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El hombre de Vitruvio

Leonardo Da Vinci realizó un dibujo llamado «El hombre de Vitruvio» en un diario suyo en el cual representaba a la figura humana vista en dos posiciones sobreimpresas y que está basado en las proporciones del cuerpo humano, es llamado Vitruvio pero con leves desviaciones. Este dibujo está inscrito en un cuadrado de donde sus diagonales se cruzan en los genitales y una circunferencia en la cual el centro se halla en el ombligo del dibujo, pero en la realidad, como media está desplazada ligeramente hacia arriba. El cuadrado y la circunferencia representan al hombre como centro de todas las cosas y es uno de los grandes logros del renacimiento, debido al descubrimiento de las proporciones matemáticas que están aplicadas al dibujo que está hecho en lápiz y tinta, y mide 34,2 x 24,5 cm. Da Vinci realizó este dibujo representando las proporciones del cuerpo humano y, analizando el dibujo en todo su contenido, se descifra que:

Una palma equivale al ancho de cuatro dedos.

Un pie equivale al ancho de cuatro palmas.

Un antebrazo equivale al ancho de seis palmas.

La altura de un hombre son cuatro antebrazos.

Un paso es igual a un antebrazo.

La longitud de los brazos extendidos es igual a su altura.

La distancia entre el nacimiento del pelo y la barbilla es un décimo de la altura de un hombre.

La altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la altura de un hombre.

La distancia entre el nacimiento del pelo a la parte superior del pecho es un séptimo de la altura de un hombre.

La altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuarto de la altura de un hombre.

La anchura máxima de los hombros es un cuarto de la altura de un hombre.

La distancia del codo al extremo de la mano es un quinto de la altura de un hombre.

La distancia del codo a la axila es un octavo de la altura de un hombre.

La longitud de la mano es un décimo de la altura de un hombre.

La distancia de la barbilla a la nariz es un tercio de la longitud de la cara.

La distancia entre el nacimiento del pelo y las cejas es un tercio de la longitud de la cara.

La altura de la oreja es un tercio de la longitud de la cara.

La distancia desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla es la cuarta parte del hombre.

La distancia desde debajo de la rodilla hasta el inicio de los genitales es la cuarta parte del hombre.

CHAVES PINTOS, Pablo. (2009) Leonardo Da Vinci. (Consulta: 11 de marzo de 2013). (http://centros.edu.xunta.es/iesramoncabanillas/cuadmat/trabaj/brazo5.pdf)

Objetivos

• Representar simbólicamente razones y proporciones y distinguir sus propiedades.

• Reconocer las diferencias entre magnitudes directamente proporcionales y magnitudes inversamente proporcionales.

• Matematizar situaciones concretas y resolver problemas aplicando las propiedades de las magnitudes directas e inversamente proporcionales.

Razones

La razón consiste en comparar dos cantidades cualesquiera para poder establecer una característica que las relacione, en particular ambas cantidades las podemos comparar principalmente de dos formas: a través de su diferencia (razón aritmética), y mediante su cociente (razón geométrica):

a. Razón Aritmética: es una forma de comparar dos cantidades en las cuales consideramos cuánto excede una de la otra, es decir, encontrando su diferencia.

Este tipo de razón la podemos escribir separando ambas cantidades por comparar con un signo menos (–). Así, la razón aritmética entre un par de números a y b, es: a – b, y se lee a es a b. El primer término de una razón aritmética se denomina antecedente, mientras que el segundo consecuente. antecedente consecuente

Actividad 1.13:

Un padre quiere repartir unos ahorros a sus dos hijos, pero al fin del mes uno de ellos se portó mal, por lo cual lo castigará dándole S/. 6000 menos que a su hermano. Si dispone de S/. 20 000 para repartir ¿cuánto le corresponde a cada uno?

b. Razón Geométrica: cada vez que se habla de razón en realidad se quiere hacer referencia a una razón geométrica.

La razón geométrica entre dos cantidades a y b es la comparación por cociente entre ambas, es decir, la división entre ellas. Este tipo de razón la podemos representar de dos formas: a través de un signo de división (÷ o:) o expresada en forma fraccionaria. De ambas formas se lee a es a b. Al igual que la razón aritmética el primer término se denomina antecedente, y el segundo, consecuente.

El tratamiento de las razones geométricas es similar al de las fracciones, es decir, se suman, restan, multiplican, dividen, simplifican y amplifican de la misma forma.

Ahora ¿a qué nos referimos específicamente cuando decimos 3 es a 5?, por ejemplo. La respuesta es muy sencilla: quiere decir que cada vez que tengamos 3 partes del antecedente tendremos 5 del consecuente, y en conjunto formamos 8 partes.

