidad en partes que sean proporcionales a ciertos valores, llamados índices.

Clases:

1. Reparto simple: se llama así porque intervienen solo dos magnitudes proporcionales. Puede ser:

1.1. Directo : (cuando intervienen 2 magnitudes DP)

Analicemos el siguiente caso: un padre quiere repartir S/. 2000 entre sus tres hijos, cuyas edades son 8, 12 y 20 años. El padre piensa, con justa razón, que su hijo de 20 años tiene mayores necesidades económicas que su otro hijo de 8 años, entonces decide hacer el reparto DP a las edades de sus hijos. Esto implica que aquel hijo que tenga más edad, recibirá más dinero, y el que tenga menos edad, recibirá menos dinero. Veamos lo que sucede.

Sean las partes A, B y C, tales que cumplen las siguientes condiciones:

Recuerde que cuando dos magnitudes son DP el cociente entre ellas es una constante.

Entonces: 8k + 12l + 20k = 2000

Luego c/u le responde:

Podemos resolver el problema mediante el siguiente esquema práctico:

Observe que si simplificamos los tres números, la relación de proporcionalidad no se altera. Luego, la constante de reparto «k» se halla dividiendo la cantidad a repartir (S/. 2000) entre la suma de las partes (2,3 y 5). Finalmente, las cantidades recibidas por c/u se hallan multiplicando 2, 3 y 5 por k.

Actividad 1.18:

María, Pablo y Luisa se proponen vender 600 boletos de una rifa con el fin de recaudar fondos para rehabilitar la Casa de la Cultura de su pueblo. Se las reparten proporcionalmente a 3, 4 y 5, respectivamente ¿cuántos boletos debe vender cada uno?

1.2. Inverso: (cuando intervienen 2 magnitudes IP)

Analicemos el siguiente caso: un administrador quiere compensar a sus tres mejores empleados dándoles una gratificación por sus altos rendimientos. El problema es que los tres empleados tienen algunas faltas y desea que esa situación se vea reflejada en el reparto. Entonces, plantea repartir los S/. 39 000 en partes IP a sus faltas, que son 2, 3 y 4 días respectivamente. Esto implica que aquel empleado que tenga más faltas, recibirá menos dinero, mientras que el que tenga menos faltas recibirá más dinero. Veamos qué sucede.

Sean las partes A, B y C, tales que cumplen las siguientes condiciones:

Entonces, dividiendo la última expresión entre 12

(MCM (2; 3; 4)= 12):

Recuerde que cuando dos magnitudes son IP el producto entre ellas es una constante.

Luego:

A c/u le corresponde:

Podemos resolver el problema empleando el método práctico, planteado en el caso anterior:

No olvide: MCM (2,3,4) = 12

Observe que los números que representan las faltas de estos tres empleados se colocan invertidos (recuerde que el reparto es IP), luego si a cada uno de ellos se les multiplica por 12, la relación de proporcionalidad no se altera. Lo que se realiza a continuación es lo mismo que se ha descrito en el reparto anterior (reparto directo).

Actividad 1.19:

Adela quiere repartir S/. 2100 entre sus sobrinos Javier, Elena y Pablo, de manera inversamente proporcional a la edad de cada uno. Javier tiene 3 años, Elena 5 y Pablo 6 años ¿qué cantidad recibirá cada uno?

2. Reparto compuesto: se llama así porque intervienen más de dos magnitudes proporcionales.

Ejemplo:

Un gerente desea repartir una gratificación de S/. 42 000 entre sus tres empleados en partes DP a sus sueldos (S/. 3200, S/. 4200 y S/. 5400) e IP a sus faltas (4, 6 y 9 días, respectivamente) ¿cuánto le corresponde a cada uno?

Solución:

Resolveremos el problema utilizando el método práctico:

Observe que a pesar que el tercer empleado gana más (S/. 5400) no es él quien recibe más gratificación. Esto se debe a que sus faltas (9 días) son muchas, causando una disminución en la gratificación que recibió.

