Читать книгу Topología del amor - Luis Darío Salamone - Страница 15

¿A ustedes les gustan las matemáticas? ¿Les gustan los números?

En una oportunidad Aníbal Leserre me comentó que había un estudio en el que se planteaba que los niños tienen dos formas de mirar el mundo desde las matemáticas: o tienen cierta facilidad para lo numérico o bien para la topología, y eso nos da cierta esperanza a aquellos que creíamos que no teníamos nada que ver con las matemáticas porque no nos gustan los números.(6)

La topología es una rama bastante joven de las matemáticas que aparece hacia finales del siglo XIX. El término “topología” proviene del griego y puede traducirse como estudio del lugar. Se trata de un estudio de la posición, por eso también se la denomina Análysis Situs en latín, o Étude de place en francés. Si prefieren un nombre mucho más vulgar por el cual también se la conoce, pueden llamarla “Geometría de la Lámina de Goma”. Podrá este último parecer un nombre poco serio, pero sin embargo es muy preciso, y como estamos hablando de matemáticas no podría ser de otra manera.

Si tomo un trozo de goma y lo estiro, siempre y cuando no lo rompa, para la topología nada cambia. Esa lámina de goma estirada conserva las mismas propiedades que la original, y si quisiéramos producir un cambio que interese topológicamente tendríamos que proceder a cortarlo.

Si no tienen a mano una lámina de goma podemos tomar una banda elástica que resulta más accesible. No está mal, podemos considerarla un objeto topológico. Topológicamente tendrá la misma estructura tanto si la tomamos en su estado natural como si la estiramos. Cambiaría su topología si la estiramos tanto que la rompemos.

Podemos comprobar estas virtudes con un guante de goma. Pero a la vez este objeto nos ofrece la posibilidad de hacernos una pregunta interesante. ¿Este guante tiene un agujero? Puede no estar roto, podemos inflarlo para comprobarlo. Al inflarlo cambia su tamaño, pero no sus propiedades. Pero con respecto a la pregunta que nos realizamos: si no tiene un agujero, ¿cómo metemos la mano? Tenemos otra cuestión interesante que nos muestra esta disciplina. Hay agujeros que tienen diferentes cualidades.

Generalmente en el colegio secundario muchos de nosotros construíamos figuras geométricas de cartulina. Si quisiéramos construir figuras en el terreno en que nos estamos aventurando, podríamos construir figuras de gomas e incluso, como dijimos, estirarlas. Diego Alberto Cabezas me ha regalado varios elementos que construyó en goma eva.

Esta geometría se distingue de otras geometrías métricas, desde Euclides a nuestros días, que se dedican a estudiar longitudes y ángulos. Para la topología no importan las distancias, ni mantener las formas, no le interesa a qué distancia queda algo o qué magnitud tiene. Le interesa más bien dónde se sitúa algo, si un espacio es interior o exterior, si anuda, o bien cómo está anudado.

Suele ocurrir que, sin que nos demos cuenta, nos manejemos en la vida de una manera topológica. Por ejemplo, alguien quiere dirigirse a un lugar, y supongamos que para eso necesita dirigirse a una estación de subterráneos; entonces me pregunta a qué distancia le queda dicha estación, puedo orientarlo diciéndole que camine mil metros, doble a la derecha en ángulo recto y camine otros trescientos metros.

Otra persona, desde una concepción topológica, no preguntaría por la distancia, sino que preguntaría directamente cómo puede llegar al lugar, y nosotros, estudiantes de la topología como somos, con determinados elementos, lo ayudaríamos a llegar a su destino sin hablarle en términos numéricos. Podríamos decirle, por ejemplo, que camine hasta el sauce llorón y luego doble a su derecha hasta un cartel grande que dice: “Quédate en casa”. Debajo del cartel puede encontrar la boca de subte. Tal vez esa persona ni imagine que, al ingresar al vagón y ver la línea con las estaciones que suelen estar arriba de la puerta, nuevamente se orientará topológicamente. Efectivamente, los planos de las líneas de subterráneos son un buen ejemplo de este tipo de representación donde no importan las medidas ni las formas. O sea que no interesan las cuestiones cuantitativas, sino cualitativas.

Como lo afirman Kasner & Newman: “Problemas aparentemente triviales han dado origen al desarrollo de varias teorías matemáticas”.(7) Así como la teoría de la probabilidad nació del cubilete de dados de los jóvenes nobles de Francia, la topología nació en las tabernas de Koenigsberg.

En el siglo XVIII, siete puentes atravesaban el río Pregel que fluía rodeando una pequeña ciudad universitaria llamada Koenigsberg y permitía la comunicación con una pequeña isla llamada Kneiphof. Se trata de una ciudad de Prusia Oriental, que luego sería parte de Alemania y más tarde se convertiría en Kaliningrado para formar parte de Rusia

A sus habitantes les gustaban, además de la cerveza, los paseos. Mientras tomaban en la taberna se preguntaban: ¿cómo puede alguien realizar un paseo el domingo a la tarde por esta zona, de tal modo que pase una sola vez por cada uno de los siete puentes, y regrese al punto de partida?

LOS PUENTES DEL RÍO PREGEL

Los habitantes del pueblo intentaron una y otra vez y llegaron a la conclusión de que no era posible realizarlo; pero esta convicción de imposibilidad necesitaba de una demostración matemática.

Los ecos de este problema le llegaron a Leonhard Euler, oriundo de aquellas tierras, que se encontraba en San

Petersburgo, desempeñándose como matemático en la Corte de Catalina la Grande. Con la nostalgia que sentía por su patria (como si a nosotros se nos hubiera ocurrido tararear un tango en Rusia) al matemático se le ocurrió resolver el problema. Presentó su resolución en la Academia Rusa de San Petersburgo en 1735. No solo eso, al demostrar que el viaje por los siete puentes sin volver a pasar por el mismo, era imposible; fundó la teoría de los grafos, y con ello nos acercó a la topología.

La operación de Euler consistió en simplificar, en realizar una abstracción del plano. Reemplazó la tierra por simples puntos y los puentes por líneas que los unían. De esta operación resultó un gráfico. La pregunta, a partir de entonces, consistió en saber si esta gráfica puede dibujarse con un trazo continuo sin levantar la punta del lápiz. Hacerlo sería equivalente a atravesar físicamente los puentes en una caminata.

LA OPERACIÓN DE EULER

La topología nació con esta demostración matemática para la cual no se necesitan números. Alcanzaba para eso un gráfico. Se trata entonces de una geometría del lugar, de la posición, del espacio. Nos introduce en otra lógica que la euclidiana.

La pregunta, a partir de esto, consiste en saber si esta gráfica puede dibujarse con un trazo continuo, sin levantar la tiza del pizarrón o el lápiz de la hoja. Hacerlo sería equivalente a atravesar físicamente los puentes en una caminata.

Es decir que matemáticamente el problema se reduce a recorrer una gráfica. Tenemos un número finito de puntos llamados vértices y un número de arcos. Los extremos de los arcos son los vértices. Dos arcos no tienen un punto en común, a excepción de un vértice. De acuerdo a la cantidad de arcos que concurran en un vértice, este será par o impar.

Lo que Euler descubrió es que solo puede recorrerse una gráfica pasando por sus arcos una sola vez, comenzando y terminando por el mismo punto, si tenemos en la gráfica vértices pares.

Nuestra figura tiene cuatro vértices impares, por lo tanto, no alcanzará con un solo viaje para recorrerla, harán falta dos.

Ahora, si dibujamos un arco adicional entre A y C, y se retira el arco que va entre B y D, todos los vértices serán pares, por lo tanto, la gráfica podrá ser recorrida en un solo viaje.

Si no retiramos BD podemos cruzar todos los puentes una sola vez, pero sin terminar donde empezamos. El paseo deberá iniciarse desde un vértice impar.

GRAFO CON PUENTE AGREGADO

Si la gráfica tiene como máximo dos vértices impares, puede ser igualmente recorrida, pero sin volver al punto de partida. Es más, generalmente si la gráfica contiene una determinada cantidad de impares, esa será la cantidad de viajes necesarios para recorrerla.

Este tipo de problemas datan de la más remota antigüedad. Kasner & Newman rescatan una figura que tiene su lugar en la historia de la magia y la superstición, conocida por los mahometanos y los hindúes, por pitagóricos y cabalistas. Era utilizada como talismán, se la grababa en la cuna de los niños para ahuyentar el mal, o en los establos. El cristianismo lo utilizó para representar las cinco llagas de Cristo. Es una estrella pentagonal que algunos hemos dibujado y podemos recorrer en un solo trazo. También llamada pentagrama, pentáculo o estrella pitagórica. También pentalfa, ya que se dibujan cinco letras A o alfa.

ESTRELLA PITAGÓRICA

Incluso, siguiendo la teoría de Euler, una figura en apariencia más complicada como la que dibujamos a continuación, puede ser recorrida en un solo trazo. Se trata de un pentagrama en el interior de un pentágono. Un nudo simple atado a una cinta de papel estirado y aplanado termina formando un pentágono perfecto. También podemos encontrar en estos diagramas la sección aurea, una de las tres proporciones simples que se encuentran en los primeros polígonos.

ESTRELLA EN PENTÁGONO

En cambio, esta otra figura, en apariencia más simple, no puede ser recorrida sin tener que levantar la tiza o el lápiz para dibujarla.

