Читать книгу Видатні наукові відкриття. Дитяча енциклопедія - Группа авторов - Страница 4

У звичній геометрії елліни просунулися помітно далі Евкліда. Третє століття до нашої ери уславилося іменами Арістарха й Архімеда, Ератосфена й Аполлонія. Всі вони були скоріше універсалами, ніж суто математиками. Арістарха (бл. 310–230 рр. до н. е.) вважають астрономом, оскільки він перший обгрунтував гіпотезу про те, що всі планети обертаються навколо Сонця. Але міркування Арістарха – це вже стереометрія. Цей учений припустив, що Сонце може мати інший розмір, ніж Місяць! Так у давній задачі з’явилася нова невідома величина. Щоб упоратися з нею, потрібно було винайти ще одне рівняння, а для цього – застосовувати новий метод спостереження за небом.

Арістарх зробив це, міркуючи просто й красиво, вирахувавши всього один кут у величезному трикутнику Земля – Місяць – Сонце. Він дійшов висновку, що місячний діаметр утроє менший від земного, а діаметр Сонця в сім разів більший за діаметр Землі. З цих грубих розрахунків учений зробив головний вірний висновок: Сонце більше Землі, і тому Земля обертається навколо Сонця! На цю тему Арістарх написав твір «Про розміри й відстані Сонця й Місяця». Так астрономія одержала, нарешті, від геометрії вірну модель Сонячної системи. На жаль, модель Арістарха виявилася занадто грубою для астрономічних розрахунків. Тому більшість звіздарів не довіряли їй, а користувалися більш могутньою обчислювальною технікою Гіппарха.

Учні Ератосфена дали йому прізвисько «Бета» – за назвою другої букви алфавіту, оскільки він був «другим фахівцем» у дуже багатьох галузях. «Альфою» у математиці був його найкращий друг і ровесник – Архімед із Сіракуз, а в геометрії став другим після Евкліда.

Ератосфен (276–194 рр. до н. е.) склав першу таблицю простих чисел, так зване «сито Ератосфена», і помітив, що багато простих чисел групуються в пари близнюків: такими є числа 11 і 13, 29 і 31, 41 і 43. Евклід довів, що кількість усіх простих чисел нескінченна, замислився, чи вірно те ж саме для чисел-близнюків? З цією задачею він не впорався. Але він не здогадувався, що таємниця чисел-близнюків не буде відкрита навіть через 22 століття! У наші дні «проблема близнюків» залишається єдиною нерозв’язаною задачею, що дісталася нам від античності, і невідомо, чи впораються з нею математики ХХІ століття.

У стереометрії (тобто у математичній астрономії й географії) Ератосфену поталанило більше. Він склав карту неба з 675 зірками та карту відомих на той час областей Землі: від Британії до Цейлону, від Балтики й Каспію до Ефіопії. Залишалося вирахувати розмір земної кулі і її положення відносно Сонця – тобто, кут нахилу земної осі до тієї площини, у якій рухаються Земля й Сонце. Те й інше Ератосфен зумів розрахувати на основі нескладних спостережень і простих малюнків. Наприклад, для визначення радіуса Землі виявилося достатньо довідатися про відстань від Александрії до Сіени (Асуана) і одночасно в цих двох містах виміряти висоту Сонця опівдні. Але мало хто з еллінів повірив цьому розрахунку. Адже виходило, що вся відома грекам Ойкумена – населена частина Землі – становить менше однієї сотої частки від поверхні земної кулі. «Не може бути, щоб ми так мало знали!» – таким був одностайний вирок освічених жителів Александрії, і вони відкинули розрахунки Ератосфена.

Успішно перевіривши географію за допомогою геометрії, Ератосфен вирішив перевірити історію за допомогою арифметики. Він знав, що від епохи Піфагора й Фалеса до його епохи минуло приблизно 300 років. Але який час минув від Гомера, або від героїв Троянської війни до Піфагора? Що відбувалося в ті далекі часи в Єгипті? Скільки століть простояли до тієї пори великі піраміди? Ератосфен був упевнений, що всі природні факти можна впорядкувати за допомогою здорового глузду й строгої математики. У датуванні Троянської війни він помилився менш ніж на сто років! Тож були підстави для віри у всемогутність точних наук у вчених Александрійської епохи…

Найбільші підстави для такої впевненості мав Архімед із Сиракуз (287–212 рр. до н. е.) – найвидатніший учений в історії Еллади й усієї античності. За своїми уподобаннями він був скоріше фізиком, але за методами роботи – універсальним геометром і початківцем-алгебраїстом. Юність Архімеда минула в Александрії. Він там навчався в Арістарха й Конона – учня Евкліда. Там же він і потоваришував з Ератосфеном. Все життя друзі листувалися, причому Ератосфен являв собою весь колектив Александрійського музею, а один Архімед уособлював цілу академію наук.