Trabajemos en clase

1. Compruebe si los siguientes números forman una proporción:

• 1, 30, 140 y 200.

• 16, 25, 14 y 21.

2. Un auto consume 5 galones de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 galones, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el coche?

3. Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

4. Para colaborar en el viaje de fin de curso, una institución educativa reparte S/. 1800 entre las tres secciones de quinto de secundaria de manera proporcional al número de alumnos de cada sección: 24, 30 y 36 respectivamente ¿qué cantidad recibirá cada sección?

5. En un concurso de preguntas y respuestas, se reparte un premio de S/. 2310 de manera inversamente proporcional al tiempo que se han tardado en responder correctamente los tres primeros clasificados (5, 10 y 15 minutos respectivamente), ¿qué cantidad le corresponde a cada uno?

Ejercicios y problemas

Manejo de conceptos

1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando una de ellas aumenta al doble, la otra también aumenta el doble.

( )

b. La cantidad de panes que como y lo que gasto comiendo es inversamente proporcional.

( )

c. El grueso de un libro y el número de páginas, es una proporción directa.

( )

d. La representación gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales es una recta que pasa por el origen.

( )

e. Dada una razón, existen otras razones iguales.

( )

f. Si M₁ es DP a M₂, entonces

( )

2. A continuación se presentan diversas situaciones en las que intervienen proporcionales. Decida si se trata de magnitudes directa o inversamente proporcionales, coloque en el espacio indicado una D (directamente) o una I (inversamente) según sea el caso.

a. Cantidad de manzanas y su peso

( )

b. Número de bebidas y sus consumidores

( )

c. Número de personas trabajando y tiempo empleado en terminar el trabajo

( )

d. Cantidad de litros de bencina y el precio respectivo

( )

e. Número de baldosas para cubrir una determinada superficie y su tamaño

( )

f. Número de horas trabajadas y el sueldo ganado

( )

g. Número de ejercicios de matemáticas y el tiempo empleado en solucionarlos

( )

h. Cantidad de forraje (alimento) y número de animales por alimentar

( )

i. Días que alcanzan las provisiones y número de personas por alimentar

( )

j. Mejor respuesta en una evaluación y su nota.

( )

Habilidades de cálculo

1. Complete la siguiente tabla sabiendo que la proporcionalidad entre las magnitudes es directa.

¿Cuánto corresponde a 1? ...................

2. Complete la siguiente tabla sabiendo que la proporcionalidad entre las magnitudes es inversa.

¿Cuánto corresponde a 1? ...................

3. Reparta 600 en partes directamente proporcionales a 1, 2 y 3.

4. Reparta 78 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 4.

5. Reparta 518 en partes inversamente proporcionales a 8, 10 y 12.

6. Compruebe si las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales y en caso afirmativo señala cuál es la constante de proporcionalidad inversa:

a.

Mag. A	2	4
Mag. B	8	4

b.

Mag. A	10	20
Mag. B	3	6

c.

Mag. A	6	10
Mag. B	2,5	1,5

Modelación

Resuelva los siguientes problemas:

1. A una velocidad promedio de 75 km/h un vehículo demora 9 horas en ir de una ciudad a otra. ¿Cuántas horas tardaría si aumentara el promedio de su velocidad en 15 km/h?

2. Diez toneles iguales contienen 800 litros de vino ¿cuántos toneles son necesarios para almacenar 36 000 litros de vino?

3. 12,5 m de alambre cuestan $ 32 025. ¿Cuánto cuestan 8 m?, ¿y cuál es el precio de 50 cm del mismo alambre?

4. En un establo hay vacas que consumen 35 fardos de pasto en 40 días ¿en cuántos días consumirán 28 fardos?

5. Un cajón que pesa 9,6 kg contiene 1152 clavos ¿cuántos clavos, del mismo tamaño de los anteriores, habrá en un cajón que pesa 17 kg?

6. En un paseo que hicieron 24 alumnos consumieron 16 bebidas. Si al paseo hubieran ido 39 alumnos ¿cuántas bebidas habrían consumido?

