Читать книгу Jumalatega võidu. Tähelepanuväärne lugu riskist - Peter L. Bernstein - Страница 7

Ilma arvudeta poleks šansse ega tõenäosust; ilma šansside ja tõenäosuseta oleks ainus viis riskiga tegelemiseks jumalatelt ja saatuselt abi paluda. Ilma arvudeta on risk täielikult kõhutunde pärusmaa.

Me elame arvude ja arvutuste maailmas, seda alates kellast, mille suunas me ärgates kõõritame, kuni telekanalini, mille magama minnes kinni paneme. Päeva edenedes loeme, mitu lusikat kohvi kohvikannu läheb, maksame majapidajannale, vaatame eilseid aktsiahindu, valime sõbra telefoninumbri, kontrollime autos kütusekogust ja spidomeetril kiirust, vajutame oma kontorihoones liftinuppu ja avame kontoriruumi ukse, millel on meie number. Ja päev on vaevalt alata jõudnud!

Meil on raske kujutada ette aega, kus numbreid polnud. Kuid kui meil oleks võimalik tänapäeva toimetada mõni hästi haritud mees aastast 1000, ei tunneks ta tõenäoliselt nulli ära ja kukuks kindlasti läbi kolmanda klassi aritmeetikas; ja vaid vähestel 16. sajandist pärit inimestel läheks palju paremini.

Fibonacci proportsioonide abil võrdnurkse spiraali konstrueerimine.

Alustage 1-ühikuse ruuduga, pange selle külge veel üks 1-ühikuline ruut, seejärel paigutage vabasse kohta 2-ühikuline ruut, järgmisse vabasse kohta 3-ühikuline ruut ja lisage samas suunas jätkates 5-, 8-, 13-, 21- ja 34-ühikulised ruudud ning jätkake samas vaimus.

Kopeeritud 1987. aastal ilmunud Trudy Hammel Garlandi teosest „Fascinating Fibonaccis“ Dale Seymour Publicationsi loal.

Numbrite lugu sai läänes alguse 1202. aastal, kui Chartres’ katedraal oli peagi valmimas ja kuningas John oli lõpetamas oma kolmandat aastat Inglise troonil. Sellel aastal ilmus Itaalias raamat pealkirjaga „Liber Abaci“ ehk „Abakuse raamat“. Kõik raamatu viisteist peatükki olid täielikult käsitsi kirjutatud, sest trükikunsti leiutamiseni möödus veel peaaegu kolmsada aastat. Raamatu autor Leonardo Pisano oli kõigest 27-aastane, kuid juba väga õnnega koos: tema raamatut tunnustas Saksa-Rooma keiser Friedrich II. Ühelgi teisel autoril poleks saanud palju paremini minna.28

Suurema osa tema elust teati Leonardo Pisanot Fibonaccina ja selle nime järgi tuntakse teda ka tänapäeval. Tema isa eesnimi oli Bonacio ja Fibonacci on lühivorm väljendist „Bonacio poeg“. Bonacio tähendab „ullikest“ ja Fibonacci „puupead“. Bonacio pidi siiski olema midagi enamat kui ullike, sest ta esindas Pisat mitmes eri linnas konsulina ja tema poeg Leonardo ei olnud kindlasti kohe mingi puupea.

Fibonacci sai innustust „Liber Abaci“ kirjutamiseks külastades õitsvat Alžeeria linna Bejaïat, kus ta isa Pisa konsulina töötas. Kui Fibonacci seal viibis, paljastas üks araabia matemaatik talle India-Araabia arvusüsteemi imed, mida araabia matemaatikud olid Pühale maale toimunud ristikäikude ajal läänemaailmale tutvustanud. Kui Fibonacci nägi kõiki arvutusi, mille tegemise see süsteem võimalikuks muutis – arvutusi, mida oleks Rooma numbritega ilmvõimatu teha – asus ta tööle, et saada selle süsteemi kohta teada kõik, mis võimalik. Juhtivate Vahemere ääres elavate araabia matemaatikute käe all õppimiseks suundus ta reisile, mis viis ta Egiptusse, Süüriasse, Kreekasse, Sitsiiliasse ja Provence’i.

