Читать книгу Восхождение к вершине гиперкуба. Великая теорема Ферма для миллиардов обычных людей - Марат Авдыев - Страница 15

Треугольником Паскаля называется треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам расположены единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в строке выше (мысленно следует записать ещё по единице слева и справа самой верхней единицы):

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Как легко убедиться в каждом ряду стоит число сочетаний C_n^m или биноминальный коэффициент.

Любопытно разложение: (1+1) ⁿ = ∑ C_n^m

а это означает сумма любого ряда всех биноминальных коэффициентов равна 2ⁿ например 1 +2 +1 = 2² – проверьте для более высоких степеней!

=========================

Родители и Артур взяли на прокат коньки и пошли на ледовый каток. Играла музыка, из-подо льда мигала светодиодная подсветка причудливыми узорами, играла приятная мелодия. Татьяна, Матвей и Борщов предпочли конькам лыжи. Они выбрали трассу Пятёрка – пять километров в хвойном лесу, где были такие причудливые холмы с неожиданными спусками и подъёмами.

Борщов шёл коньковым ходом впереди, плавно, легко, широкими шагами, вслед за ним плавно как на коньках следовала Татьяна, замыкал этот командный забег Матвей, часто семенящий на лыжах.

Борщов сделал небольшой круг, разворот и снова оказался позади Матвея.

– Дружище, надо бы толкаться плавнее, чтобы работали руки и пресс, – показал он Матвею. – Палочка ставится плавно чуть вперёд в сторону движения, корпус догоняет её и работает рука. Плавно налегаем. Ноги пружинят. В результате работа от приложения мускульных усилий преобразуется в кинетическую энергию. Все фазы движения должны быть согласованы.

– Я за этим не успеваю следить! – ответил Матвей.

– А следить и не надо – надо чтобы красота движения была отработана до автоматизма. Красота – это значит эффективное движение, это принцип наименьшего действия, есть такой в физике… И главное, ощущение хорошей внутренней игры, как говаривал старина Тимоти Голви!

На двадцать шестой минуте группа подошла к финишу.

– Неплохо, отметила Татьяна, – а давайте сдадим лыжи в прокат и посидим в кафе на лыжной базе, пока наши фигуристы катаются на коньках.

Вся дружная компания прошла в кафе «Локомотив». Заказали чай и пирог с яблоками.

– Ну как продвигается дела с Великой Теоремой? – спросил профессор Борщов.

– Честно говоря, я даже не хотел идти на лыжах – ответил Матвей. – Все мои идеи оказались провальными. Я перепробовал пирамиды, квадратичную и другие системы координат, гиперцилиндры, гиперконусы и гиперкруги, но это заводило меня в такие дебри ….

Борщов понимающе кивал: дескать, ничего страшного, так оно и бывает.

– Но вчера складывая вещи в рюкзак, я заметил, как укладывается шарф под крышкой рюкзака. Она у меня напоминает усечённую пирамиду. Я подумал, что слои большого должны последовательно, без единого пропуска, уместиться в малом кубе целое число раз, чтобы не нарушить принцип симметрии фигуры.

– Ты имеешь ввиду, что слой или несколько слоёв из большого должен уместиться в малом кубе? – уточнила Татьяна. – Но ведь там просто нет свободного места. И вообще, что значит перемещать слои?

– Я предлагаю зафиксировать ребра вложенных друг в друга гиперкубов a, b, c и наполнить всю эту фигуру несжимаемыми гиперкубиками, затем опустошить a-Малый гиперкуб. – Матвей достал несложный чертёж, уже хорошо всем знакомый.

– А эта стрелка, надо полагать, обозначает перемещение слоя? – спросил Борщов.

Рис. 3.1. Перемещение слоёв в гиперкубе.

– Да, и если вспомнить, формулировку Теоремы Ферма в геометрической форме, то объемы а-Малого гиперкуба должны быть равны разнице объемов между с-Большим и b-Средним гиперкубами. Я думаю, что они должны быть равны послойно.

– Почему?

– Потому что, в противном случае от перемещения слоёв будут нарушены фундаментальные свойства наше фигуры: непрерывность и симметричность, а также принцип изотропности пространства.

– Хорошо, что среди нас нет Артура, он бы сейчас обязательно сказал: не понимаю! – с долей иронии заметила Татьяна.

– А я отвечу, что свойство непрерывности, это значит заполнение фигуры гиперкубиками без пустот, подобно срезу осины, где видны кольца без сучка и задоринки, без дупла. Свойство однородности – это однородный материал что значит гиперкубик в любом слое остается таким же гиперкубиком, словно строительный кирпич. Симметричность – как угодно вращай нашу фигуру, меняй местами оси координат – получишь один и тот же результат. – уверенно продолжал Матвей.

– И наконец, изотропность пространства это … – пригласил к продолжение диалога проф. Борщов.

– … это происходит из греческого и означает одинаковость картины мира по всем направлениям. – быстро ответил Матвей. – Так оно и есть в Космосе, в дали от звёзд. Космонавт видит по всем направлениям примерно одно и то же. Проще говоря, наш гиперкубик центрально симметричен.