Actividad 1.14:

a. Al siguiente mes, el mismo padre (actividad anterior) tiene el mismo problema, uno de sus hijos se ha portado mal, por lo que quiere darle menos dinero que a su hermano, pero esta vez quiere que por cada S/. 3000 del hermano que se portó bien, el otro reciba solo S/. 2000, es decir quiere repartir el dinero a razón de 3 es a 2. Si dispone nuevamente de S/. 20 000, ¿cuánto dinero le corresponderá a cada uno?

b. Los ángulos de un triángulo están a razón de 1: 2 : 3 (recuerda que esto se lee; uno es a dos es a tres), sabiendo que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados ¿cuánto miden sus ángulos?

Proporciones

Una proporción es una igualdad entre dos razones equivalentes.

a. Proporción Aritmética o Equidiferencia: es la igualación de dos razones aritméticas equivalentes. A la diferencia entre las razones involucradas se la llama constante de proporcionalidad aritmética.

Propiedad fundamental:

«En toda proporción aritmética la suma de los extremos es igual a la suma de los medios»

Ejemplo:

b. Proporción Geométrica o Equicocientes: una proporción geométrica (o simplemente proporción), es la igualación de dos razones geométricas equivalentes. En una proporción podemos distinguir sus partes por distintos nombres, están los extremos que son el antecedente de la primera razón y el consecuente de la segunda, y los medios, que son el consecuente de la primera razón y el antecedente de la segunda.

Propiedad fundamental:

«En toda proporción geométrica, el producto de los extremos es igual al producto de los medios»

Una proporción es continua cuando los medios de la proporción son iguales

Propiedades de las Proporciones Geométricas

Trabajemos en clase

1. Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones, calcule el valor de x:

2. Aplique las propiedades de las proporciones para resolver las siguientes situaciones matemáticas:

a. La suma entre dos números es igual a 175 y la razón entre ellos es ¿cuáles son los números que cumplen las condiciones?

b. La diferencia entre el dinero que tiene Juan y el que tiene Gustavo es de $ 400. La cantidad de dinero de Juan es a la de Gustavo como 9 es a 7 ¿cuánto dinero tiene cada uno?

c. La suma entre dos números es igual a 10,5 y la razón entre ellos es ¿cuáles son los números?

d. Un veterinario sabe que la ración diaria de alimento para un perro bóxer y un pequinés es de 2 kg. El perro bóxer come tres veces más alimento que el pequinés ¿qué cantidad de alimento consume cada perro?

e. Pruebe su ingenio y calcule los valores de a, b, c y d:

Ejercicios y problemas

Manejo de conceptos

1. Analice la proporción luego indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a. La razón de la proporción es 4.

( )

b. 0,8 y 0,3 son los términos extremos.

( )

c. 0,2 y 0,3 son los términos medios.

( )

d. El producto de los términos medios es 0,25.

( )

e. El producto de los términos extremos es 0,24.

( )

f. La suma de los antecedentes entre la suma de los consecuentes es igual a la razón de proporcionalidad.

( )

g. Si 0,8 ×... = ...× 1,2; la suma de los términos que faltan es 0,5.

( )

2. En cada enunciado marque la alternativa correcta:

2.1 Podemos afirmar que una razón es:

a. La comparación de dos cantidades por cociente.

b. El producto de dos cantidades dadas.

c. La suma de dos cantidades.

d. La relación entre dos cantidades.

e. La igualdad entre dos cantidades.

2.2 Una proporción es:

a. La igualdad de dos cantidades.

b. El producto de dos razones.

c. El cociente entre dos razones.

d. La igualdad de dos razones.

e. La suma de dos razones.

2.3 Diremos que una proporción es directa si:

a. Al aumentar uno de sus valores el otro disminuye.

b. Al disminuir una de las cantidades la otra aumenta.

c. El producto de las cantidades se mantiene constante.

d. Al aumentar una de las cantidades la otra también lo hace.

e. Ninguna de las anteriores.

2.4 En una proporción inversa se mantiene constante:

a. El cociente de las cantidades relacionadas.

b. El producto de las cantidades relacionadas.

c. La suma de las cantidades relacionadas.

d. La diferencia de las cantidades relacionadas.

e. Ninguna de las anteriores.

Habilidades de cálculo

1. Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Halle el valor de los dos números.

2. Dos números son entre sí como 5 a 8, si la suma de sus cuadrados es 712 ¿cuál es el número menor?

3. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación con los números 11; 3 y 560. Halle el mayor de los números.

4. En una proporción continua geométrica los términos extremos son entre sí como 4 es a 9. Si los términos de la primera razón suman 40 halle la suma de los consecuentes de dicha proporción.

5. En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios es 14. Halle uno de los términos medios si se sabe que el producto de los cuatro términos de la proporción es 2601.

6. En una reunión social por cada 5 hombres adultos que ingresan, ingresan 6 niños y por cada 3 mujeres adultas que entran, ingresan 8 niñas. Si en total ingresaron unos 572 niños y el número de hombres es al número de mujeres como 7 es a 4 ¿cuántos hombres asistieron a dicha reunión?

