Читать книгу Восхождение к вершине гиперкуба. Великая теорема Ферма для миллиардов обычных людей - Марат Авдыев - Страница 8

Вечером на ручных часах Татьяны раздалось бип-бип-бип и появилось сообщение:

Предл. Встрет. завтра 12:00 в «Собачьих бутербродах» у М. Г@ // Борщ. Ок?

Татьяна ответила ОК! и сразу увидела результат голосования других ребят: Матвея и Артура, младшего одиннадцатилетнего брата Татьяны, – все они были согласны. Матвей был самым юным участником творческой группы, представителем той самой целевой группы, для которой необходимо отыскать доказательство. Если ты сможешь объяснить всё это одиннадцатилетнему школьнику, то будь уверен, сможешь объяснить миллиардам других людей с обычной школьной подготовкой! – убеждала она Матвея. И Матвей хорошо подумав, получив еще раз заверения от сохранении строжайшей конфиденциальности от Татьяны, согласился.

Кафе быстрого питания было расположено прямо у выхода метро, напротив университета в этом месте обычно любил назначать встречи Борщов, сопровождая это словами: конечно пища там лишь условно съедобная, но зато место удобное и обстановка уютная, подходящая для диалога.

Он пунктуально пришел на встречу за десять минут до начала и, заняв пустой столик у окна, принялся читать только что изданную коллективную монографию, где наряду с прочими работами была и его: «Социологические методы идентификации судебной коррупции». За окном бурлила предновогодняя жизнь, под аккомпанемент лёгкого пушистого снега и солнышка (вот уже настоящий предновогодний подарок! – отметил про себя Борщов), прохожие и автомобили мелькали в окне, а их полупрозрачные отражения – в самом кафе. Методично раздавался голос кассиров на выдаче:

– Номер восемьдесят пять, один Американо и чизбургер, номер сто четырнадцатый салат из крабов, номер сто одиннадцать: картошка фри…

И вот дружная компания снова собралась за одним столом: Матвей небрежно стаскивал с себя куртку, запорошенную снегом, Татьяна элегантно сняла красивое пальто, которое так эффектно подчёркивало её фигуру. Артур уже сидел в строгом деловом костюмчике, – прямо таки аккуратно причесанный примерны отличник со школьной фотографии.

Матвей заказал кофе, Татьяна и Артур – мороженое, Борщов – чай, который сразу же вылил в раковину и налил себе из бутылочки предусмотрительно купленный в соседнем супермаркете кисло-молочный напиток Айран, бережно извлечённый из профессиорского портфеля:

– А чай все равно не настоящий, робко прокомментировал своё расточительство профессор, пожав при этом плечами – но пустого стаканчика здесь нет.

Ребята обсудили последние новости. Артур сначала держался строго официально, а затем вдруг похвастался последней пятёркой по математике и сказал, что это поможет ему перевестись в лицей, а не оставаться в нынешней прогимназии с лузерами. Татьяна чуть укоризненно посмотрела на брата, заметив, что деление людей на лузеров и виннеров – это дурной тон и снобизм. Матвей смущаясь сообщил, что получил двойку по генетике: потому что к контрольной не готовился, а в генетике много математики, в которой он «немного тугодум», чем вызвал не мало удивления у всей компании. Борщов добавил свою историю о том, как отслужив в армии, он получал двойки на уроках военной подготовки, потому что не мог ходить чётким строевым шагом и стыдился списывать со шпаргалок, а требовалась именно максимальная точность воспроизведения текста. Борщов и ребята много шутили, смеялись, но при этом без насмешек. Наконец, Борщов умолк и лицо его стало серьёзным.

– Сегодня при проведении вебинара, – сказал он, я обнаружил странный эффект. На компьютере запущена программа: то ли Zoom, то ли Skype, то ли Сферум – словом, из разряда подобных. Программа просто копирует все что видит в комнате, а также слайды на экране компа и передает по каналам связи собеседникам. За моей спиной проектор отображает эти же слайды на экране. Так вот, надписи слайдов на экране читаются нормально, но те слайды, что за моей спиной на экране – не читаются, поскольку они отражены словно в зеркале.