Selle tulemusel sündis igas mõttes erakordne raamat. „Liber Abaci“ tõi inimeste teadvusse täiesti uue maailma, kus numbritega sai asendada heebrea, kreeka ja rooma süsteeme, kus kasutati loendamiseks ja arvutamiseks tähti. Raamat saavutas matemaatikute seas kiiresti poolehoiu nii Itaalias kui ka kogu Euroopas.

„Liber Abaci“ on palju enamat kui aabits uute numbrite lugema ja kirjutama õppimiseks. Fibonacci alustab juhistega selle kohta, kuidas määrata numbrite arvu järgi kindlaks, kas number on ühe-, kümne-, saja- või mõnda muud järku. Edasised peatükid on keerukamad. Sealt leiame täisarvude ja murdarvudega arvutused, proportsioonide reeglid, ruutjuure ja kõrgemate juurte juurimistehted ning isegi lahendused lineaarsetele ja ruutvõrranditele.

Kuigi Fibonacci harjutused olid geniaalsed ja originaalsed, poleks see raamat ilmselt väljaspool matemaatikutest asjatundjate väikest kogukonda palju tähelepanu saanud, kui selles oleks käsitletud ainult teooriat. Kuid raamatule tekkis entusiastlik järgijaskond, sest Fibonacci täitis selle praktiliste rakendustega. Näiteks kirjeldas ja näitlikustas ta palju innovatiivseid võtteid, mida oli võimalik uute arvudega ettevõtete raamatupidamisele rakendada, nagu näiteks rentaabluse arvutamine, valuuta vahetamine, kaalu- ja mõõtühikute teisendamine. Ta oli lisanud raamatusse isegi intressimaksete arvutamise, kuigi liigkasuvõtmine oli endiselt paljudes kohtades keelatud.

„Liber Abaci“ pakkus täpselt sellist vaimuvirgutust, mida nautis kindlasti niivõrd tark ja loominguline inimene kui seda oli keiser Friedrich. Kuigi aastatel 1211–1250 valitsenud Friedrichit tunti julma ja maise võimu kinnismõttest vaevatud inimesena, huvitasid teadus, kaunid kunstid ja valitsemise filosoofia teda tõeliselt. Ta hävitas Sitsiilias kõik eraväeosad ja feodaalsed lossid, maksustas vaimulikkonna ja keelas neil ilmalike ametite pidamise. Samuti lõi ta asjatundliku bürokraatia, kaotas siseriiklikud tollimaksud, kõrvaldas kõik importi tõkestavad õigusaktid ja sulges riigimonopolid.

Friedrich ei talunud rivaale. Erinevalt oma vanaisast, Friedrich I Barbarossast, keda paavst 1176. aastal Legnano lahingus alandas, nautis see Friedrich oma lõputuid lahinguid paavstivõimuga. Ta pandi oma järeleandmatuse tõttu kirikuvande alla mitte ainult korra, vaid lausa kaks. Paavst Gregorius IX nõudis teisel korral Friedrichi ametist kõrvaldamist, iseloomustades teda ketseri, elupõletaja ja antikristusena. Friedrichi vastus oli jõhker rünnak kirikuriigi territooriumile. Samal ajal püüdis tema laevastik kinni suure prelaatide delegatsiooni, kes olid teel Rooma, et ühineda tema võimult eemaldamiseks kokku kutsutud kirikukoguga.

Friedrich ümbritses ennast oma ajastu juhtivate intellektuaalidega ning kutsus neist paljud enda juurde Palermosse. Ta ehitas mõned Sitsiilia kaunimatest lossidest ja asutas 1224. aastal avalike teenistujate koolitamiseks ülikooli, mis oli esimene kuningliku hartaga ülikool Euroopas.

„Liber Abaci“ paelus Friedrichit. Kui Friedrich 1220ndatel Pisat külastas, kutsus ta Fibonacci audientsile. Vestluse käigus lahendas Fibonacci algebraülesandeid ja kuupvõrrandeid, mille üks paljudest Friedrichi teenistuses töötavatest alalistest teadlastest talle esitas. Hiljem kirjutas Fibonacci kohtumisest inspireeritud raamatu „Liber Quadratorum“ ehk „Ruutude raamat“, mille ta keisrile pühendas.

