Читать книгу Видатні наукові відкриття. Дитяча енциклопедія - Группа авторов - Страница 8

Леонарда Ейлера (1707–1783) часто називають ідеальним математиком XVII століття. Це був недовгий час Просвітительства, що вклинився між епохами жорстокої нетерпимості. Усього за шість років до народження Ейлера в Берліні була привселюдно спалена остання відьма. А через шість років після смерті Ейлера – в 1789 році – у Парижі спалахнула революція.

Ейлеру пощастило: він народився в маленькій тихій Швейцарії, куди з усієї Європи приїздили майстри й учні, які не бажали витрачати дорогоцінний робочий час на цивільні смути або релігійні суперечки. Так переселилася в Базель із Голландії і родина Бернуллі: унікальне сузір’я наукових талантів на чолі із братами Якобом і Йоганном. Випадково юний Леонард потрапив у цю компанію й невдовзі став гідним членом базельської купки геніїв.

Але коли вчені орлята підросли, з’ясувалося, що у Швейцарії бракує місця для їхніх гнізд. У далекій Росії, за задумом Петра I і за проектом Лейбніца, була заснована в 1725 році Петербурзька Академія наук. Російських учених не вистачало, і трійка друзів: Леонард Ейлер із братами Данилом і Микоою Бернуллі (синами Йоганна) вирушили туди в пошуках щастя й наукових подвигів.

Зростання авторитета Ейлера знайшло своєрідне відбиття в листах до нього його вчителя Йоганна Бернуллі. В 1728 році Бернуллі звертається до «найученішого й найобдарованішого юнака Леонарда Ейлера», в 1737 році – до «славнозвісного й найдотепнішого математика», а в 1745 році – до «незрівнянного Леонарда Ейлера – голови математиків».

Тільки геній міг, виконуючи всю ту роботу, що запропонували йому в Академії, не забути про велику науку. За 15 років свого першого перебування в Росії Ейлер встиг написати перший у світі підручник з теоретичної механіки (не вчити ж простого студента за складними книгами Ньютона!), а також курс математичної навігації й багато інших праць. Писав Ейлер легко й швидко, простою й зрозумілою мовою. Так само швидко він вивчав нові мови, але смаку до літератури не мав. Математика поглинала весь його час і сили.

Та раптом він помітив, що йому ні з ким нарівні поговорити про свою науку, та й Росія не була основним центром розвитку наук. Тож Ейлер переїхав до Берліна, де молодий король Фрідріх ІІ Прусський вирішив створити науковий центр, не слабкіший за паризький. Там учений провів чверть століття, і цей час вважав кращим у своєму житті.

Леонард Ейлер

Значний внесок Ейлер зробив і в геометрію. Він шукав у ній не стільки нові витончені факти, скільки загальні теореми, що не укладаються в догматику Евкліда. Наприклад, теорема про зв’язок між кількістю вершин, ребер і граней опуклого багатогранника:

B – P + Г = 2.

Цю формулу знав ще Декарт; але він не залишив її доведення. Ейлер легко знайшов доведення цієї теореми, а потім замислився: якщо формула справедлива для всіх опуклих тіл, то яку ж властивість вона виражає? Можливо, властивість сфери, у яку можна деформувати будь-який опуклий багатогранник? Якщо так, то ця формула навряд чи справедлива для інших замкнутих поверхонь – на зразок тора або кренделя! Перевірка показала: для деяких карт на торі вираз B – P + Г набуває значення 0, а на кренделі – значення (-2). Але довести ці тотожності для всіх карт на складних поверхнях Ейлер не зумів і залишив цю проблему нащадкам. Удача прийшла в 1890-ті роки до Анрі Пуанкаре, який створив науку топологію – розділ математики, що вивчає топологічні властивості фігур, тобто властивості, що не змінюються при будь-яких деформаціях.

