Читать книгу Видатні наукові відкриття. Дитяча енциклопедія - Группа авторов - Страница 6

Аналітична, або координатна, геометрія була створена незалежно П’єром Ферма (1601–1665) і Рене Декартом (1596–1650) для того, щоб розширити можливості Евклідової геометрії в задачах на побудову. Однак Ферма розглядав свої роботи лише як переформулювання твору Аполлонія. Справжнє відкриття – усвідомлення всієї потужності алгебричних методів – належить Декарту. Евклідова геометрична алгебра для кожної побудови вимагала винаходу свого оригінального методу й не могла запропонувати кількісну інформацію, яка є необхідною для науки. Декарт вирішив цю проблему: він формулював геометричні задачі алгебрично, розв’язував алгебричне рівняння й лише потім будував отриманий розв’язок – відрізок, що мав відповідну довжину. Власне, аналітична геометрія виникла, коли Декарт почав розглядати невизначені задачі на побудову, розв’язками яких є не одна, а кілька можливих довжин.

Декарт не любив довгих розрахунків. Він віддавав перевагу наочно-геометричним міркуванням і хотів працювати цим методом з будь-якими складними кривими – а не тільки із прямими й колами, як це робив Евклід. Для цієї роботи корисно вміти складати, віднімати й множити криві між собою – так само, як ми це робимо із числами. І Декарт винайшов такий спосіб, помітивши, що багато кривих на площині задаються простими рівняннями – після того, як ми введемо на площині координати, зобразивши кожну точку двома числами (х, у). Наприклад, параболу можна задати рівнянням b = x², або рівнянням x = √b.

І взагалі: кожне рівняння з двома невідомими F (х, у) = 0 задає на координатній площині якусь криву! Але над рівняннями легко здійснювати будь-які арифметичні операції. Всі вони набувають геометричного сенсу, коли ми креслимо або подумки уявляємо криву, що відповідає даному рівнянню.

Рене Декарт

Таким чином, плоскі криві можна описувати на одній із двох еквівалентних мов: наочно-геометричній, або аналітичній – через формули. Двобічний «словник», що перекладає фрази однієї з цих мов на рівнозначні фрази іншої мови, Декарт назвав аналітичною геометрією.

Він помітив, що методи цієї науки неважко перенести й у простір. Для цього досить зобразити будь-яку точку простору трійкою чисел (х, у, z). Після цього будь-яке рівняння із трьома невідомими F (х, у, z) = 0 задає у просторі якусь поверхню, а перетинання двох поверхонь задає криву в просторі. Щоправда, незрозуміло: чи всяку криву в просторі можна задати системою з двох рівнянь із трьома невідомими? Він створив так званий «Декартів лист» – алгебричну криву третього степеня. Класифікувати ж усі плоскі криві цього степеня Декарт «полінувався»: це вимагало складних обчислень, які пізніше виконав Ньютон.

Декарт був не тільки видатним математиком, але й філософом. Він не брав на віру вчення Біблії та античних авторів. Саме йому належать слова: «Єдине, в чому я певен, це те, що я існую» або «Мислю, отже існую».

Декарт не став усерйоз розвивати аналітичну геометрію тривимірного простору: він не міг ще знати, які задачі будуть там найцікавішими й корисними. І звичайно, Декарт жодним словом не згадав про чотиривимірний або багатовимірний простір, точки якого зображуються наборами із чотирьох або більше чисел: (х, у, z, t,…). Аналітичний підхід найбільш зручний для дослідження багатовимірних просторів; але в середині XVII століття будь-яке згадування про таку можливість було б розцінене як нісенітниця або як єресь. Декарт любив життєві зручності й не хотів зазнати долі Галілея, засудженого церквою за занадто сміливі думки про наукове пізнання природи.

Ще спокійніше прожив своє життя великий сучасник і співвітчизник Декарта – П’єр Ферма з Тулузи (1601–1665). За спеціальністю він був юристом, а математикою займався на дозвіллі, читаючи книги класиків та сучасників і міркуючи про задачі, які ті не помітили або не зуміли розв’язати. Зрозуміло, що за такого способу роботи Ферма в жодній галузі науки не був першим. У математичний аналіз він увійшов слідом за Архімедом і Кеплером, в аналітичну геометрію – слідом за Декартом, у теорію ймовірностей – слідом за Паскалем, у теорію чисел – слідом за Діофантом. Але в кожному випадку Ферма додавав до вже готової або щойно народженої науки такі важливі відкриття, що перевершити його результати змогли тільки генії через багато десятиліть.

Аналітична геометрія повністю поміняла ролями геометрію й алгебру. Як зауважив великий французький математик Ж. Л. Лагранж, «поки алгебра й геометрія рухалися кожна своїм шляхом, їхній прогрес був повільним, а використання обмеженим. Але коли ці науки об’єднали свої зусилля, вони запозичили одна в одної нові життєві сили й відтоді швидкими кроками попрямували до досконалості».

Велику заслугу Ферма перед наукою вбачають звичайно у введенні ним нескінченно малої величини в аналітичну геометрію, подібно до того, як це трохи раніше було зроблено Кеплером стосовно геометрії давніх. Він зробив цей важливий крок у своїх працях 1629 року про найбільші й найменші величини – з того почалися ті дослідження Ферма, які стали однією з найважливіших ланок в історії розвитку не тільки вищого аналізу взагалі, але й аналізу нескінченно малих величин зокрема.