– Я тоже сталкивалась с подобным, – улыбаясь кивнула Татьяна. – причём, я спрашивала у тех собеседников, с которыми общалась: что Вы видите, можете ли Вы прочитать слайды нормально? – Отвечают, да, всё видим как обычно.

– Вот именно! – продолжал Борщов. – для того, у кого за спиной экран, изображение зеркальное, а для его собеседников – нет. Если оглянуться назад, через плечо, то слайды на большом экране, куда они проецируются, читаются, слайды и презентации на экране компьютера также читаются, а за спиной лектора – отражаются зеркально! В чем здесь фокус?

– На самом деле никакого фокуса нет, – подумав ответил Матвей, просто веб-камера, дисплей компьютера и программа вместе образуют своего рода электронное зеркало. Убедитесь в этом, посмотрите на нас вон в то зеркало.

– Ну и … – недоуменно пожал плечами Борщов, – зеркало, как зеркало.

– Вот именно так все мы привыкли видеть себя в отражении, и поэтому разработчики софта сделали всё таким образом, чтобы потакать нашим привычкам – пояснил Матвей.

– Я предлагаю сделать небольшой эксперимент, сказала Татьяна и начертила на двух салфетках трубочкой от коктейля, измазанной в шоколаде крупные буквы:

ДА

– А теперь, Артур, встань за спиной Александра Николаевича с этим транспарантом! – чуть повелительно сказала она своему брату.

Чувствуя значимость порученной миссии, Артур за спиной профессора поднял салфетку.

– Прочитайте, пожалуйста, Александр Николаевич, – обратилась она к Борщову, указывая на зеркало, где отражалось:

АД

– Ад! – прочитал Борщов, глядя в зеркало напротив столика.

– Представьте себе, что это слайды, – продолжала Татьяна. – Вы согласны, что происходит зеркальное отражение?

– Ну это очевидно! Но это почему мои собеседники читают все слайды нормально, а я – нет?

Татьяна жестом показала, что сейчас она всё объяснит и попросила Артура сесть напротив Борщова у свободного столика под зеркалом, держа в руках те же салфетки.

– Теперь снова ДА, прочитал Борщов.

– Александр Николаевич, – пришёл на помощь Матвей, – в мире программирования есть такая функция настройки дисплея, называется флип (flip) – отразить экран или фотографию. А вообще, программа может представлять изображение как угодно: прямо, зеркально, к верх ногами, под наклоном девяносто градусов и так далее. Но нам привычнее на экране читать тексты слева направо, а своё лицо видеть как в зеркале. Как бы Вы поступили на месте разработчиков зумпоподобных сервисов?

– Я бы… постарался сделать эффект полного присутствия – подумав немного ответил Борщов.

– Да, продолжила, Татьяна, поэтому свой текст на экране и своего собеседника мы видим без зеркального отражения, а изображение своей фигуры – как в зеркальном отражении. И всё что у нас за головой, попадающее в поле веб – камеры, мы также видим как в зеркале, посмотрите же на Артура ещё раз!

– Ах, да! – стукнул по своему столу Борщов. – ну какой я тупица! Это же надо, как просто! Коллеги, Вы меня положили на обе лопатки!

Ребята дружно улыбнулись, ещё бы: один гол в их пользу.

– Ну а теперь, я уверен, что с Теоремой Ферма Вы справитесь, – улыбаясь сказал Борщов. Что Вам удалось отыскать?

Матвей достал стопку листов с рисунками и стал пояснять. Он пытался разворачивать текст и рисунки к Борщову, но тот остановил репликой: я читаю вверх ногами без труда.

Матвей не торопясь начал:

– Давайте рассмотрим терему Ферма с позиции физики и геометрии. Именно в этом направлении есть шансы отыскать решение, основные идеи которого можно схематично уместить на достаточно широких полях книги.