Але більша частина робіт Ейлера присвячена аналізу. Ще 1743 року він видав п’ять мемуарів, із них чотири з математики. Одна із цих праць просто чудова: в ній указується на спосіб інтегрування раціональних дробів шляхом розкладання їх на частки дробу й, крім того, викладається звичайний тепер спосіб інтегрування лінійних звичайних рівнянь вищого порядку з постійними коефіцієнтами. Взагалі, Ейлер так спростив і доповнив цілі великі відділи аналізу нескінченно малих, інтегрування функцій, теорії рядів, диференціальних рівнянь, які були розпочаті вже до нього, що вони набули приблизно такої форми, яка великою мірою притаманна їм і тепер. Ейлер, крім того, почав цілий новий розділ аналізу – варіаційне обчислення. Це його починання незабаром підхопив Ж. Л. Лагранж, що започаткував нову науку.

Та найвищим досягненням Ейлера в математиці є доведення основної теореми алгебри, яке було опубліковане в 1751 році в роботі «Дослідження про уявні корені рівнянь». Доведення цієї теореми мало найбільш алгебричний характер. Пізніше його базові ідеї повторювалися й поглиблювалися іншими математиками. Так, методи дослідження рівнянь розвивав спочатку Лагранж, а потім вони ввійшли складовою частиною в теорію Е. Галуа.

Основна теорема полягала в тому, що всі корені рівняння належать полю комплексних чисел. Для доведення цього Ейлер установив, що всякий багаточлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти в добуток дійсних лінійних або квадратичних множників.

Значення чисел, що не є дійсними, Ейлер називав уявними і вказував на те, що звичайно вважають їх такими, які попарно в сумі й добутку дають дійсні числа. Отже, якщо уявний корінь дорівнюватиме 2t, то це дасть t дійсних квадратичних множників у поданні багаточлена. Ейлер пише: «Тому говорять, що кожне рівняння, яке не можна розкласти на дійсні прості множники, має завжди дійсні множники другого степеня. Однак ніхто, наскільки я знаю, ще не довів досить чітко істинність цієї думки; отже, я постараюся довести це таким чином, щоб охопити всі без винятку випадки».

Такої ж концепції потім дотримувалися Лагранж, Лаплас і деякі інші послідовники Ейлера. Не згодний з нею був лише К. Ф. Гаусс, про якого йтиметься далі.

Ейлер же сформулював три теореми, що випливають із властивостей безперервних функцій.

1. Рівняння непарного степеня має щонайменше один дійсний корінь. Якщо таких коренів більше одного, то кількість їх не є парною.

2. Рівняння парного степеня або має парну кількість дійсних коренів, або не має їх зовсім.

3. Рівняння парного степеня, у якого вільний член від’ємний, має щонайменше два дійсні корені різних знаків.

Слідом за цим Ейлер довів теореми про розкладність на лінійні й квадратичні дійсні множники багаточленів з дійсними коефіцієнтами.

При доведенні основної теореми Ейлер установив дві властивості алгебричних рівнянь:

1. Раціональна функція коренів рівняння, що набуває при всіх можливих перестановках коренів А різних значень, задовольняє рівнянню степеня А, коефіцієнти якого виражаються раціонально через коефіцієнти даного рівняння.

2. Якщо раціональна функція коренів рівняння інваріантна (тобто не змінюється) щодо перестановок коренів, то вона раціонально виражається через коефіцієнти вихідного рівняння.

П. С. Лаплас, слідом за Ейлером і Лагранжем, допускає розкладання багаточлена на множники. При цьому Лаплас доводить, що вони будуть дійсними. Таким чином, усі три вчені довели основну теорему алгебри, спираючись на припущення існування поля розкладання багаточлена на множники.

Після повернення в Росію, в 70-ті роки XVII століття навколо Ейлера виросла Петербурзька математична школа, яка більш ніж наполовину складалася з російських вчених. Тоді ж завершилася публікація головної книжки його життя – «Основи диференціального й інтегрального числень», за якою вчилися всі європейські математики з 1755 по 1830 рік. «Основи» вигідно відрізняються від «Початків» Евкліда й від «Принципів» Ньютона. Звівши струнку будову математичного аналізу від самого фундаменту, Ейлер не прибрав ті риштовання та сходинки, якими він сам підіймався до своїх відкриттів. Багато цікавих здогадок і початкові ідеї доведень збережені в тексті – незважаючи на помилки, які в них трапляються, – аби вони були наукою для всіх спадкоємців Ейлеревої думки. Це був перший підручник, призначений не для послідовників, а для дослідників: таким був заповіт Ейлера й усієї епохи Просвітительства, адресований прийдешнім століттям і народам.

Карла Фрідріха Гаусса (1777–1855) вважають останнім латиністом серед великих учених Європи. Він з гордістю почував себе вихованцем епохи Просвітительства. Справді, в яку іншу епоху талановитий син садівника й водопровідника міг би удостоїтися персональної стипендії від герцога Брауншвейзького й бути прийнятим у Геттінгензький університет? Цей аванс Гаусс щедро повернув батьківщині: математична школа в Геттінгені стала найсильнішою в Німеччині й була такою понад сто років – поки до влади не прийшов Гітлер.

Математичний талант Гаусса виявився ще в ранньому дитинстві – і звичайно, першим його захопленням стала арифметика. В дев’ять років він під час шкільного уроку… відкрив формулу суми арифметичної прогресії. Пізніше Гаусс переніс всі теореми арифметики натуральних чисел на багаточлени й на цілі комплексні числа. У підсумку в алгебрі з’явилося загальне поняття кільця. Одночасно з’ясувалося, що множина простих чисел виду (4k + 1) нескінченна і що всі їх можна уявити у вигляді суми двох квадратів. Це був перший новий факт такого роду, відкритий із часів Ератосфена. Пізніше учень Гаусса – Петер Діріхле – набагато перевершив учителя, довівши, що в будь-якій арифметичній прогресії міститься нескінченна множина простих чисел (якщо перший член і різниця цієї прогресії взаємно прості).

Карл Фрідріх Гаусс

Гаусс до старості зберіг юнацьку жадобу до знань і величезну допитливість. Наприклад, у 62 роки він швидко вивчив російську мову, щоб самому розібратися в працях свого колеги – Миколи Лобачевського. Але звичайно Гаусс уникав читати чужі статті або книги. Йому вистачало формулювання основного результату; доведення він придумував сам, заодно відкриваючи багато фактів, на які не звернув уваги сам автор. Така звичка сформувалась замолоду, коли 19-літній Гаусс вирішив сам освоїти всі досягнення й методи алгебри, не пропускаючи жодного яскравого додатка до цієї древньої науки.

Гаусса нерідко називають спадкоємцем Ейлера. Вони обидва мали неформальне звання «король математиків» і були вшановані посмертним шанобливим жартом: «Він перестав обчислювати й жити».

Результат був вражаючий. Гаусс знайшов алгебричне доведення нерозв’язності багатьох задач на побудову циркулем і лінійкою, які непокоїли ще Піфагора. Ключова ідея Гаусса дуже проста: треба зобразити точки площини комплексними числами (як почав робити Ейлер), і тоді геометрична задача перетвориться на алгебричну! Але як довести нерозв’язність алгебричної задачі?

Гаусс помітив, що будь-яка побудова циркулем і лінійкою зводиться алгебричною мовою до розв’язування ланцюжка квадратних рівнянь. А кожна «непокірлива» задача на побудову зводиться до розв’язування рівняння-багаточлена степеня більше, ніж 2. Чому ж розв’язування такого рівняння іноді не зводиться до розв’язування квадратних рівнянь? Отут мало одних розрахунків; потрібно вводити нові математичні поняття, що відбивають суть справи.

Гаусс винайшов два таких поняття: поле й векторний простір. У підсумку векторна алгебра, давно звична фізикам і геометрам, стала самостійною алгебричною наукою. Виявилося, що комплексне число, досяжне за допомогою циркуля й лінійки, лежить у деякому полі розмірності 2k, а всякий корінь нерозкладного багаточлена степеня k лежить у полі розмірності k. Якщо число, що цікавить нас, лежить у тім і в іншому полі – виходить, число 2k ділиться на k; тобто саме число k є степенем двійки.

Із цього міркування випливає, що корінь будь-якого нерозкладного багаточлена третього степеня не можна побудувати циркулем і лінійкою. Наприклад, не вдається розділити на три рівні частини кут в 60°, або побудувати трикутник по трьох нерівних медіанах. Така ж заборона перешкоджає діленню кола на 7, 9, 11, 13 або 25 рівних частин. Але для ділення на 5 або на 17 частин заборони немає, оскільки числа 5–1 = 4 і 17 – 1 = 16 суть степені двійки. Тому елліни знайшли спосіб побудови правильного п’ятикутника, а Гауссу вдалося побудувати правильний 17-кутник. Він заповів зобразити цю фігуру на своєму надгробку – що й було зроблено. Однак проблема «квадратури кола» Гауссу не скорилася.

До 24 років Гаусс увійшов до числа найвідоміших математиків Європи. Але для повної слави потрібно було відзначитися в галузі небесної механіки. І тут доля підкинула Гауссу гідну задачу. У першу ніч 1801 року астрономи виявили на небі малу планету Цереру, чия орбіта лежить між Марсом і Юпітером. Після деяких спостережень планету загубили, і астрономи звернулися по допомогу до математиків. Гаусс першим відгукнувся на цей заклик: звернувшись до даних трьох спостережень, він зумів обчислити всі майбутні положення Церери. Через піввіку теорія збурень Гаусса дозволила астрономам розрахувати положення на небі ще ніким не баченої планети – Нептуна.

У 30 років Гаусса вважали вже «королем» європейських математиків. Суперників у нього не було, але не було і матеріального добробуту. Всесильний Наполеон тоді успішно грабував всю Європу, а Ганновер – особливо, оскільки це була вотчина короля непокірливої Англії. Молода дружина Гаусса померла. Тільки пошук нових таємниць природи (за допомогою математики) відволікав ученого від знегод.

Чудовий успіх в області геометричних побудов спонукав Гаусса до пошуків нових геометричних доведень. Він захопився старою, як світ, загадкою п’ятого Евклідового постулату про паралельні прямі. В 1818 році Гаусс здогадався, що цей постулат може мати інше формулювання – але не на площині, а на інших поверхнях, не відомих Евкліду.

До кінця життя Гаусс мовчав про свої відкриття в галузі основ геометрії – навіть після того, як їх повторили більш молоді математики: Микола Лобачевський і Янош Больяї. У чому ж річ? Дещо можна зрозуміти з листів Гаусса до його друзів; про інше доводиться здогадуватися. Щоб переконати науковий світ у незалежності постулату Евкліда, треба пред’явити наочну модель, де виконані всі інші аксіоми, а ця замінена чимось іншим. Наприклад, паралельних прямих може зовсім не бути, якщо будь-які дві прямі перетинаються. Таке є на сфері, де роль прямих відіграють кола найбільшого радіуса. Пізніше цю геометрію назвали ім’ ям Ріманна, але на початку ХІХ століття її ніхто не прийняв би всерйоз. Інший варіант геометрії – з багатьма прямими, що проходять через одну точку й не перетинають дану пряму, – називають геометрією Лобачевського (її ми розглянемо трохи нижче). Цей варіант геометрії реалізується на поверхні з постійною негативною кривизною: на так званій псевдосфері, що утворюється при обертанні трактриси («кривої переслідування», схожої на гіперболу) навколо її осі. Гаусс або не зміг побудувати псевдосферу, або не помітив її унікальних властивостей; а без цього він не зважився подати нову «неприродну» геометрію широкій публіці.

Праці Гаусса тривалий час були недосяжним взірцем математичних відкриттів. Один із творців неевклідової геометрії Я. Больяї називав ці відкриття «найблискучішими відкриттями нашого часу або навіть усіх часів». А норвезький математик Н. Абель писав: «Навіть якщо Гаусс найславетніший геній, він, вочевидь, не намагався, щоб усі це відразу збагнули». У зв'язку з цим доречно згадати, що праці Гаусса надихнули Абеля на побудову багатьох визначних теорем.

Але чому Гаусс не повідомив про свою гіпотезу про паралельні прямі хоча б у вузькому колі математиків? Адже саме так зробив Піфагор, виявивши несумірність діагоналі квадрата з його стороною! Імовірно, Гаусс міркував так: якщо постулат про паралельні прямі є незалежним від інших аксіом, то зникає єдина наука геометрія! Вона розділяється принаймні на три галузі – відповідно до трьох варіантів постулату про паралельні (за Евклідом, за Ріманном й за Лобачевським). А що далі? Чи не продовжиться розгалуження геометричної науки необмежено – після кожної нової аксіоми? Чи не пошириться цей процес на всю математику? І хто захоче працювати в такій роздробленій науці?

Мабуть, так міркував Гаусс у другій половині свого життя – і мовчав, не в змозі відповісти ні собі, ні іншим на це питання. Важко відповісти на нього й нині, у ХХІ столітті – особливо після того, як неясний здогад Гаусса перетворився в 1931 році на чітку теорему Геделя про неповноту будь-якої формальної системи аксіом.

Але вченому треба жити й працювати – навіть коли його розум не дає відповіді на ті питання, що його непокоять. Після 1820 року Гаусс захопився геометрією довільних гладких поверхонь. Він дав визначення їхньої кривизни й знайшов несподіваний зв’язок кривизни з Ейлеровою характеристикою поверхні. Займався Гаусс і математичною фізикою: він будував математичну теорію магнетизму, в той час як в Англії Фарадей винаходив способи технічного використання цієї природної сили.

Треба сказати, що 30 березня 1796 року, в день, коли був побудований правильний 17-кутник, Гаусс почав вести щоденник, який невдовзі став справжнім літописом його чудових відкриттів. Наступний запис у щоденнику з’явився вже 8 квітня. У ньому повідомлялося про доведення теореми квадратичного закону взаємності, який він назвав «золотим». Окремі частини цього доведення довели Ферма, Ейлер, Лагранж. Так, Ейлер сформулював загальну гіпотезу, неповне доведення якої дав А. М. Лежандр. А 8 квітня Гаусс знайшов повне доведення теореми Ейлера. Втім, Гаусс ще не знав про роботи своїх великих попередників. Весь нелегкий шлях до «золотої теореми» він пройшов самостійно!

У 1798 році Гаусс підготував дисертацію, присвячену доведенню основної теореми алгебри, а вже 1801 року побачили світ знамениті «Арифметичні дослідження» Гаусса. Ця грандіозна книга (понад 500 сторінок великого формату) містить основні результати його міркувань. «Арифметичні дослідження» вплинули на подальший розвиток теорії чисел і алгебри. Закони взаємності дотепер посідають одне із центральних місць в алгебричній теорії чисел.

К. Ф. Гаусс залишив після себе відразу чотири доведення основної теореми алгебри. Першому доведенню він присвятив випущену в 1799 році докторську дисертацію на цю тему. Повз увагу Гаусса не пройшли «білі плями» в роботі Ейлера, а головне, він покритикував саму постановку питання, коли заздалегідь передбачалося існування коренів рівнянь. Перше доведення Гаусса було аналітичним. У другому доведенні (1815) знаменитий математик знову повернувся до критики доведення основної теореми алгебри за допомогою міркування, коли заздалегідь передбачається існування коренів рівняння.

Гаусс так пояснив у вступному параграфі необхідність нового доведення: «Хоча доведення про розкладання цілої раціональної функції на множники, що я дав у мемуарах, опублікованих 16 років тому, не залишає бажати кращого стосовно строгості й простоти, треба сподіватися, що математики не вважатимуть за небажане, що я знову повертаюся до цього надзвичайно важливого питання і будую друге, не менш строге доведення, виходячи із зовсім інших принципів. А саме, це перше доведення залежало частково від геометричних розглядів, тоді як те, що я тут починаю пояснювати, грунтується на суто аналітичних принципах». Слід зазначити, що аналітичним Гаусс називає той метод, який сьогодні йменується алгебричним.

Для доведення Гаусс використовував побудови поля розкладання багаточлена. Минуло понад шістдесят років, коли й Л. Кронекер удосконалив і розвинув метод Гаусса для побудови поля розкладання будь-якого багаточлена. Згодом Гаусс дав ще два доведення основної теореми алгебри. Четверте і останнє датоване 1848 роком.

Еваріст Галуа

Не забував Гаусс і про комплексні числа, які так допомогли йому розібратися в таємницях геометричних побудов. Ніби розважаючись, самотній мудрець придумував все нові доведення своєї теореми про те, що всякий багаточлен має комплексний корінь. Мабуть, Гаусс хотів зрозуміти: чи має ця «суто алгебрична» проблема хоч один суто алгебричний розв’язок, або є неминучими комбінації алгебри з геометрією, або з математичним аналізом?

Вчитель Еваріста Галуа Рішар так відгукувався про свого учня: «Він працює лише у вищих відгалуженнях математики». І це було сказано про 17-річного хлопця!

Виявилося, що такі комбінації неминучі. Будь-яка складна проблема розв’язується лише після кількох її перекладів з однієї математичної мови на іншу. І ось уже два століття вся математична наука розвивається в системі взаємодопомоги й сплітання її різних галузей. Гаусс першим почав працювати в такій системі: немов би перекидаючи палаюче вугілля з однієї долоні на іншу. За це його шанобливо називають «батьком сучасної математики».

Еварісту Галуа (1811–1832) доля відміряла лише 21 рік життя. Його мало хто знав. Він встиг тільки вступити до Вищої Нормальної школи (це педагогічний університет у Парижі), але був виключений звідти серед інших «бунтарів»-республіканців у революційному 1830 році, і навіть побував у тюрмі за свої погляди. Загинув Еваріст на дуелі, смертельно поранений кулею у живіт. Здавалося, що незабаром про Галуа забудуть, як і про багатьох інших революціонерів, що не відбулися. Але пізніше з’ясувалося, що Галуа встиг відбутися як математик – причому такий, яких Франція не народжувала з часів Декарта. Цей дивно стрімкий злет наукової думки зробив коротку біографію Еваріста Галуа найвищою мірою повчальною для математиків з наступних поколінь. І це при тому, що математичні праці Галуа, принаймні ті, що збереглися, становлять якихось шістдесят невеличких сторінок. Ніколи ще праці такого малого об’єму не давали автору такої виняткової популярності. У чому ж полягає його відкриття?

Розмірковуючи над працями Гаусса, Галуа писав: «Підкорити обчислення своїй волі, згрупувати математичні операції, навчитися їх класифікувати за мірою важкості, а не за зовнішніми ознаками, – ось задачі математиків майбутнього, на мою думку, ось шлях, яким я хочу піти».

Основна задача алгебри – пошук загального розв’язку алгебричних рівнянь – не залишалася поза увагою математиків і на початку ХІХ століття. Коли говорять про загальний розв’язок рівняння другого степеня ax² + bx + c = 0, то мають на увазі, що кожний із двох його коренів може бути виражений за допомогою кінцевої кількості операцій додавання, віднімання, множення, ділення й множення коренів, виконуваних над коефіцієнтами a, b та с. Молодий норвезький математик Нільс Абель (1802–1829) довів, що неможливо одержати загальний розв’язок рівняння степеня вище чотирьох за допомогою кінцевої кількості алгебричних операцій. Однак існує багато рівнянь спеціального виду степеня вище чотирьох, які допускають такий розв’язок. От Галуа і дав остаточну відповідь на питання про те, які рівняння розв’язні в радикалах, тобто корінь яких рівнянь можна виразити через їхні коефіцієнти за допомогою кінцевої кількості алгебричних операцій. У теорії Галуа користувався підстановками або перестановками коренів, він також увів поняття групи, яке потім широко застосовувалося в багатьох відгалуженнях математики.

Йому потрібно було зрозуміти самому й пояснити іншим, чому рівняння вищих степенів не розв’язуються в радикалах! Гаусс винайшов у цій галузі чудову конструкцію. Можна приєднати до поля коефіцієнтів багаточлена його корінь і одержати нове поле – розширення колишнього поля. Цю дію можна повторювати багато разів; у підсумку виникає щось на зразок зростаючого кристала, осі й грані якого мають особливу симетрію. І можливо, що від цієї симетрії залежить можливість розв’язання вихідного рівняння!

Такою була зухвала здогадка Галуа; вона виявилася вірною, і саме через це автора вважають генієм. Але не тільки через це! Ще важливіше те, що Галуа зумів довести свою гіпотезу до строгої теореми. Для цього йому довелося створити першу математичну теорію довільних симетрій – так звану теорію груп. Саме Галуа ввів у науку такі поняття, як група й підгрупа, ізоморфізм і гомоморфізм груп.

Але навіть у наші дні суть теорії Галуа є складною для непідготовленої людини. Як почували себе сучасники Галуа – навіть наймаститіші академіки? Не дивно, що за життя Галуа (а жити йому залишалося два роки!) ніхто не зміг оцінити його відкриття належно, хоча Еваріст щедро розсилав свої тексти різним паризьким математикам. Напередодні дуелі Галуа по-справжньому злякався: що, коли він загине і його відкриття загубляться? Він залишив заповіт своєму другу Шевалле із проханням – переслати копії його статей великому Гауссу. Той би все зрозумів і оцінив; але, скоріш за все, тексти Галуа так і не потрапили в Німеччину. Одне слово, велике відкриття могло піти в небуття слідом за своїм творцем.

На щастя, цього не сталося. Шевалле був ледь причетний до математики; але він зберігав рукописи Галуа протягом 15 років, а потім показав їх редактору нового «Журналу чистої й прикладної математики» – Жозефу Ліувіллю. Молодий академік народився за два роки до Еваріста Галуа й теж захоплювався теорією чисел; він побудував перші числа, що не є коренями раціональних багаточленів. Ліувілль ледве розібрався в стислому тексті свого покійного ровесника й був уражений: як могли ці чудесні відкриття залишатися ніким не поміченими й не повтореними так довго?

Ми тепер знаємо, коли саме відкриття Галуа набули загального визнання. Це відбулося в 70-ті роки XIX століття – після того, як геометри оцінили, нарешті, провідну роль симетрії у своїй науці. В 1872 році Фелікс Клейн оголосив усьому світу: геометрія має стільки різних відгалужень, скільки різних груп симетрій можуть мати геометричні фігури. Теорія груп раптом стала всім потрібною; праці Галуа почали перевидавати, коментувати й переосмислювати. Незабаром теорія Галуа стала найважливішою частиною алгебри, а загальна теорія груп вторглась у математичну фізику, в топологію й навіть у теорію ймовірностей. У наші дні поняття групи входить у першу десятку найуживаніших математичних термінів.

Галуа стояв біля витоків струмочка, що перетворився на цю могутню ріку, і всіма силами сприяв такому перетворенню. Тому ім’я юного француза стоїть в одному ряду з іменами таких патріархів математики, як Ейлер або Гаусс, бо своєю теорією груп він привів до ладу математичний апарат, який неймовірно розрісся за кілька століть, і головне – навів порядок у мові математики.

Треба сказати, що до 1800 року математика спочивала на двох «китах» – числовій системі й Евклідовій геометрії. Оскільки багато властивостей числової системи доводилися геометрично, геометрія Евкліда була найбільш надійною частиною будови математики. Проте аксіома про паралельні (вона ж п’ятий постулат) містила твердження про прямі, що простираються в нескінченність, і це не могло бути підтверджене досвідом. Навіть версія цієї аксіоми, що належить самому Евкліду, зовсім не стверджує, що якісь прямі не перетнуться. У ній скоріше формулюється умова, за якої вони перетнуться в певній кінцевій точці.

Упродовж століть математики намагалися знайти аксіомі про паралельні відповідну належну заміну. Але в кожному варіанті неодмінно виявлявся якийсь недолік. Так, першими коментаторами Евклідового постулату стали Посидоній (ІІ ст. до н. е.), Гемінус (І ст. до н. е.), Птолемей (ІІ ст.) та Прокл (V ст.), який довів цю аксіому, фактично перетворивши її на теорему, та вивів власний, еквівалентний постулат. З часом таких постулатів ставало дедалі більше, але ніхто з математиків за два тисячоліття не зміг підійти до повного заперечення аксіоми, залишивши інші чотири недоторканними, і цим самим вивести нову, неевклідову геометрію.

Вольфганг Бойяї, шкільний друг Гаусса, писав йому про незвичайні математичні здібності свого сина Яноша, який до тринадцяти років уже вивчив планіметрію, стереометрію, тригонометрію, конічні перетини, а в 14 років уже з легкістю розв’язував задачі диференціального й інтегрального числення. У 18 років Янош уже повідомив батька про те, що знайшов шлях доведення аксіоми, над якою все життя мудрував Бойяї-старший: «Я створив новий, інший світ з нічого. Все, що я робив до цього, є тільки картковим будиночком порівняно з баштою, що споруджується».