Генія в науці можна розпізнати за тим, як швидко він осягає досягнення попередників і як нестримно починає рухатися вперед із цього стартового рубежу. Для Архімеда стартовими опорами стали Евклід і Євдокс. Найвищим досягненням Євдокса була геометрична теорія чисел, що привела до побудови числового променя із точок. Найвищим відкриттям Евкліда стало обчислення об’єму піраміди методом «вичерпування», коли фігура розбивається на тонкі скибочки-призми, а їхні об’єми підсумовуються за допомогою арифметики.

Зіставивши ці дві теорії, Архімед зрозумів, що будь-яку пласку або просторову фігуру можна розбити на дрібні області-піщини (так само як Євдокс розбив на точки промінь), а потім підсумувати площі або об’єми піщин, так само як Евклід підсумував об’єми скибочок піраміди. При цьому арифметика й геометрія працюють дуже злагоджено, передаючи задачу з долоні в долоню, поки вона не буде вирішена. Звичайно, це важке ремесло – навіть два різних ремесла; але Архімедові обидва вони були під силу.

Архімед

Незважаючи на незручний запис чисел, Архімед упевнено підсумував послідовності натуральних чисел, їхніх квадратів та кубів. Використовуючи ці суми й не знаючи таких понять «з майбутнього», як багаточлен та інтеграл, Архімед, по суті справи, інтегрував багаточлени – і жодного разу не помилився в цій роботі! Спочатку він обчислив площу фігури, обмеженої відрізками параболи й прямої. Потім були знайдені об’єми тіл, отриманих при обертанні цієї фігури навколо різних осей; за цими даними Архімед знайшов центр ваги плоскої фігури. Нині розв’язування таких задач – звичайнісінька річ для студентівматематиків, що здають залік на першому курсі; але зробити це вперше в історії було вкрай важко!

Архімед відкрив перший закон гідростатики, згідно з яким на всяке тіло, занурене у рідину, діє виштовхувальна сила, яка дорівнює вазі витисненої рідини. Відповідно до легенди, цей закон, який був названий його ім’ям, Архімед відкрив під час купання. Від радості, що його охопила, він голий вибіг на вулицю з вигуком: «Евріка!» («Відкрив!»)

Архімед сформулював багато теорем про площі й об’єми складних фігур і тіл, які він цілком строго довів методом вичерпування. Архімед завжди прагнув одержати точні рішення й знаходив верхні й нижні оцінки для ірраціональних чисел. Архімед довів також кілька теорем, що містили нові результати геометричної алгебри. Йому належить формулювання задачі про розсічення кулі площиною так, щоб об’єми сегментів перебували між собою в заданому відношенні. Архімед розв’язав цю задачу, відшукавши перетин параболи й рівносторонньої гіперболи.

Архімед був найвидатнішим математичним фізиком стародавності. Для доведення теорем механіки він використовував геометричні міркування. Його твір «Про плаваючі тіла» заклав основи гідростатики.

Скоривши перші вершини на невідомому хребті математичного аналізу, Архімед пішов далі: його захопила головна проблема астрономії – рух планет навколо Сонця. Архімед був упевнений: існує простий опис цього руху, і знайти його можна тим самим «методом піщин»! Пройти цей шлях до кінця Архімед не зумів. Ця велика проблема була вирішена тільки через 18 століть. Але у 212 році до нашої ери гордий консул Метелл, який узяв штурмом Сиракузи, доставив у Рим небувалий трофей: металеву модель Сонячної системи з рухливих сфер і кіл, що її виготовив сам Архімед. Той експериментував з нею, коли йому бракувало прямих спостережень над зірками й планетами. У наші дні такий прилад називають «механічним аналоговим комп’ютером». Римляни із подивом дивилися на чудернацьку іграшку, не підозрюючи про значення цієї моделі.

У ІІ столітті до нашої ери розквіт грецької науки припинився. Математика стала грою розуму для обраних, і приплив талановитої молоді в ряди вчених скоротився. Саме тому набагато зменшилася кількість великих астрономів і геометрів, що живуть одночасно й спонукують один одного до нових відкриттів. Тепер юнаки осягали науку за книгами, які роками або й навіть десятиліттями припадали пилом в бібліотеках в очікування гідного читача. Так зникло могутнє вчене співтовариство Еллади; залишився негустий розсип геніїв, не здатних жити без наукової творчості й здатних займатися цим поодинці.