П’єр Ферма

Наприкінці двадцятих років XVII століття Ферма відкрив методи знаходження екстремумів і дотичних, які, із сучасної точки зору, зводяться до пошуку похідної. Систематичні методи обчислення площ до Ферма розробив італійський учений Кавальєрі. Але вже в 1642 році Ферма відкрив свій метод обчислення площ, обмежених будь-якими «параболами» і будь-якими «гіперболами». Він довів, що площа необмеженої фігури може бути кінцевою.

Ферма одним із перших взявся за розв’язання задачі випрямлення кривих, тобто за обчислення довжини їхніх дуг. Він зумів звести цю задачу до обчислення певних площ.

Таким чином, поняття «площі» у Ферма набувало вже досить абстрактного характеру. До визначення площ зводилися задачі на випрямлення кривих. Обчислення складних площ він зводив за допомогою підстановок до обчислення більш простих площ. Залишався тільки крок, щоб перейти від площі до ще більш абстрактного поняття «інтеграл».

У Ферма є багато інших досягнень. Він першим прийшов до ідеї координат і створив аналітичну геометрію. Він розв’язував також задачі із теорії ймовірностей. Але Ферма не обмежувався однією лише математикою, він вивчав й фізику, де йому належить відкриття закону поширення світла в середовищах, причому спочатку він обгрунтував це математично, а потім фізично.

Наприклад, Ферма зацікавився простою задачею: за яких умов функція досягає мінімуму або максимуму в даній точці? З’ясувалося, що необхідна проста умова: похідна від функції в цій точці повинна дорівнювати нулю. Нині цей факт відомий кожному старшокласникові: він допомагає будувати графіки досить складних функцій. Але Ферма спробував поширити своє відкриття на функції, що залежать від багатьох змінних, – і зробив чудове фізичне відкриття: світло рухається по такій траєкторії, на якій похідна за часом дорівнює нулю. Отже, час руху світла вздовж цієї траєкторії – мінімальний! Лише через сто років П’єр Мопертюі й Леонард Ейлер відкрили аналог принципу Ферма в механіці, що стало першим кроком до об’єднання механіки з оптикою в межах квантової теорії.

Теорію чисел Ферма будував майже на самоті: з усіх його сучасників тільки англієць Джон Валліс цікавився нею. Але Ферма мав важливу перевагу перед Валлісом і перед своїм античним попередником – Діофантом. Він добре знав аналітичну геометрію й оперував рівняннями так само вільно, як числами. Тому він легко довів «малу теорему Ферма» і довідався, що існують кінцеві поля залишків – системи чисел, улаштовані (у змісті арифметики) ще зручніше, ніж множина цілих чисел.

Розвиваючи цей успіх, Ферма зацікавився Піфагоровими трійками чисел – цілими розв’язками рівняння (х² + у² = z²). Чи існують цілі розв’язки рівнянь (Xⁿ + у^п = zⁿ) при п > 2? Діофант не знайшов жодного рішення для п = 3; Ферма довів, що таких розв’язків не може бути. Залишалося узагальнити метод Ферма для інших простих показників: 5, 7, 11… На жаль, Ферма не став проводити в цьому разі докладних розрахунків – і тому не помітив дивних алгебричних перешкод на своєму шляху. Наприклад, при n = 5 необхідно використовувати комплексні числа: це першим помітив у кінці XVIII століття Адрієн Лежандр, а Ферма все життя сумнівався в корисності таких чисел! Далі, при п = 23 доведення «великої теореми Ферма» натрапило на неоднозначне розкладання комплексних чисел певного вигляду на прості множники. Цю нову революцію в алгебрі викликав Ернст Куммер у середині ХІХ століття…

Куммер, займаючись Великою теоремою Ферма, побудував арифметику для цілих алгебричних чисел певного вигляду. Це дало йому змогу довести Велику теорему для деякого класу простих показників n. У наш час справедливість Великої теореми перевірена для всіх показників n менше 5500. Зазначимо також, що Велика теорема пов’язана не тільки з алгебричною теорією чисел, але й з алгебричною геометрією, що нині інтенсивно розвивається. Але Велика теорема в загальному вигляді ще не доведена, хоча існує багато варіантів її обгрунтування, в тому числі й на філософському рівні. Через це тут можна сподіватися на нові відкриття.

У цілому діяльність Ферма (як і діяльність Архімеда) можна порівняти з роботою повноцінної академії наук. Але, на жаль, за життя Ферма таких академій ще не було! Не було й наукових журналів для публікації нових відкриттів. Тому всі великі вчені Європи дізнавалися про нові досягнення своїх колег із взаємного листування. Деякі аматори математики (як абат Мерсенн у Парижі) зробили таке листування своїм головним внеском у науку. Вони регулярно повідомляли всіх своїх кореспондентів про те, які факти відкрили їхні далекі колеги. Якщо новий факт привертав чиюсь увагу, то від автора вимагали письмового підтвердження. У противному разі повідомлення зависало в повітрі.

Такий «аматорський» стиль колективної роботи в науці був неминучий і навіть зручний, поки в усій Європі одночасно працювали два-три десятки великих учених. Як тільки їх стало більше – загальну роботу довелося організовувати за допомогою наукових установ. Цей перелом відбувся в 60-ті роки XVII століття. В 1662 році про своє народження оголосило Королівське товариство в Лондоні, а в 1666 році за його зразком виникла Паризька Академія наук. Вони відразу почали публікувати звіти про свої збори й про ті відкриття, які там обговорювалися. Із цього моменту науковий інтернаціонал європейців почав розвиватися швидко й невтримно. У рік смерті Ферма в науку ввійшов найславетніший учений XVII століття – Ісаак Ньютон.