CRUZ EN RECTÁNGULO

¿Qué nos muestra esta regla de Euler? Además de solucionar el problema de los puentes, que a los parroquianos entre una cerveza y otra se les complicaba resolver, nos permite plantearnos la existencia de propiedades fundamentales de las figuras geométricas que no dependen del tamaño o la forma. Si a cualquiera de estas figuras la deformamos no afectamos el estudio de esas propiedades.

Maurice Fréchet y Ky Fan en Introducción a la topología combinatoria,(8) plantean ciertas distinciones realizadas por Henri Poncairé, que nos habla de tres clases de geometrías:

1. La geometría métrica: se encuentra fundada en la noción de distancia. Dos figuras resultarán equivalentes cuando son iguales, hay que entender esta igualdad en el sentido matemático del término.

2. La geometría proyectiva: está fundada en la noción de línea recta. Para que dos figuras sean equivalentes, no necesariamente tienen que ser iguales, basta con pasar de una a otra por medio de una transformación proyectiva. Es decir, que una sea la perspectiva de otra. Se la puede llamar Geometría Cualitativa. Si bien, en apariencia, la cantidad desempeña un papel menos importante, esto no es tan así. Se utilizan, por ejemplo, reglas, las cuales son instrumentos de medida.

3. La tercera geometría sería la que nos interesa: la topología, donde la cuestión de la cantidad está suprimida por completo, es decir, que se trata de una disciplina puramente cualitativa. Dos figuras serán equivalentes, siempre que pasemos de una a otra por medio de una “deformación continua”. No importa qué tipo de deformación sea, con tal de que sea respetada la continuidad. Un círculo, una elipse, una curva cerrada cualquiera, son equivalentes.

CÍRCULO, ELIPSE Y FIGURA CERRADA

Pero todas estas figuras no son equivalentes a un segmento de recta, ya que éste no es cerrado.

Tomemos un ejemplo que nos resulte claro. Imaginemos un modelo y la copia de ese modelo realizado por un dibujante para nada habilidoso, al cual le tiemblan las manos, altera todas las proporciones y el temblor se manifestará en curvas que en verdad no se encuentran en el modelo.

Desde la geometría métrica o desde la proyectiva no habrá equivalencia entre las figuras, sin embargo, serán equivalentes desde el punto de vista de la topología.

Hay que tener en cuenta que no importa si nuestro pésimo dibujante altera las proporciones, incluso groseramente, si en lugar de líneas rectas aparecen por ejemplo zig zags o cosas por el estilo, pero para que se conserven las propiedades topológicas no se puede dibujar una línea curva en lugar de una línea abierta, o líneas que se corten en un punto, una superficie con abertura en lugar de una que no la tiene, etc.

MODELO Y COPIA

Para Fréchet y Fan en la topología es dónde interesa verdaderamente la “intuición geométrica”. Le interesa el espacio y se distingue de las geometrías métricas de Euclides, de

Lobchensky, de Reimann, que tratan sobre magnitudes y ángulos. Se trata entonces directamente de una Geometría no cuantitativa.

En este campo no nos vamos a preguntar “¿qué longitud?”, “¿a qué distancia?”, “¿de qué magnitud?”, sino más bien que nos haremos preguntas tales como “¿dónde?”, “¿entre qué?”, “¿interior o exterior?”.

El término Analysis Situs se lo debemos a Leibniz (1679). Si bien el invento, como hemos visto, fue de Euler, el primer Estudio sobre topología que se conoce es de 1847 y pertenece a Johann Benedict Listing, que fue el primero en hablar de topología. Listing va a descubrir las propiedades de la Banda de Moebius incluso antes que el señor que finalmente se quedará con el nombre de la banda. En verdad la descubrieron cada uno de forma independiente en 1958.

Se define a la topología como “El estudio de las propiedades de los espacios, o sus configuraciones, invariantes bajo transformaciones continuas uno-a-uno”.

“Invariantes” es un término inventado por el inglés Sylvester, a quien se lo llamó el “Matemático Adán”, porque introdujo muchos nombres a las matemáticas.

La topología estudia entonces la posición y la relación de las partes de una figura con respecto a otra, sin tener en cuenta la forma y el tamaño.

Vamos a dibujar un triángulo plano. Topológicamente sería equivalente a la figura de al lado, un poco surrealista, que como ven pueden localizar los mismos puntos. Cambiaron las líneas rectas por curvas, los ángulos se deformaron, tanto como las longitudes. Sin embargo, hay propiedades que no están afectadas: a estas se las llaman “invariantes”. El orden de los puntos no cambia, es invariante. La topología hace de estas invariantes un sistema matemático.