Fibonaccit teatakse kõige paremini ühe lühikese „Liber Abacis“ ilmunud lõigu tõttu, mis viis täieliku matemaatilise imeni. Lõigus uuritakse, mitu jänest sünniks aasta jooksul ühest jänesepaarist, kui eeldada, et igal kuul sünnib igal paaril üks paar jänesepoegi ning et jänesed hakkavad sigima kahe kuu vanuselt. Fibonacci avastas, et algne jänesepaar oleks aasta jooksul sigitanud kokku 233 paari jäneseid.

Lisaks avastas ta veel midagi palju huvitavamat. Ta oli eeldanud, et algne paar ei hakka enne teist kuud järglasi andma ning et seejärel sigitavad nad igal kuul veel ühe paari. Neljandaks kuuks oleks nende kaks esimest järglaste paari sigimisvõimelised. Pärast protsessi algust oleks jänesepaaride koguarv iga kuu lõpus järgmine: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Iga järgmine number on kahe sellele eelnenud numbri summa. Kui jänesed jätkaks oma tegevust sada kuud, oleks paare kokku 354 224 848 179 261 915 075.

Fibonacci jada on palju enamat kui lihtsalt meelelahutus. Jagage mistahes Fibonacci arv temast järgmise arvuga. Pärast arvu 3 on vastus alati 0,625. Pärast arvu 89 on vastus alati 0,618 ning pärast kõrgemaid arve tekib komakohti juurde.29 Jagage mistahes arv sellele eelneva arvuga. Pärast arvu 2 on vastus alati 1,6. Pärast arvu 144 on vastus alati 1,618.

Kreeklastele oli selline proportsioon tuttav ja nad kutsusid seda kuldlõikeks. Kuldlõikega on määratud kindlaks Parthenoni proportsioonid, mängukaartide ja pangakaartide kuju ning New Yorgis asuva ÜRO Peaassamblee hoone proportsioonid. Enamiku kristlike ristide horisontaalne telg eraldab vertikaalset telge enam-vähem sama proportsiooniga: risttala kohal olev osa moodustab selle alla jäävast osast 61,8%. Kuldlõiget võib näha ka looduses – lillemustrites, artišoki lehtedes ja palmipuu leherootsudel. See on samuti inimkeha naba kohale jääva osa suhe nabast allapoole jäävasse osasse (st tavapäraste proportsioonidega inimestel). Sama suhtarvu järgivad ka meie sõrmeluud, kui vaadata neid sõrmetipust käelaba suunas.30

Üks Fibonacci jada romantilisemaid ilminguid määrab kindlaks ilusa spiraali proportsioonid ja kuju. Juuresolevad joonised näitavad, kuidas spiraal tekib ruutude jadast, mille järjestikused relatiivsed mõõtmed on määratud kindlaks Fibonacci jadaga. Protsess algab kahe väikese ühesuuruse ruuduga. Seejärel lisatakse nende kõrvale esimesest kahest ruudust kaks korda suurem ruut, siis esimesest kahest ruudust kolm korda suurem ruut, seejärel viis korda suurem ruut ja nii edasi. Pange tähele, et selline järgnevus tekitab kuldlõike proportsioonidega kolmnurgad. Seejärel ühendatakse ruutude vastasnurgad veerandringikujuliste kaartega, alustades väiksematest ruutudest ja liikudes järjekorras järgmiste suunas edasi.

Tuttava kujuga spiraali võib näha teatavate galaktikate kujus, jäära sarvedes, paljudes merekarpides ja ookeanilainete kaartes, millel surfarid sõidavad. Aina suuremaks muutudes struktuuri kuju ei muutu, seda olenemata algse ruudu suurusest, millega protsess käivitatakse: kuju ei sõltu kasvust. Ajakirjanik William Hoffer märkis, et „Suur kuldne spiraal tundub olevat looduse viis ilma kvaliteeti ohverdamata kvantiteeti üles ehitada.“31

Mõned inimesed arvavad, et Fibonacci arve saab kasutada paljude erinevate ennustuste tegemiseks, seda eriti aktsiaturgude kohta. Sellised ennustused toimivad piisavalt tihti, et entusiasm säiliks. Fibonacci jada on sedavõrd huvitav, et olemas on isegi Ameerika Fibonacci Ühing, mis asub Californias Santa Clara ülikooli juures ja mis on avaldanud sellel teemal alates 1962. aastast tuhandete lehekülgede jagu uurimusi.