– Из однородности пространства вытекает закон сохранения импульса, а из изотропности — закон сохранения момента импульса – задумчиво заметил Борщов, адресуясь сразу ко всем. – Хорошо, а что из сего этого следует?

– Из этого следует, что перемещая любой слой из области между средним и большим гиперкубами в малый гиперкуб, мы должны уложить его целое число раз. Но я покажу Вам, что это невозможно! Точнее в пространстве размерности больше двух невозможно. – горячо продолжал Матвей. – Правда формулы выходят громоздкими, но мне пришла в голову одна простая идея условия равенство объемов a-Малый гиперкуб и множество точек между c-Большим и b-Средним гиперкубами вступает в противоречие со свойствами центральной симметричности, непрерывности фигуры.

– Какая это идея? – спросила Татьяна.

– На какую именно грань гиперкуба или основание гиперпирамиды можно будет отнести гиперкубик из центра координат?

– Не понимаю.

– Помните, мы рассекали нашу фигуру на идентичные гиперпирамиды в количестве 2n. Если мы делаем перемещения гиперкубиков, нашего строительного материала, между слоями, из большого в малый и обратно из малого в большой гиперкубы, то в каждой из пирамид слои должны перемещаться совершенно одинаковым образом. Однако последовательно следующие слои в а-Малом разные по объёму, и следовательно это будет нарушать симметрию в c-Большом гиперкубе

– Почему?

– Допустим берём всего один слой из промежутка или если хотите множества слоёв, между средним и большим гиперкубом, – горячо продолжал Матвей. – сворачиваем его в а-Малом гиперкубе несколько раз, обязательно целое число, чтобы не было зазоров и пустот. А затем делаем обратную операцию. Если это заснять на фильм, то с точки зрения наблюдателя найдутся хотя бы две грани, которые получит разное число гиперкубиков, а это нарушение изотропности или центральной симметричности фигуры из трёх вложенных друг в друга гиперкубов!

– То есть ты хочешь сказать, задумчиво сказала Татьяна, – что если рассечь нашу например трёхмерную фигуру на шесть пирамид, то они должны получить разное число гиперкубиков при операциях перемещения слоёв?

– Да! И кроме того, гиперкубик в центре координат не относится ни к одной грани! – или укажи, пожалуйста, на какую именно! – с улыбкой ответил Матвей – налицо противоречие!

– Но гиперкубик в начале координат не в счёт, мы можем в пределе устремить к нулю объём гиперкубика, изменяя масштаб, то есть измельчая сетку координат пространства. – находчиво парировала Татьяна.

– Всё это ерунда! – с жаром ответил Матвей. – это в мире действительных чисел можно говорить о предельных переходах, а им имеем дело с целыми! Атомы неделимы, в конце-концов. Мы разрезали нашу фигуру на 2n абсолютно идентичных гиперпирамид. За счет какой именно гиперпирамиды будет восполняться нехватка гиперкубиков, и соответственно – распределение избытка при этой операции?

– Не скажу – ехидно заметила. – Татьяна. – и особенно занудам!

Игнорируя её выпад, Матвей продолжал, обращаясь теперь к Борщову:

– Почему мы убеждаясь в том, что перемещения каждого по отдельности слоя и произвольной выборки слоёв из области между большим и средним гиперкубами в малый гиперкуб повлекут утрату свойства симметричности фигуры, но при этом, должны быть уверены в том, что будучи перенесенными вместе, они всё таки сохранят свойство симметричности?

– Хм, – заметила Татьяна, что означало: в этом что то есть! И Матвей продолжал:

– Любой ответ предполагает нарушение принципа изотропности пространства, поскольку гиперкубики начинают циркулировать не только внутри объема каждой гиперпирамиды, т. е. между слоями, но и сквозь их грани! А это свидетельствует об утрате симметрии! – Матвей слега пристукнул кулаком по столу.

– Друзья, примирительно подытожил профессор Борщов. – Этот промежуточный результат указывает, что наши совместные усилия, прежде всего Матвея, конечно, не бесплодны. И я предлагаю Матвею выступить перед группой студентов первого курса со своим сообщением по теме доказательства ровно через пару недель, точнее, в четверг вторая пара в 11:30 пятый корпус Нархоза. Идёт?

– А это будут студенты – математики? И почему студенты, а не школьники – осторожно спросил Матвей.

– Нет, это будут студенты факультета менеджмент и экономика, конкретно будущие эйчары (HR) – специалисты по управлению человеческими ресурсами. И для них поиск доказательства Великой теорем представляет интерес с позиции индивидуального и группового лидерства в инновационном менеджменте. – ответил Борщов. – а относительно того, почему не в физматшколе, я скажу: всегда найдутся увальни, бузотёры, да и завистники которые будут высмеивать Матвея. Я лично не хочу, чтобы началась травля или моббинг, если хотите, только лишь за то, что Матвей дерзнул выразить вслух не до конца отработанные идеи по Великой теореме.

– Угу – многозначительно произнесла Татьяна. – Тщательно подготовившись к семинару, ты сможешь отточить свои идеи – уже на полном серьёзе заверила Матвея Татьяна. – Я помогу тебе сделать яркую презентацию.

– Идёт, – после некоторого раздумья ответил Матвей. – Неужели моё доказательство будет воспринято так враждебно одноклассниками?