7. Si a cada uno de los 4 términos de una proporción se le quita una cantidad misma, se obtiene 20; 28; 32; 44. Halle la suma de los términos de dicha proporción.

8. Se tiene 3 números enteros que son entre sí como 4; 7; 9. Si el cuadrado de la suma de los 2 menores números menos el cuadrado del mayor da 360, halle la suma de los 3 números.

9. ¿Cuál es el número entre el tercio proporcional y el tercio diferencial de 9 y 5?

10. Halle la razón de una proporción geométrica continua, sabiendo que la suma de sus términos extremos es a su diferencia como 25 es a 24.

Resuelva los siguientes problemas:

1. En una competencia de obstáculos de 800 metros, Andrés y Belisario vencen a Carlos y Danilo por 50 metros. En la misma distancia Andrés gana a Belisario por 100 metros y Carlos a Danilo por 160 metros. ¿Por cuánto ganará Carlos a Belisario en una carrera de 1125 metros?

2. La ciudad de Belfast está dividida en 2 bandos a raíz de la invasión angloestadounidense a Irak, los que están a favor y los que están en contra de la reyerta, respectivamente, de manera tal que la población de los primeros y la población de los segundos están en la relación de 7 a 3. Si de uno de los bandos se pasan al otro unas 60 personas, la razón de las poblaciones que están a favor y en contra de la guerra, respectivamente, se invierte ¿cuál es la población total de la ciudad?

3. En un club social se lleva a cabo una reunión donde asisten unas 400 personas entre hombres y mujeres, asistiendo por cada 3 de los primeros 2 de los segundos. Si al cabo de dos horas la relación entre hombres y mujeres es de 2 a 1 ¿cuántas parejas se retiraron?

4. En un concurso de baile el número de hombres y el número de mujeres están en la misma relación que 5 y 4, pero en un instante determinado del concurso el número de hombres que bailan es al número de hombres que no bailan como 5 es 3, por tanto, el número de mujeres que no bailan es al número de hombres que no bailan como: ..............

5. Dos piscinas contienen agua en cantidades que están en la relación de 8 a 5. Después de que haya entrado una misma cantidad de agua en ambas, se encuentran en la relación de 10 a 7. Enseguida, para que ambas contengan la misma cantidad de agua, se desaguan 900 litros de la primera ¿cuántos litros contenía inicialmente la segunda piscina?

6. Dos automovilistas parten simultáneamente al encuentro, con velocidades que están en la relación de 4 a 3 y se encuentran cuando el más veloz ha recorrido 60 km más que el otro. Calcule el espacio recorrido por el más lento hasta el momento del encuentro.

7. Tres automóviles de carrera recorren una pista circular con velocidades que son proporcionales a 4, 5 y 7, respectivamente. Si la suma de los tiempos que han tardado cada uno en dar la vuelta a la pista es 2 minutos y 46 segundos ¿cuánto tiempo ha tardado el más veloz en dar la vuelta a la pista?

8. Cierto número de clavos se divide en tres grupos cuyos números son proporcionales a 5, 7 y 11, respectivamente. Si del tercer grupo pasó al segundo 8 clavos, en el tercero quedaría el doble de lo que hay en el primero ¿cuántos clavos habría en el segundo grupo?

9. En 2 salones hay igual número de niños. Por cada 5 niños que salen del primero, del segundo salón salen 3 para entrar al primero y uno para irse a su casa. Cuando hay 50 niños en el primero, resulta que en segundo hay 20 ¿cuántos habían inicialmente en cada aula?

10. Las velocidades de 3 automóviles A, B y C son proporcionales 9, 4 y 8, respectivamente. A y B parten juntos de M al encuentro de C, quien parte de N al mismo tiempo y al encuentro de los primeros. C se junta primero con A y después de recorrer 56 km desde este encuentro se cruzó con B ¿qué espacio recorrió B hasta confluir con C?

11. Antes, 5 lapiceros costaban tanto como 3 cuadernos, ahora que el precio de los lapiceros ha subido a S/.16 y el precio de los cuadernos a S/. 15 y resulta que 10 lapiceros cuestan tanto como 9 cuadernos. ¿Cuánto costaba antes cada lapicero?

12. En una granja hay 40 gallinas y hay 5 patos por cada 7 cerdos. Luego, el dueño de la granja compra 50 patos, 40 cerdos y un cierto número de gallinas ¿cuántas gallinas compró, si al final, el número de patos, cerdos y gallinas que posee ahora son proporcionales a 5, 6 y 8, respectivamente?

Páginas web para consultar

Ejemplos, ejercicios y videos sobre razones y proporciones:
http://polya.dme.umich.mx/Carlos/arqui/razon/RAZONES.htm
http://profe-alexz.blogspot.com/2010/12/19-ejercicios-resueltos-de-razones-y.html