7. El pavimento de un tramo de la carretera lo hacen 6 obreros en 12 días ¿cuánto se demorarían 9 obreros, trabajando en igualdad de condiciones?

8. En una bodega hay comida para 50 personas durante un mes, ¿cuántos días podrían comer 80 personas?

9. En una pastelería se venden tortas selva negra y tortas de piña. Si la razón entre el número de tortas selva negra y de piña vendidas en un día es de 3 a 4 ¿cuántas tortas de piña se vendieron en un día, si de selva negra se vendieron 30 unidades?

10. Complete los datos en cada tabla y clasifica estas según sean variaciones directamente proporcionales, inversamente proporcionales o de proporcionalidad compuesta.

a. Gastos de comida diarios por cada cinco competidores:

b. Número de buses, de igual capacidad que se necesita contratar para transportar a 300 deportistas:

11. Margarita quiere hacer un postre de chocolate para su fiesta de cumpleaños. Para ello, consulta un libro de cocina y la receta indica que para 6 personas hay que utilizar 120 gramos de chocolate, ¿qué cantidad de chocolate tendrá que usar si a la fiesta van 12 personas?, ¿y si van 18?, ¿y para tres personas?

Escriba los datos en una tabla:

12. En la siguiente tabla de valores se registran las temperaturas desde las 18 horas de un día hasta las 12 del día siguiente:

a. Realice un gráfico que relacione tiempo (en el eje horizontal) con temperatura (en el eje vertical).

b. Analice las características del gráfico respecto del aumento o de la disminución de la temperatura.

c. Realice una estimación de la temperatura promedio: en las horas observadas y también entre las 22:00 y las 06:00 horas.

d. ¿En qué intervalo o intervalos se produce la mayor disminución de temperatura?, ¿en cuál la menor disminución?, ¿en cuál el mayor aumento?

e. ¿En qué intervalos se produce la máxima o la mínima temperatura?

13. En una biblioteca se colocan 2610 libros en dos muebles de 40 y 50 estanterías cada uno, ¿cuántos libros se colocarán en cada mueble si se reparten proporcionalmente al número de estantes de cada uno?

14. El guía del campamento de los cursos A, B y C de 3º de Secundaria les ha dado a los alumnos una bolsa de etiquetas para identificar las plantas. Si la bolsa tiene 624 etiquetas y los cursos tienen 11, 13 y 15 alumnos, respectivamente, ¿cuántas le tocan a cada uno si cada alumno debe recibir la misma cantidad?, ¿y a cada grupo?

15. Tres jugadores de fútbol se reparten 36 000 euros en proporción directa al número de partidos que ha jugado cada uno. Si jugaron 12, 15 y 18 respectivamente, ¿cómo se repartirán el dinero?

16. Se quieren repartir 396 m² de un terreno entre tres familias, de forma directamente proporcional al número de hijos de cada una. Si cada familia tiene 2, 4 y 5 hijos respectivamente, ¿qué parte del terreno recibirá cada una?

17. Si al distribuir cierta cantidad de dinero entre 6 personas cada uno recibe 20 euros ¿cuánto recibirán si se repartiese entre 15 personas?, ¿cuál es la constante de proporcionalidad inversa?

18. Con el agua de un depósito se llenan 630 botellas de 3/4 de litro, ¿cuántas botellas de 3/2 se necesitarán para almacenar la misma cantidad de agua?

19. Un campamento de 45 alumnos tiene provisiones para 16 días, ¿cuántos días podría durar el campamento si fuesen 15 alumnos más?

20. María tarda 42 días en preparar un examen estudiando 4 temas y medio por día, ¿cuántos temas debería estudiar cada día si solamente dispone de 35 días para preparar el examen?

Páginas web para consultar

Explicación y ejemplos de magnitudes proporcionales:
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/magnitudes/magnitudes_proporcionales.htm
http://www.slideshare.net/luisfigueroagalindo/magnitudes-proporcionales