Найяскравішим представником цього покоління є Гіппарх із Нікеї, що жив між 190 і 120 роками до нашої ери. Замолоду він побував в Александрії, але не зустрів там великих учених і оселився на острові Родос, побудувавши там астрономічну обсерваторію. Через піввіку після смерті Архімеда Гіппарх взяв його справу у свої руки. Але підхід Гіппарха до математики був трохи іншим. Він не надавав великого значення геометричним побудовам і доказам, а намагався по можливості замінити їх розрахунками. Так, Гіппарх заклав основи алгебри й алгебричної (тобто обчислювальної) астрономії. Це було за 1000 років до появи слова «алгебра» і за 700 років до винаходу позиційного запису чисел. Це зумовило низку значних відкриттів у галузі астрономії. Завдяки цьому в науці з’явилася модель епіциклів. Питання про те, чи справедлива гіпотеза про епіцикли, Гіппарху, мабуть, на думку не спадало. Вона дає змогу вірно передбачати. Отже, вона вірна! Заперечити проти такого міркування зміг би тільки Ньютон, озброєний законом всесвітнього тяжіння й іншими аксіомами фізики. Але в античному світі цих аксіом ніхто не знав… Однак є незаперечним той факт, що це був успіх обчислювальної астрономії у вимірі космічних відстаней. Наступний великий успіх – вимірювання відстаней до планет – прийшов до астрономів лише в XVII столітті, після появи телескопів і точних маятникових годинників.

Гіппарх

Отже, Гіппарх перший підійшов до створення алгебри й тригонометрії. Але засновником алгебри буде більш справедливо вважати Діофанта з Александрії: він перший почав ставити й розв’язувати алгебраїчні рівняння. Було це в ІІІ столітті нашої ери, коли Римська імперія переживала першу кризу, а підпільна християнська релігія поширилася на все Середземномор’я. Антична вченість збереглася лише на деяких острівцях, як, наприклад, Александрійська бібліотека, що зазнала величезних збитків під час пожежі ще в 47 році до нашої ери. Але математикам було легше відновити втрачені знання, ніж історикам або літературознавцям. Тому в епоху Діофанта жодне досягнення геометрії ще не було забуте. В арифметиці ж з’явилося щось нове, не відоме ні Евкліду, ні Ератосфену – від’ємні (негативні) числа.

Для майбутньої алгебри Гіппарх залишив цінну спадщину: перші таблиці довжин хорд, що стягують дуги даної кутової міри. Нині ми називаємо їх таблицями синусів; але це слово з'явилося значно пізніше.

Діофант уже вільно працював з ними; він знав, що «мінус, помножений на мінус, дає плюс». Можливо, що саме він угадав це неочевидне правило – хоча зрозуміти його геометричний зміст змогли лише в XVII столітті, коли європейські математики звикли до комплексних чисел. Але поняттям нуля й позиційним записом цілих чисел Діофант не володів. Книга Діофанта «Арифметика» стала основою алгебри й теорії чисел. У ній автор вивчав розв’язки рівнянь-багаточленів у цілих числах. Він розв’язав знамените рівняння Піфагора: х²+ y² = z² – і таким шляхом знайшов усі прямокутні трикутники із цілими катетами й цілою гіпотенузою.

Звичайно, Діофант намагався розв’язати й наступне рівняння цього типу: х³ + у³ = z³ – але жодної потрібної трійки чисел він не знайшов. Тільки через 14 століть випадково вціліла книга Діофанта з Александрії потрапила до рук його гідного спадкоємця – П’єра де Ферма з Тулузи. У результаті – народилася Велика теорема Ферма…

Відкриття Гіппарха збереглися не випадково. Адже астрономія в усі століття була популярнішою за математику – через її спорідненість з астрологією, що завжди процвітала. У Гіппарха через 300 років знайшовся гідний учень – Клавдій Птолемей. Він склав вдалий підручник: «Мегале Математике Синтаксис», де виклав систему Гіппарха з усіма необхідними обгрунтуваннями. Цей посібник набув величезної популярності серед астрономів і астрологів і став урівень із великою книгою Евкліда. У перекладі з грецької книга Птолемея має назву «Правила Великого Вчення».

Після завоювання Єгипту римлянами в 31 році до нашої ери велика грецька александрійська цивілізація занепала. Ціцерон з гордістю твердив, що, на відміну від греків, римляни не мрійники, а тому застосовують свої математичні знання на практиці, маючи з них реальну користь. Однак у розвиток самої математики внесок римлян був незначний. Римська система числення грунтувалася на громіздких позначеннях чисел. Від неї залишились лише деякі числа, але й ними користуються не математики (наприклад, 1 – І, 5 – V, 10 – Х), а історики для позначення століть, та письменники для позначення розділів.