Fibonacci „Liber Abaci“ oli muljetavaldav esimene samm, et mõõtmisest saaks riski taltsutamise võtmetegur. Kuid ühiskond ei olnud veel valmis riskile arve külge panema. Fibonacci ajastul arvas enamik inimesi endiselt, et risk tulenes looduse kapriissusest. Enne kui inimesed olid valmis riskitaltsutamise tehnikaid aktsepteerima, pidid nad õppima tundma ära inimtekkelisi riske ja omandama julguse saatusega lahingusse astumiseks. Selline äratundmine jäi veel vähemalt kahesaja aasta kaugusele tulevikku.

Fibonacci saavutuse täielikku mõju suudame hinnata ainult vaadates tagasi ajastusse, mis eelnes sellele, kui ta selgitas, kuidas eristada omavahel arve 10 ja 100. Kuid isegi sealt avastame me märkimisväärseid novaatoreid.

Primitiivsed inimesed, nagu näiteks neandertallased, oskasid arvet pidada, kuid neil oli vähe asju, mille üle seda teha. Nad märkisid mõnele kivile või palgile üles päevade möödumise ja jälgisid, mitu looma nad tapsid. Aega arvestas nende eest päike ja viis minutit või pool tundi siia-sinna ei omanud suurt tähtsust.

Esimene süstemaatiline katse mõõta ja loendada leidis aset umbes kümme tuhat aastat enne Kristuse sündi.32 Just siis asusid inimesed toidu kasvatamiseks alaliselt elama orgudesse, mida niisutasid sellised suured jõed nagu Tigris ja Eufrat, Niilus, Indus, Jangtse, Mississippi ja Amazonas. Jõgedest said varsti kaubanduse ja reisimise magistraalid, mis juhtisid seiklusaltimaid inimesi lõpuks ookeanide ja meredeni, kuhu jõed voolasid. Järjest kaugemate vahemaade taha liikuvate reisijate jaoks olid kalendriaeg, navigatsioon ja geograafia väga tähtsad ning need tegurid vajasid järjest täpsemaid arvutusi.

Esimesed astronoomid olid preestrid ja astronoomiast tekkis matemaatika. Kui inimesed said aru, et kividele ja pulkadele tõmmatud sälkudest enam ei piisa, hakkasid nad jagama arve kümnestesse või kahekümnestesse gruppidesse, mida oli lihtne sõrmedel ja varvastel lugeda.

Kuigi egiptlastest said osavad astronoomid ja nad oskasid vilunult ennustada, millal Niiluse jõgi piirkonna üle ujutab või tagasi tõmbub, ei tulnud tuleviku juhtimine või mõjutamine neile kunagi isegi mitte pähegi. Muutus ei kuulunud nende vaimsetesse protsessidesse, mille üle valitsesid harjumused, hooajalisus ja austus mineviku vastu.

Umbes aastal 450 eKr lõid kreeklased tähtedel põhineva arvusüsteemi, kus kasutati Kreeka tähestiku 24 tähte ja veel 3 tähte, mis muutusid hiljem üleliigseks. Oma täht oli kõigil numbritel vahemikus 1–9 ja kõigil kümnetel. Näiteks sümbol „pii“ tuleb kreekakeelse sõna penta esimesest tähest, mis tähendas arvu „viis“; „kümmet“ tähistava sõna deca esimene täht delta tähistas numbrit kümme, tähestiku esimene täht alfa tähistas numbrit 1 ja roo tähistas arvu 100. Seega kirjutati arv 115 roo-deca-penta ehk ρδπ. Kuigi heebrealased olid semiidid, mitte indoeurooplased, kasutasid nad sama tüüpi tähtedel põhinevat arvusüsteemi.33

Need tähtnumbrid olid küll kasulikud selleks, et inimesed saaksid tugevamaid struktuure ehitada, kaugemale reisida ja täpsemalt aega arvestada, aga süsteem oli tõsiselt piiratud. Tähti oli väga keeruline liitmiseks, lahutamiseks, korrutamiseks või jagamiseks kasutada ja peastarvutamisel oli see peaaegu võimatu. Need numbrite asendajad ei võimaldanud muud, kui andsid vahendi teiste meetoditega, enamasti abakuse või arvelauaga tehtud arvutuste tulemuste ülestähendamiseks. Ajaloo kõige vanem arvutusvahend abakus valitses matemaatilist maailma kuni India-Araabia arvusüsteem umbes vahemikus 1000–1200 pKr lavale astus.