Рис. 2.1. Гиперкубы с ребрами a, b и c, вписанные друг в друга с общим центром, совпадающим с началом координат в пространстве размерности 3.

Не меняя общности, можно считать что справедливо неравенство для нашей тройки чисел a <b, где b, в свою очередь, меньше числа с, стоящего в правой части уравнения теоремы Ферма. Слагаемые a, b не могут быть равными, в силу иррациональности числа √2, которое невозможно представить в виде дроби, состоящей из не имеющих общих делителей числителя и знаменателя p и q. (см. Рис. 1.1. выше).

На деле оказывается, что таким делителем всегда будет двойка и её степени, а это означает, что исходное предложение относительно числителя и знаменателя оказались ошибочными: оба они чётные, делятся на два, а мы исходно предполагали, что p, q не имеют общих делителей, которые заранее сократили.

Матвей говорил, водя карандашом по рисунку:

– Предположим, что искомая тройка целых чисел существует. Можно сопоставить ей соответствующую фигуру в виде гиперкубов с ребрами a, b и c, вписанными друг в друга в конечномерном вещественном векторном пространство Rⁿ, проще говоря в многомерном пространстве.

Следующие рисунки представляют вписанные друг в друга гиперкубы для случаев размерностей пространства n = 2 то есть плоскости:

Рис. 2.2 Для размерности пространства n = 2, квадраты на плоскости, легко увидеть Пифагорову тройку 3²+4²=5²

– А на следующем рисунке продолжал Матвей.

– Здесь вершина каждого гиперкуба, выделенного цветом, совпадает с началом координат, в дальнейшем начало координат будет помещаться также в центр гиперкуба. Фигуры в виде композиции гиперкубов начало координат в вершинах и начало координат в центрах гиперкубов преобразуются друг в друга за счет отражения от гиперплоскостей и масштабирования.

Матвей сделал паузу и продемонстрировал на салфетке с пунктирным изображением квадратов, нарисованными трубочкой от коктейля, которую он слегка обмакивал в кофе словно гусиное перо, как легко складывается и раскладывается обратно четыре одинаковых квадрата в разных частях салфетки на рисунке 2.3 выше.

– Обратите внимание, сложить, это все равно, что рассечь фигуру гиперплоскостью, перпендикулярной определенной оси, или просто прямой для двумерного случая, – прокомментировал Матвей, демонстрируя салфетку на просвет, – ну вот, квадраты почти совпали. Так, совмещаем их центры с началом координат, а грани делаем перпендикулярными каждой из n осей. Теперь можно разложить салфетку, что равносильно операции отражения фигуры от выбранной нами гиперплоскости. Далее Матвей снова, продолжил водить карандашом как указкой по следующему рисунку, комментируя:

– Рассмотрим случай целых положительных, т. е. натуральных чисел a, b, c, затем и случай отрицательных чисел. По определению единичный гиперкуб в Rⁿ это множество точек, удовлетворяющее неравенствам, ½ <x_j <½ – далее гиперкубик и соответственно, ребро гиперкуба может быть произвольным вещественным, а в нашем случае целым числом…

– Стоп, перебила Татьяна, – Артур, тебе все понятно?

– Примерно половина, как-то неуверенно ответил, Артур.

Профессор Борщов одобрительно посмотрел на Татьяну и примирительно сказал:

– Ребята, Вы только что сами убедились, как легко я сел в лужу по простому вопросу отражения в зеркале. Предлагаю, отбросить математический формализм в сторону и говорить на языке школьника 3—4 класса. Ок?

Ну ладно, попробую ещё нагляднее, ответил Матвей, извлекая из портфеля шахматную доску, деревянные детские кубики и маркеры для письма по доске. – эта доска навощена тонким воском, и поэтому на ней можно легко писать вот этими маркерами, затем стирать бесследно и снова писать, я уже пробовал. – На возьми, Артур, обвели три квадрата на шахматной доске размером три на три, четыре на четыре и пять на пять клеток, да при этом начиная с одного и того же места, вот здесь, например, как будто это листы на дереве, растущие из одной точки (см. Рис. 2.2. выше).