Першим, хто припустив можливість існування неевклідової геометрії, був К. Ф. Гаусс, але це стало відомо тільки після смерті вченого, мабуть тому, що він не ризикнув опублікувати свої результати, побоюючись того, що сучасники не зрозуміють його. Тож честь створення неевклідової геометрії випала двом геніальним вченим XIX століття – М. І. Лобачевському (1792–1856) та Я. Бойяї (1802–1860). Кожний з них незалежно опублікував свій власний оригінальний виклад нової геометрії, і тому нині її називають геометрією Лобачевського – Бойяї. У ній зберігаються всі теореми, які можна довести без використання п’ятого постулату, але всі інші, в яких він використовується, видозмінюються. Так, за геометрією Лобачевського, сума кутів будь-якого трикутника (перша шкільна теорема, у доведенні якої використовується паралельність прямих) дорівнює більш ніж 180 градусів!.. Такі «сюрпризи» трапляються на кожному кроці, і саме в неевклідовій геометрії паралельні прямі отримали шанс коли-небудь перетнутися, і взагалі, через дану точку можна провести нескінченно багато паралельних прямих, – для цього треба тільки побудувати поверхню особливої форми, дуже не схожу на знайому з давніх-давен площину. Лобачевський намагався знайти її, але не зміг цього зробити. Побудова такої моделі (тобто доведення несуперечності геометрії Лобачевського) випала на долю математиків наступних поколінь.

Так, у 1868 році італійський математик Е. Бельтрамі дослідив увігнуту поверхню, яку він назвав псевдосферою, і довів, що на ній частково реалізується геометрія Лобачевського. А ще через два роки німець Ф. Клейн дослідив коло та деякі його проекційні перетворення й дійшов того ж висновку. Ще одним послідовником став француз Ж. А. Пуанкаре, який навіть придумав фантастичний світ, «мешканці» якого повинні були прийняти геометрію Лобачевського з фізичних експериментів. Такий світ мав сприйматися як безкінечний. Згодом були запропоновані й інші моделі геометрії Лобачевського – Бойяї, чим було доведено, що геометрія Евкліда не є єдиною з можливих. Це мало великий прогресивний вплив на подальший розвиток геометрії та математики загалом.

Микола Іванович Лобачевський

Лобачевський помер, так і не діждавшись визнання своїх ідей. Лише Гаусс висловив своє захоплення науковим подвигом російського вченого: він домігся призначення того членом-кореспондентом Геттінгензького королівського наукового товариства. Хоча в Росії Лобачевський дослужився до високих чинів, був нагороджений великою кількістю орденів, був шанований ученими, але про його геометрію воліли не говорити. Після його смерті минуло понад двадцять років, коли геометрія Лобачевського здобула права громадянства в математиці.

А в XX столітті було виявлено, що геометрія Лобачевського має велике значення не тільки для абстрактної математики, але й безпосередньо пов’язана з використанням математики у фізиці. З’ясувалося, що взаємозв’язок простору й часу відкритий у працях X. Лоренца, Ж. А. Пуанкаре, А. Ейнштейна, Г. Мінковського, про який йдеться у спеціальній теорії відносності, має безпосереднє відношення до неевклідової геометрії. Наприклад, при розрахунках сучасних синхрофазотронів використовуються формули геометрії Лобачевського.

Неевклідова геометрія стала найбільшим інтелектуальним здобутком XIX століття. Вона ясно продемонструвала, що до математики не можна ставитися як до зведення незаперечних істин. У найкращому разі вона може гарантувати вірогідність доведення на основі недостовірних аксіом. Проте математики надалі дістали змогу досліджувати будь-які ідеї, які могли здатися їм привабливими. Кожен математик окремо був тепер вільний уводити свої власні нові поняття і встановлювати аксіоми на свій розсуд, стежачи лише за тим, щоб теореми, які випливають із аксіом, не суперечили одна одній. Грандіозне розширення кола математичних досліджень наприкінці минулого століття по суті стало наслідком цієї нової свободи дій.