Abakuse tööpõhimõte on järgmine: igas tulbas määratakse kindlaks maksimaalne nuppude arv. Kui liites täitub kõige parempoolsem tulp, liigutatakse üleliigsed nupud ühe tulba võrra vasakule ja nõnda edasi. Meie mõisted „laena üks“ ja „vii kolm üle“ pärinevad abakuse ajastust.34

Hoolimata selliste varajaste matemaatikavormide piirangutest, võimaldasid need teha teadmistes suuri edasiminekuid, seda eelkõige kujundite keeles geomeetrias ning selle paljudes rakendustes astronoomias, navigatsioonis ja mehaanikas. Nendes valdkondades tegid kõige muljetavaldavamaid edusamme kreeklased ja nende kolleegid Aleksandrias. Ainult Piiblist on ilmunud rohkem väljaandeid ja trükke kui Eukleidese kõige kuulsamast raamatust „Elemendid“.

Siiski ei olnud kreeklaste suurim panus teaduse uuendamine. Lõppude lõpuks olid Egiptuse ja Babüloonia templite preestrid õppinud geomeetria kohta üpris palju juba ammu enne Eukleidese lavaleastumist. Isegi kuulus Pythagorase teoreem (täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga) oli Tigrise ja Eufrati jõgede orus kasutusel juba 2000 aastat eKr.

Kreeklaste vaimsuse ainulaadne joon oli nõuda kindlat tõestust. Küsimus „miks?“ oli nende jaoks tähtsam kui küsimus „mis?“. Kreeklased suutsid põhiküsimused ümber sõnastada, sest nende tsivilisatsioon oli esimene tsivilisatsioon kogu ajaloos, kes oli prii kõikvõimsa preesterkonna pealesurutud intellektuaalsest hullusärgist. Needsamad hoiakud viisid selleni, et kreeklastest said maailma esimesed turistid ja kolonisaatorid, kes muutsid Vahemere piirkonna oma isiklikuks jahireservaadiks.

Selle tulemusel olid kreeklased elukogenumad ja keeldusid võtmast puhta kullana rusikareegleid, mida vanemad ühiskonnad olid neile pärandanud. Neid ei huvitanud üksikud näited; nende eesmärk oli leida ideed, mis kehtiksid igal pool ja igal juhtumil. Näiteks oli seda, et täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut on võrdne selle kaatetite ruutude summaga, võimalik kindlaks teha ainult mõõtmistega. Kuid kreeklased küsisid, miks peaks see olema nii kõigi täisnurksete kolmnurkade puhul, nii väikeste kui ka suurte puhul, ilma et reeglil oleks ühtegi erandit. Kogu Eukleidese geomeetria sisu ongi tõendamises. Ja pärast seda valitsevad matemaatilise teooria üle igavesti tõendid, mitte arvutused.

Selline täielik lahtiütlemine teiste tsivilisatsioonide analüütilistest meetoditest paneb taas kord imestama, miks kreeklastel ei õnnestunud avastada tõenäosusteooriat ega matemaatilise analüüsi seaduspärasusi ega isegi mitte lihtsat algebrat. Võib-olla oli see kõigist kreeklaste saavutustest hoolimata nii seetõttu, et nad pidid sõltuma kohmakast tähestikul põhinevast arvusüsteemist. Roomlased kannatasid sama puude käes. Nii lihtsa arvu nagu 9 kirjutamiseks oli vaja kahte tähte: IX. Roomlastel polnud võimalik kirjutada arvu 32 kui III II, sest poleks olnud võimalik kuidagi aru saada, kas see tähendas numbrit 32, 302, 3020 või mõnda pikemat kombinatsiooni numbritest 3, 2 ja 0. Sellisele süsteemile oli võimatu arvutusi rajada.