Артур легко справился с задачей, он начертил малый синий, затем средний жёлтый и наконец, большой красный квадраты с общей вершиной, примерно так, как на рисунке.

– Можешь ли ты, Артур сосчитать площадь малого, добавить к нему площадь среднего квадрата и сравнить с площадью большого? Артур водя пальцем по шахматной доске начал сосчитал вслух количество квадратов и кивнул: да, действительно девять плюс шестнадцать будет двадцать пять….

– Но ведь это просто теорема Пифагора, – недоуменно сказал он, -мне папа о ней рассказывал, а ещё я слышал, что в честь открытия этой теоремы Пифагор велел заколоть сто быков.

– И с той поры все скоты дрожат, когда открывается новая теорема! – пошутил Борщов.

Матвей охотно продолжил. Он взял в руки детский деревянный кубик и начал окружать его слоем других кубиков, комментируя свои действия словами:

– Представим себе, что я каменщик, что строю дома в многомерном пространстве, но прямо сейчас я работаю в привычном для нас трёхмерном. Я беру единичный кубик, назовем его гиперкубик, беру также цемент или сильный строительный клей и обмазываю тонким слоем каждую грань гиперкубика. В данном трёхмерном случае у меня получается просто куб с ребром три, легко убедиться, что в нём двадцать семь гиперкубиков, то есть элементарных кубиков.

– Всё это ясно, – сказал Артур, а остальные молча кивнули в знак одобрения.

Матвей, сосредоточившись на рисунке, пояснял:

– Пусть a-Малый гиперкуб образуется путём наслаивания некоторого количества слоёв равной единичной толщины, например один сантиметр или один дециметр, метр – не важно, вокруг гиперкубика, я его буду обозначать его как единичка в степени n или 1ⁿ, при этом b-Средний гиперкуб охватывающий a-Малый, получается путем добавления например l слоёв единичной толщины, c-Большой гиперкуб содержит ещё m аналогичных слоёв. В результате уравнение Теоремы Ферма геометрически можно представить образно говоря, как многомерный торт, состоящий из трёх видов слоистых коржей толщиной вложенных друг в друга.

– Или просто ящички, ставленные в другие ящички как русская матрёшка – уточнила Татьяна.

– Да – с радостью поддержал её Матвей.

Рис. 2.3. Сечение трёхмерного куба двумерной плоскостью. Между слоями сделан единичной толщины сделан зазор, также равный единице, для наглядности.

– А что такое многомерный куб? – вдруг спросил Матвея Борщов.

– Ах, да! -воскликнул, Матвей, – я должен был это рассказать с самого начала. Он взял чистый лист и стал чертить: Точка, отрезок длиной а, квадрат а², трёх мерный куб а³ тессеракт a⁴ и т. д. – это гиперкубы соответственно нольмерного, одномерного, двумерного, трёхмерного, четырёх мерного пространства… В этом ряду каждая следующая фигура размерности n образуется путем перемещения гиперкуба размерности n-1 на длину ребра а в направлении, поперечном каждому из n -1 других.

Представьте себе, что мы объясняем двумерному существу, живущему на плоскости, как можно двигаться вверх и вниз. Это конечно, трудно, но например возьмём вот эту прокладку для обуви, – и Матвей как фокусник извлёк из под стола две новые обувные стельки, завёрнутые в полиэтилен, распечатал упаковку.

– Я могу убедить математика, живущего на плоскости, что если бы он смог прибегнуть к помощи трехмерного пространства, то без труда заменил бы левую стельку правой и наоборот. А для нас, трёхмерных существ, так можно было бы поступить с ботинками, а именной взять левый ботинок перевернуть его в четырёхмерном пространстве и получить правый и опять же наоборот из правого -левый!

– Я об этом где-то читал в детстве, – задумчиво заметил Борщов.