Довгу назву книги Птолемея («Мегале Математике Синтаксис») араби скоротили до першого слова: вийшла «Велич» – «Альмагест». Новим європейцям сподобалося інше слово – «Вчення», або математика. Саме так ми з ХІІ століття називаємо геометрію, арифметику, алгебру й усі науки, які пізніше народилися на зіткненні зі строгою античною мудрістю.

Під час занепаду математики в Європі спадкоємцями греків щодо збереження та розвитку цієї науки стали індійці. Математики Індії не займалися доказами, але вони ввели оригінальні поняття й ряд ефективних методів. Саме вони вперше ввели нуль і як кардинальне число, і як символ відсутності одиниць у відповідному розряді. Махавіра (850 р. н. е.) встановив правила операцій з нулем, гадаючи, однак, що ділення числа на нуль залишає число незмінним. Правильну відповідь для випадку ділення числа на нуль дав Бхаскара (1114 р.), йому ж належать правила дій над ірраціональними числами. Саме індійці ввели поняття від’ємних чисел для позначення боргів. Їхнє раннє використання ми знаходимо в Брахмагупти (бл. 630 р.). Аріабхата (476 р.) пішов далі Діофанта у використанні нескінченних дробів при розв’язанні неозначених рівнянь.

Наша сучасна система числення, заснована на позиційному принципі запису чисел і нуля як кардинального числа й використанні позначення порожнього розряду, називається індо-арабською. На стіні храму, побудованого в Індії близько 250 року до нашої ери, виявлено кілька цифр, що нагадують своїми обрисами наші сучасні цифри.

Таблиця еволюції індійських цифр у сучасні

Близько 800 року індійська математика сягнула Багдада. Найбільших успіхів досяг согдієць Мухаммед ібн Муса аль-Хорезмі (тобто родом з Хорезма – з берегів Сирдар’ї, 787–850). Головна книга Хорезмі названа скромно: «Книга про відновлення й протиставлення», тобто про техніку розв’язування алгебричних рівнянь. Арабською мовою ця книга має назву «Кітаб аль-джебр валь-мукабала» (830). Пізніше при перекладі на латину арабська назва трактату була збережена, і з часом «аль-джебр» скоротили до «алгебри». Інше відоме слово «алгоритм», тобто чітке правило розв’язування задач певного типу, пішло від імені «аль-Хорезмі».

Аль-Хорезмі

Третій відомий термін, уведений у математику знаменитим согдійцем аль-Хорезмі, – це «синус», хоча з уведенням цього терміна трапився курйоз. Геометричний зміст синуса – це половина довжини хорди, що стягує дану дугу. Хорезмі назвав цю пряму красиво й точно: «тятива лука». Арабською це звучить як «джейяб». Але в арабському алфавіті є тільки приголосні букви; голосні ж зображуються «огласовками» – рисками, на зразок наших лапок і ком. Людина, мало обізнана з цим, читаючи арабський текст, нерідко плутає огласовки; так трапилося і під час перекладання книги Хорезмі латиною. Замість «джейяб» – «тятива» – перекладач прочитав «джіба» – «бухта»; латиною це пишеться «sinus». З того часу європейські математики використовують це слово, не переймаючись його справжнім змістом.

Інший видатний арабський математик Ібн аль-Хайсам (бл. 965-1039 рр.) відкрив спосіб розв’язування квадратних і кубічних алгебричних рівнянь. Арабські математики, у тому числі й Омар Хайям, уміли розв’язувати деякі кубічні рівняння за допомогою геометричних методів, використовуючи конічні перетини.

Омар Хайям (1048–1131) з Нішапура, більш відомий нині як чудовий поет, відкрив кілька способів наближеного обчислення кубічних коренів. Це була блискуча ідея: дістатися невідомих чисел, використовуючи добре знайомі криві! Як тільки в XVII столітті Рене Декарт додав до неї другу ідею – описати будь-яку криву за допомогою чисел – народилася аналітична геометрія, у якій розв’язування алгебричних рівнянь поєднано з теорією чисел і з наочною геометрією. Передчуваючи цей зв’язок, Омар Хайям провів багато цікавих обчислювальних дослідів. Він знайшов наближені способи ділення кола на 7 або 9 рівних частин; склав докладні таблиці синусів і з великою точністю обчислив число π.

Омар Хайям

Арабські астрономи ввели в тригонометрію поняття тангенса й котангенса. Насреддін Tyci (1201–1274) у «Трактаті про повний чотирикутник» систематично виклав пласку й сферичну геометрії й першим розглянув тригонометрію окремо від астрономії.

І все-таки найважливішим внеском арабів у математику стали їхні переклади й коментарі до великих творів греків. Завдяки їм Європа знову познайомилася із цими працями після завоювання арабами Північної Африки й Іспанії, а пізніше праці греків були перекладені латиною.