Kuid parema arvusüsteemi avastamine ei juhtunud enne, kui umbes 500 pKr, kui hindud lõid selle arvusüsteemi, mida tänapäeval kasutame. Kes selle imelise leiutise peale tuli ja millised olud aitasid leiutisel kogu Hindustani poolsaarel levida, jääb saladuseks. Araablased kohtusid uute numbritega esimest korda umbes 90 aastat pärast seda, kui Muhamed 622. aastal proselüüdina islami usu rajas ning tema ühtseks võimsaks rahvuseks ühendatud järgijad Indiasse ja sealt kaugemale liikusid.

Uus arvusüsteem mõjus läänes asuvates maades intellektuaalsele tegevusele virgutavalt. Bagdad, niigi suur hariduskeskus, kerkis esile kui matemaatilise teadustöö ja tegevuse kese, ning kaliif hoidis oma palgal juudi õpetlasi, et need tõlgiks selliste matemaatiliste teerajajate teoseid nagu Ptolemaios ja Eukleides. Varsti ringlesid matemaatikute peamised teosed kogu Araabia impeeriumis ning 9. ja 10. sajandiks kasutati neid juba nii kaugel läänes nagu Hispaanias.

Tegelikult oli üks läänepoolne elanik esitlenud arvusüsteemi vähemalt kaks sajandit varem kui hindud. Umbes aastal 200 eKr kirjutas Aleksandria matemaatik Diophantos traktaadi, milles ta tõi esile, millised eelised oleks sellel, kui arvude tähtedega asendamise asemel kasutataks tõeliste numbritega süsteemi.35

Diophantosest pole teada palju, kuid see vähene, mida teame, on lõbustav. Matemaatika ajaloo uurija Herbert Warren Turnbulli sõnul kirjutatakse ühes Kreeka epigrammis Diophantose kohta, et „tema poisipõlv kestis 1/6 tema elust; tema habe hakkas kasvama, kui möödunud oli veel 1/12; ta abiellus, kui mööda sai veel 1/7 ning tema poeg sündis viis aastat pärast seda. Poja elu oli isa omast poole lühem ja isa suri neli aastat pärast oma poega.“ Kui vanalt suri Diophantos?36 Algebrahuvilised leiavad vastuse selle peatüki lõpust.

Diophantos arendas sümboolse algebra – numbrite asemel sümbolite kasutamise – ideed kaugele, kuid ta ei jõudnud sellega päris lõpuni. Ta kommenteerib, et „absurdset võrrandit 4 = 4x + 20 ei ole võimalik lahendada.“37 Ei ole võimalik? Absurdne? Selles võrrandis peab x olema negatiivne arv: –4. Ilma nulli mõisteta, mis Diophantosel puudu jäi, on negatiivne arv loogiliselt võimatu.

Tundub, et Diophantose märkimisväärseid uuendusi on eiratud. Enne kui keegi tema tööd tähele pani, möödus peaaegu poolteist millenniumit. Viimaks ometi said tema saavutused oma väärilise palga: tema traktaat mängis 17. sajandil algebra õitsengus keskset rolli. Meile kõigile tänapäeval tuttavaid algebralisi võrrandeid, nagu näiteks a + bx = c, nimetatakse diofantilisteks võrranditeks.

India-Araabia süsteemi keskmeks oli nulli leiutamine, mida hindud nimetasid sundya ja mille kohta hakati araabia keeles kasutama sõna cifr.38 See mõiste on jõudnud inglise keelde kui sõna cipher (eesti k „null“), mis tähendab tühja ja viitab abakuse või arvelaua tühjale tulbale.39

Inimestel, kes olid kasutanud loendamist ainult selleks, et jälgida, kui mitu looma on tapetud, päeva möödunud või ühikut reisitud, oli nulli mõistet raske haarata. Nullil ei olnud selles mõttes loendamise eesmärgiga mingit pistmist. Nagu on öelnud 20. sajandi inglise filosoof Alfred North Whitehead:

Nulli mõte on see, et meil ei ole vaja seda igapäevastes tegevustes kasutada. Keegi ei lähe nulli kala ostma. Mõnes mõttes on see kõigist põhiarvudest kõige tsiviliseeritum ning selle kasutamise on meile peale surunud ainult kultiveeritud mõtteviisidest tulenevad vajadused.40

Whiteheadi fraas „kultiveeritud mõtteviisid“ viitab sellele, et nulli mõiste päästis valla midagi sügavamat kui lihtsalt parema loendamise ja arvutamise meetodi. Nagu Diophantos oli aimanud, võimaldas korralik arvusüsteem matemaatikal areneda lisaks mõõtmistehnikale ka abstraktseks teaduseks. Null pühkis ideede ja progressi piirid minema.

Null muutis vana arvusüsteemi radikaalselt kahel viisil. Esiteks tähendas see, et inimesed said kasutada ainult kümmet numbrit nullist üheksani, et teha kõiki kujutletavaid arvutusi ja kirjutada mistahes mõeldavaid arve. Teiseks tähendas see, et selline arvujada nagu 1, 10, 100 näitaks, et järgmine arv jadas oleks 1000. Null muudab kogu arvusüsteemi struktuuri kohe nähtavaks ja selgeks. Proovige teha sama Rooma numbritega I, X ja C või V, L ja D – milline oleks nende jadade järgmine arv?

Araabia aritmeetika esimese teadaoleva teose kirjutas matemaatik al-Khwārizmī, kes elas umbes 825. aasta paiku, umbes 400 aastat enne Fibonaccit.41 Kuigi temast on kuulnud vaid need vähesed, kes tema tööst kasu on saanud, teab enamik meist teda kaudselt. Proovige öelda kiiresti „al-Khwārizmī“. Sealt tuleb meile sõna „algoritm“, mis tähendab arvutamise reegleid.42 Al-Khwārizmī oli esimene matemaatik, kes sõnastas reeglid uute India numbritega liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise kohta. Ühes teises uurimuses pealkirjaga „al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ǧabr wa-ʾl-muqābala“ ehk „Transpositsiooni ja taandamise teadus“ kirjeldas ta üksikasjalikult algebraliste võrrandite teisendamise protsessi. Meie sõna algebra, mis tähendab võrrandite teadust, on seega tulnud sõnast al-ǧabr.43

Üks varastest matemaatikutest kõige tähtsamaid ja kindlasti neist kõige kuulsam oli Umar Hajjam, luulekogumiku „Rubaiyat“ („Nelikvärsid“) autor,44 kes elas umbes aastatel 1050–1130. Inglise luuletaja Edward Fitzgerald tõlkis Victoria ajastul ära tema 75 neljarealisest luuletusest koosneva kummitava seeria (sõna Rubaiyat tähistab luulevormi). Selles õhukeses väljaandes räägitakse rohkem veinijoomise rõõmudest ja elu mööduva loomuse ärakasutamisest kui teadusest või matemaatikast. Tõepoolest, luuletuses XXVII kirjutab Umar Hajjam nii:

Fitzgeraldi sõnul sai Umar Hajjam hariduse koos kahe sõbraga, kes olid mõlemad sama terased kui tema: Nizam al Mulk ja Hasan al Sabbah. Ühel päeval tegi Hasan ettepaneku, et kuna vähemalt üks kolmest saab rikkaks ja võimsaks, peaksid nad vanduma, et „kellele iganes see õnn sülle langeb, jagab seda võrdselt teistega ega sea ennast esikohale.“ Nad andsid kõik vande ja aja jooksul sai Nizamist sultani vesiir. Tema kaks sõpra otsisid ta üles ja palusid oma osa, mille ta neile andis, nagu lubatud.

Hasan küsis ja sai koha valitsuses, kuid kuna ta ei olnud oma ametijärje edenemisega rahul, lahkus ta sealt ja temast sai ühe kogu muhameedlikus maailmas hirmu külvanud usufanaatikute sekti juht. Palju aastaid hiljem mõrvas Hasan oma vana sõbra Nizami.

Umar Hajjam ei küsinud ühtegi tiitlit ega ametikohta. „Suurim heategu, mille sa mulle teha saad,“ ütles ta Nizamile, „on lasta mul elada mõnes oma õnne varjulises nurgakeses, et ma saaks teaduse hüvesid laialdaselt levitada ning palvetada su pika ea ja heaolu eest.“ Kuigi sultan armastas Umar Hajjami ja külvas ta teenetega üle, „vaadati Umarile tema mõtete ja kõneviisi epikuurliku jultumuse tõttu tema enda ajastul ja riigis viltu“.

Umar Hajjam kasutas uut arvusüsteemi, et töötada välja arvutamise keel, mis läks al-Khwārizmī jõupingutustest kaugemale ja millest sai keerulisema algebralise keele alus. Lisaks kasutas Umar Hajjam tehnilisi matemaatilisi tähelepanekuid kalendri reformimiseks ja selleks, et mõelda välja kolmnurkne tabel, mis lihtsustas arvutamist ruutude, kuupide ja kõrgemate matemaatiliste tehete korral. See kolmnurk oli aluseks kontseptsioonidele, mille töötas 17. sajandil välja prantsuse matemaatik Blaise Pascal, kes oli üks valiku, juhuslikkuse ja tõenäosuse teooria isadest.46

Araablaste muljetavaldavad saavutused näitavad taas kord seda, et idee võib väga kaugele areneda ja ikkagi enne loogilise järelduseni jõudmist äkki peatuda. Miks ei suutnud araablased oma edasijõudnud matemaatiliste ideedega minna edasi tõenäosusteooria ja riskijuhtimiseni? Arvan, et vastus on nende ellusuhtumises. Kes määrab meie tuleviku kindlaks: saatus, jumalad või meie ise? Riskijuhtimine kerkib esile alles siis, kui inimesed usuvad, et nad saavad mingil määral vabalt tegutseda. Sarnaselt kreeklastele ja varakristlastele ei olnud fatalistlikud moslemid veel valmis seda hüpet tegema.

Aastaks 1000 tegelesid uue arvusüsteemi populariseerimisega mauride ülikoolid Hispaanias ja mujal ning saratseenid Sitsiilias. Üks normannide välja antud Sitsiilia münt, millel on aastaarv 1134 pKr, on esimene teadaolev näide süsteemi rakendusest tegelikus elus. Siiski ei leidnud uued numbrid kuni 13. sajandini laialdast kasutust.

Hoolimata sellest, et keiser Friedrich oli Fibonacci raamatu patroon ja et raamatut levitati Euroopas laialdaselt, oli vastuseis India-Araabia arvusüsteemi kasutuselevõtule kuni 16. sajandi alguseni tugev ja vihane. Siin on meil ometi kord võimalik viivitust selgitada. Mängus oli kaks tegurit.

Osa vastupanust tulenes tegevusetust toetavatest jõududest, mis on vastu igasugusele sajandite jooksul kasutamise käigus pühaks muutunud asjade muutumisele. Täiesti uute meetodite õppimist ei tervitata kunagi avasüli.

Teine tegur põhines tugevamatel alustel: uute numbritega oli lihtsam petta kui vanadega. Nulli kuueks või üheksaks muutmine oli ahvatlevalt lihtne ning ühest sai kerge vaevaga teha 4, 6, 7 või 9 (see on üks põhjus, miks eurooplased seitsme keskele kriipsu teevad). Kuigi uued numbrid kinnitasid kõigepealt kanda Itaalias, kus haridustase oli kõrge, anti Firenzes 1229. aastal välja edikt, millega keelati pankuritel kasutada „uskmatute“ sümboleid. Selle tulemusel pidid paljud inimesed, kes tahtsid uut süsteemi kasutama õppida, maskeeruma selleks moslemiteks.47

15. sajandi keskel käsilaoga trükipressi leiutamine oli katalüsaator, mis ületas lõpuks vastupanu uute numbrite kasutamisele kõikjal. Nüüd ei olnud enam võimalik numbreid petturlikult muuta. Nüüd sai kõigile selgeks, kui naeruväärselt keeruline Rooma numbrite kasutamine oli. See läbimurre andis kaubandustehingutele sisse suure hoo. Nüüd sai al-Khwārizmī korrutustabelitest midagi, mida kõik koolilapsed pidid igavesest ajast igavesti õppima. Lõpuks ometi võttis mängurlus koos esimeste tõenäosusteooria algetega täiesti uued mõõtmed.

Algebraline lahendus Diophantose kohta käivale epigrammile on järgmine. Kui x oli tema vanus surmahetkel, siis: x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4.

Diophantus elas 84-aastaseks.