– Но ведь пространство больше трёх, ну может быть ещё четырехмерное с добавлением оси времени, – задумчиво сказал вслух Татьяна, – словом такие фигуры существуют лишь в нашем воображении, они выдуманные, а не реальные

– А реальны ли отрицательные числа? А комплексные числа? – вдруг спросил Борщов. Матвей приготовился ответить, но Борщов кивком головы дал ему понять: позвольте мне, коллеги, это быстро объяснить простыми словами. – Отрицательные числа используется в финансах и бухгалтерии, без них невозможна работа рыночной экономики, то есть мы сопоставляем отрицательным числам реальные объекты: банковский кредит, налоги и так далее. Что касается комплексных чисел, то они упрощают работу с радиоволнами, оптикой. У каждого из Вас мобильник – это реальность? Безусловно. Что касается физических формул, то в них используются пятые, шестые и более высокие степени, аналогичная ситуация в социологии, маркетинге – другими словами, гиперкубы моделируют материальные объекты. Продолжайте, пожалуйста, Матвей.

И Матвей продолжал:

– Гиперкуб обладает свойством симметрии. Если расположить начало координат в центре гиперкуба, то каждая его вершина будет находится на расстоянии a * √n /2, что легко вычисляется по теореме Пифагора. Перпендикуляр, опущенный из центра гиперкуба на любую его грань, проходит через её центр и длина образуемого отрезка (высоты любой из совершенно одинаковых из 2n гиперпирамид, на которые рассекается гиперкуб) составляет ½а. Легко убедиться, что грань гиперкуба – это гиперкуб размерности на единицу меньше…

– А я видел фильм про гиперкуб! – вдруг перебил его Артур. -Там он как- то странно крутился на шарнирах…

– Да, это тессеракт, – подтвердил Матвей или четырехмерный гиперкуб, но его показывают с эффектом параллакса или о степенях выше трёх мы ещё поговорим, а пока достаточно сравнить двухмерный, он показал на шахматную доску и трёхмерный случаи, и он коснулся фигуры из деревянных кубиков.

Давайте рассечем нашу фигуру из трёх вложенных друг в друга гиперкубов на равные гиперпирамиды, конкретно квадраты мы рассечем прямыми линиями на четыре треугольника, а кубы – на шесть совершенно одинаковых пирамид, как раз по числу граней.

Рис. 2.4. Рассечение гиперкуба. Случай двумерного пространства. Обратите внимание на уравнения x₂ = x₁ или привычнее y = x – это линяя под углом 45 градусов или биссектриса угла. Подумайте, как будут расположены точки на прямой, описываемой уравнением x₂ =-x₁

– А почему они будут одинаковы? – задумчиво спросил Борщов.

– Потому что каждая пирамида имеет одинаковую высоту, равную как раз половине ребра гиперперкуба и основания каждой пирамиды одновременно являются гранями гиперкуба, а в силу симметрии грани между собой конгруэнтны, проще говоря равны. Более того эти пирамиды правильные, их грани равны и боковые ребра равны, поскольку являются полудиагоналями гиперкуба, что составляет a * √n /2.

– Ага, вижу ….

Рис. 2.5. Рассечение гиперкуба. Случай трёхмерного пространства.

– Матвей, ты хочешь сказать, что эти пирамиды также вписаны друг в друга: большая, малая и средняя? – спросила его Татьяна.

– Да, они также вписаны как и гиперкубы, но я их не стал изображать, чтобы не затруднить восприятие.

– Я кажется догадалась, ты сейчас расскажешь нам о симметрии! – предвосхитила с улыбкой Татьяна.

– Совершенно точно! – ответил Матвей. Все, что касается соотношения объёмов гиперкубов повторяется и для этих пирамид, но в силу симметрии мы можем сфокусироваться лишь на одной пирамиде, если хотите, называйте гиперпирамиде, но первое проще…

– Матвей, вдруг заговорил после небольшой паузы Борщов, – если Вы всё-таки склоняется нас в пользу геометрической наглядности, то не могли бы Вы сформулировать и саму Великую теорему в геометрической форме?

– С радостью! – ответил Матвей. Он перелистнул пару листов и наконец с расстановкой зачитал: