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Table des matières

LE point est ce qui n’a aucune partie. La ligne qui est la premiere grandeur mesurable, est une longueur sans largeur;&les extremitez de la ligne sont points.

Des lignes il y en a de droites&de courbes.

La ligne droite est celle qui est également étendue entre ses points.

Des lignes courbes il y en a de circulaires, d’elliptiques, d’hyperboliques, de paraboliques, de spirales, d’helices,&autres.

Angle est l’inclination de deux lignes sur un mesme plan qui se rencontrent en un point non directement, comme si la ligne AB,&la ligne BC se rencontrent au point B, elles feront un angle.

Des angles il y en a de droits, d’obtus& d’aigus.

Quand une ligne tombe sur une autre ligne, en sorte qu’elle fait les angles de part &d’autres égaux, ces angles s’appellent angles droits,&la ligne tombante sur l’autre ligne, s’appelle perpendiculaire: ainsi la ligne BD estant perpendiculaire sur la ligne AC, les angles ADB&BDC seront égaux,&par consequens droits.

Mais quand une ligne ne tombe pas perpendiculairement sur une autre ligne, elle fait les angles inégaux, dont le plus grand s’appelle angle obtus,&l’autre s’appelle angle aigu: comme si la ligne BD, tombant sur la ligne AC au point D, fait les angles BDA&BDC inégaux, le plus grand BDA s’appelle angle obtus, &le moindre BDC s’appelle angle aigu.

Les angles s’expriment par trois lettres, dont celle du milieu est la rencontre des lignes,& celle qui montre l’angle que l’on veut exprimer, comme l’angle obtus BDA,& l’angle aigu BDC.

Quand deux lignes sont posées sur un même plan, de maniere qu’estant prolongées à l’infini, elles soient toûjours également distantes lune de l’autre, on les appelle lignes paralleles, comme les lignes AB, CD.

Superficie est un espace renfermé de lignes, ou une longueur&: largeur sans profondeur; cette superficie par rapport à ses costez s’appelle figure plane.

Le triangle est la premiere des figures planes, laquelle peut estre considerée en six differentes façons, trois par rapport à ses costez,&: trois par rapport à ses angles.

Le triangle par rapport à les costez, est ou Equilateral ou Isoscele, ou Scalene.

Le triangle Equilateral a trois costez égaux, comme le triangle A.

Le triangle Isoscele a deux costez égaux, comme le triangle B.

Le triangle scalene a les trois costez inégaux, comme le triangle C.

Le triangle consideré se-Ion ses angles, est ou Rectangle, ou Amblygone, ou Oxygone.

Un triangle est rectangle quand il a un angle droit, comme le triangle D.

Un triangle est amblygone quand il a un angle obtus, comme le triangle E.

Un triangle est oxygone quand il a les angles aigus, comme le triangle F.

La base d’un triangle considerée par rapport à l’angle qui en est le sommet, est le costé opposé à ce mesme angle, comme au triangle ABC, si l’on considere l’angle B pour le sommet, AC sera la base du triangle.

La seconde des figures planes rectilignes est le quarré, qui a les quatre costez&les quatre angles égaux, comme la figure I.

Parallelogramme, quarré long, ou rectangle, ces trois noms font synonimes, c’est une figure qui a les quatre angles droits,&les costez opposez paralleles&égaux, comme la figure A.

Rhombe ou lozange est une figure qui a les quatre costez égaux,&les angles opposez égaux, comme la figure B.

Rhomboïde est une figure qui a les costez,&les angles opposez égaux, comme la figure C.

Trapeze est une figure qui a les quatre costez inégaux, comme la figure D.

Des autres figures rectilignes, celles qui ont les angles&&les costez égaux, font appellées regulieres.

Celles qui n’ont ni les costez ni les angles égaux, s’appellent figures irregulieres,& sont comprises sous le nom general de Polygones.

Des regulieres celles qui ont cinq costez&cinq angles égaux, s’appellent pentagones comme la figure E.

Celles qui ont six angles &: six costez égaux, s’appellent hexagones, comme la figure F.

Celles qui ont7costez, &7angles égaux, s’appellent heptagones, comme la figure G,&ainsi du reste, comme de l’octogone, enneagone, decagone, en decagone, dodecagone,&c.

Le cercle est une figure comprise d’une seule ligne, appellée circonference, laquelle est décrited’un point au dedans, que l’on appelle centre, duquel point toutes les droites menées à la circonference sont égales entr’elles, comme la figure ACBF, dont le centre est D, &AD ou DB lignes qui s’appellent demi-diametres ou rayons, les lignes AB ou CF qui passent par le centre,&qui touchent la circonference, s’appellent diametres du cercle. Toute portion de circonférence du cercle s’appelle arc; si une ligne est menée au dedans du cercle,&qu’elle touche en deux points la circonférence sans passer par le centre, cette ligne s’appelle corde de l’arc, qu’elle soûtient, comme la ligne CB qui soûtient l’arc CGB.

Secteur de cercle est une figure comprise d’une partie de la circonference,&de deux demi-diametres, comme la figure DCGB.

Segment de cercle est une figure comprise d’une partie de la circonference,& d’une ligne droite qui touche les extremitez d’icelle circonference comme la figure CGB.

L’ovale ou l’ellipse est une figure oblongue comprise d’une seule ligne courbe, mais non pas circulaire.

Centre de l’ovale est le point du milieu A.

Axes ou diametres de l’ovale, sont les lignes passantes par le centre à angles droits,& qui font terminées de part&d’autre à la circonference de l’ovale, comme font les lignes DE, BC, dont l’une est le grand axe, qui reprefenre la longueur de l’ovale,&l’autre le petit axe qui en represente la largeur; si d’autres lignes passent par le centre de l’ovale&se terminent à la circonference, elles fontapellées diametres comme la ligne GH.

L’ovale a ses parties semblables à celles du cercle, comme secteur&: segment, &c. Ainsi. la portion de la circonference DHC,&les deux lignes AC&DA comprennent un secteur d’ovale,&: la mesme portion DHC avec la ligne DC, comprend un segment d’ovale: il y auroit d’autres choses à dire de l’ovale, mais cela appartient à sa description.

Diagonale est une ligne droite tirée d’un angle d’une figure rectiligne, a l’angle opposé, comme au rectangle ABCD, la ligne BC est appelle diagonale.

Les corps solides sont çeux qui ont longueur, largeur,&profondeur, dont les extremitez sont des surfaces.

Le cube est un solide rectangle, com pris de six surfaces quarrées&: égales, comme la figure A; il est aussi appelle hexaëdre.

La base d’un corps solide ou d’un cube est la superficie que l’on suppose estre le fondement dudit corps.

Le cube rectangle oblong est un corps compris de six surfaces, dont quatre sont oblongues&égales,&deux quarrées, comme la figure B.

Le prisme est un solide, qui a pour base à chacun de ses bouts un triangle, ou un trapeze, ou un pentagone, &c.&dont les costez élevez perpendiculairement au dessus de la base, font égaux&: paralleles, comme la figure C.

La Pyramide est un solide qui a pour base un quarré, ou une autre figure rectiligne,&dont les lignes élevées au dessus de la base tendent toutes à un point, que l’on apelle sommet, comme la figure D.

Cylindre est un solide qui a pour ses deux bases deux cercles égaux&paralleles, comme la figure E.

Cone est un solide qui a pour base un cercle,& dont les lignes élevées au dessus tendent à un point appelle sommet comme la figure F.

Sphere est un solide compris d’une seule superficie circulaire, comme la figure G.

Spheroïde est un solide compris d’une seule superficie ovale, comme la figure H.

Corps reguliers font des solides dont toutes les lignes ou costez,& toutes les superficies sont égales.

Angle solide ou materiel, est l’inclination de plusieurs lignes qui sont dans divers plans: comme dans la pyramide triangulaire ABCD, l’angle BC D est appellé angle solide, ou l’angle BAD,&c.

PROPOSITION I.

Mesurer la superficie d’un quarré.

COmme le quarré a ses quatre costez égaux, il faut multiplier l’un des côtez par luy-mesme,&le produit sera le requis.

EXEMPLE.

Soit le quarré AB dont chacun des costez soit de six mesures, il faut multiplier six par six, le produit donnera36 pour la superficie requise.

PROPOSITION II.

Mesurer la superficie d’un parallelogramme.

IL faut multiplier le petit costé par le grand, ou le grand par le petit,&le produit sera le requis. Exemple au parallelogramme A B, soit le costé AC de12mesures,&le costé BC de six mesures, il faut multiplier 12par6,&: l’on aura72pour la superficie requise.

PROPOSITION III.

Mesurer la superficie d’un triangle rectangle.

IL faut premierement sçavoir que tous les trianles rectangles sont toûjours la moitié d’un quarré, ou d’un parallelogramme. C’est pourquoy il faut mesurer les côtez qui comprennent l’angle droit, les multiplier l’un par l’autre,&: la moitié du produit sera le requis. Exemple soit proposé à mesurer le triangle rectangle ABC, dont le costé AB soit de 12mesures,&: le côté BC de6mesures: comme ces costez comprennent l’angle droit ABC, il faut multiplier12par6,& l’on aura72, dont la moitié qui est36, sera la superficie requise. L’on aura la mesme chose si on multiplie l’un de ces costez par la moitié de l’autre.

PROPOSITION IV.

Mesurer la superficie de toute sorte de triangles rectilignes.

DE mesme que les triangles rectangles sont la moitié d’un quarré ou d’un parallelogramme, tous les autres triangles sont toûjours la moitié des mesmes figures, dans lesquelles ces triangles peuvent estre inscripts, comme il sera aisé à connoistre en supposant le triangle irregulier ABC, inscript dans le rectangle EDAC: car si du sommet B du triangle ABC, l’on fait tomber sur A C la perpendiculaire BF, le même triangle sera divisé en deux autres triangles, qui seront égaux aux deux triangles de complement, qui composent le rectangle EDAC; car le triangle AFB sera égal au triangle AEB,&le triangle CBF sera égal au triangle CDB: ainsi dans tous les triangles rectilignes, de quelque espece qu’ils puissent estre, si l’on fait tomber une perpendiculaire de l’un des angles, sur le costé opposé au mesme angle,&que l’on multiplie ce mesme costé par cette perpendiculaire, la moitié du produit sera la superficie requise, ou bien si l’on veut multiplier l’une de ces deux lignes par la moitié de l’autre l’on aura la mesme chose. Exemple. Soit le costé AC de 9mesures,&la perpendiculaire BF de six mesures, si l’on multiplie6par9, l’on aura54, dont la moitié est27pour la superficie requise: ou bien si l’on multiplie 9, qui est le costé AC par3moitié de la perpendiculaire BF, l’on aura la mesme superficie.

IL faut ajoûter les trois costez ensemble, &de la moitié de leurs sommes soustraire chaque costé separément: puis si l’on multiplie les trois restes,&ladite moitié l’un par l’autre continuëment, la racine quarrée du produit sera la superficie du triangle proposé. Exemple. Supposons que les trois costez du triangle ABC foient13, 14, 15, leur somme sera42, dont la moitié est21, de laquelle moitié si l’on oste separément13, 14, 15, il restera8, 7, 6,&que l’on multiplie ensuite8 par21, l’on aura168qu’il faut multiplier par7,&: l’on aura1176, qu’il faut encore multiplier par6, &l’on aura7056, duquel nombre la racine quarrée est84pour la superficie requise du triangle.

PROPOSITION V.

Mesurer la superficie des Polygones reguliers:

IL faut prendre le circuit du polygone regulier proposé,&multiplier ce circuit par la moitié de la perpendiculaire qui tombera du centre de la figure sur l’un des costez d’icelle,&le produit sera la superficie requise. Exemple. Soit proposé à mesurer l’hexagone regulier ABCDEF, dont chacun costé soit de cinq mesures, les six costez contiendront30mesures: il faut du centre G, faire tomber sur ED, la perpendiculaire GH, que je suppose estre de4mesures, dont la moitié qui est 2, doit estre multipliée par30du circuit,& l’on aura60pour la superficie requise.

PROPOSITION VI.

Mesurer les Polygones irreguliers.

SOus le nom de Polygones irreguliers, sont comprises toutes figures rectilignes ou multilateres irregulieres;&pour en avoir la superficie, il faut diviser les figures en triangles, qui ayent tous un angle dans un de ceux de la figure que l’on veut mesurer,&ensuite mesurer separément chacun de ces triangles par la Prop.4. puis ajoûter tous les triangles contenus dans ladite figure,&l’on aura la superficie requise de la figure proposee. Exemple soit proposé à mesurer le polygone irregulier AB CDEFG, il faut prendre un des angles à volonté, comme icy l’angle C,&mener des lignes aux autres angles, comme CA, CG, CF, CE, l’on aura cinq triangles qu’il faut mesurer separément par la methode cy-devant expliquée, &rassembler toutes leurs superficies pour avoir celle de la figure proposée, Comme si le triangle ABC contient 10mesures, le triangle ACG8, le triangle GCF7, le triangle FCE6,&le triangle ECD9, en ajoûtant tous ces nombres, l’on aura40mesures pour la superficie totale du polygone proposé.

PROPOSITION VII.

Mesurer les Rhombes.

L’On aura la superficie des Rhombes en multipliant l’une de leurs diagonales par la moitié de l’autre.

Exemple soit proposé à mesurer le Rhombe ABCD, dont la diagonale BD soit de12mesures,&la diagonale AC de huit mesures, il faut multiplier12, par4qui est la moitié de8,&l’on aura 48pour la superficie requise. Il en arrivera de mesme, si l’on multiplie la moitié de12, qui est6, par8; ce qui fait le mesme nombre48.

PROPOSITION VIII.

Mesurer les Rhomboides.

LEs Rhomboïdes sont des figures dont les costez font paralleles, mais qui n’ont pas les angles droits; pour en avoir la superficie, il faut multiplier l’un des costez par la perpendiculaire qui tombe de l’un des angles sur le costé opposé. Exemple soit le Rhomboïde ABCD, dont le costé A B soit de10mesures,& la perpendiculai re AE de6mesures, il faut multiplier6par10,& l’on aura60pour la superficie requise.

PROPOSITION IX.

esurer les Trapezes.

QUoy que l’on puisse mesurer toutes les figures rectilignes, par la regle generale de la Prop.4. que j’ay donnée de les reduire en triangles je ne laisseray pas d’expliquer la mesure particuliere des trapezes,&premierement de ceux qu’on appelle reguliers, qui ont deux costez paralleles entr’eux. Soie proposé à mesurer le trapeze rectangle ABCD, il faut ajoûter ensemble les deux costez AC,&BD,&multiplier la moitié de leur somme par le costé CD.

Exemple. Soit le costé AC de7mesures,&le costé DB de 9mesures, leur somme sera16, dont la moitié8sera multipliée par10qui est le costé CD perpendiculaire sur AC,&DB,&l’on aura80pour la superficie requise.

Les trapezes isosceles qui ont deux costez paralleles,&les angles sur les mesmes costez égaux, font mesurez en ajoûtant ensemble les deux costez paralleles,&multipliant la moitié de leur somme par la perpendiculaire qui tombera de l’un des angles égaux sur le costé opposé. Exemple soit proposé à mesurer le trapeze isoscele ABCD, dont le costé AB est paralelle à CD,&dont l’un est de6&l’autre de10mesures, la moitié de leur somme est8, qu’il faut multiplier par la perpendiculaire AE de7. mesures; ce qui donnera56. mesures pour la superficie requise. Les trapezes irreguliers font mesurez estant divisez en triangles, comme le trapeze ABCD, qui n’a aucun de ces costez paralleles ny égaux; il faut diviser cette figure en deux triangles par la diagonale CB,&des angles opposez A&D, faire tomber sur icelle les perpen diculaires AE& DF,&mesurer ensuite les deux triangles CAB& CDB, lesquels triangles il faut ajoûter ensemble, pour avoir la superficie requise,

PROPOSITION X.

Mesurer la superficie d’un cercle.

CETTE proposition n’a point encore esté resoluë geometriquement, parce qu’elle suppose la quadrature du cercle que l’on n’a point encore trouvée ny mesme la proportion de la circonférence avec la ligne droite; mais on se sert de la regle d’Archimede qui approche assez pour la pratique. Il a trouvé que la proportion de la circonference d’un cercle à son diametre estoit à peu prés comme de7à22. C’est pourquoy si l’on multiplie toute la circonférence par le quart du diametre, ou tout le diametre par le quart de la circonférence ce qui est le mesme l’on aura la superficie du cercle proposé. Exemple Soit proposé à mesurer le cercle ABCD, dont le diametre AC ou BD soit35mesures, il faut faire une regle de proportion en cette manière, en disant, comme7à 22—35soit à un autre nombre,&l’on trouvera que la circonference sera10. Il faut ensuite multiplier271/2 quart de la mesme circonference par35diametre du cercle,& l’on aura9621/2 pour la superficie requise Il en arrivera de mesme, si l’on multiplie le quart du diametre par toute la circonference.

Autre maniere de mesurer le Cercle.

CEtte methode est encore d’Archimede,&elle est plus abregée que la precedente, quoy qu’elle soit fondée sur le mesme principe: aprés avoir connu le diametre du cercle proposé, faites un quarré de ce diametre, la superficie de ce quarré sera à la superficie du cercle, comme14est à11. Reprenons le mesme exemple que cy-devant pour en connoistre la preuve. Le diametre du cercle soit encore35, le quarré de35est1225, lesquels1225il faut mettre au troisiéme terme de la regle de proportion, en disant, comme14est à11, ainsi1225 soit à un autre nombre, que l’on trouvera estre9621/2 pour la superficie, comme en l’exemple cy-devant proposé.

PROPOSITION XI.

Mesurer une portion de cercle.

TOute portion de cercle s’appelle secteur ou segment de cercle, secteur est une portion de cercle qui est comprise entre deux demi-diametres&une portion d’arc, comme ABGC, segment de cercle est une portion comprise d’une ligne droite& d’une portion de cercle, comme CDE, ou comme le demicercle BED. Pour mesurer un secteur de cercle, comme ABGC, il faut sçavoir que la superficie d’un secteur de cercle est à toute la superficie du mesme cercle, ’comme la portion de la circonference du mesme secteur, est à toute la circonference du cercle. Par exemple, foit proposé à mesurer le secteur ABGC supposant la superficie du cercle pré cedent de9621/2,&la portion de l’arc BGC la cinquiéme partie de toute la circonference du cercle, le secteur sera la cinquiéme partie de la superficie du mesme cercle. Ainsi la superficie de tout le cercle BCD étant962 1/2, la superficie du secteur ABGC de ce même cercle sera1921/2.

Pour la superficie d’un segment de cercle, il faut premierement trouver le secteur par la précédente proposition,&: soustraire de ce secteur le triangle fait de deux costez du secteur,&de la corde du segment. Par exempie, pour avoir la superficie du segment CDE, il faut mesurer tout le secteur CADE, &en soustraire le triangle CAD, restera le segment CDE, dont on aura la superficie

PROPOSITION XII.

Mesurer la superficie d’une Ellipse, vulgairement appellée ovale.

LA superficie de l’Ellipse est à la superficie d’un cercle, dont le diametre est égal au petit axe de la mesme Ellipse, comme le grand axe est au petit&par consequent le grand axe est au petit axe, comme la superficie de l’Ellipse est à la superficie d’un cercle fait du petit axe. Ainsi pour avoir la superficie d’une Ellipse, il faut premierement trouver la superficie du cercle fait du petit axe,&augmenter cette superficiie, selon la proportion qu’il y a du petit axe au grand. Exemple. Supposons que le petit axe AB foit35,& le grand axe CD soit50, le cercle qui aura35pour diametre, contiendra962 1/2en superficie, ordonnant la regle de proportion. Ainsi l’on dira, comme 35—à50—9621/2 soit à un autre nombre, il viendra1375pour la superficie requise,

Autre maniere de mesurer l’Ellipse.

IL faut faire un rectangle du plus grand &du plus petit axe,&la superficie de ce rectangle sera à la superficie de l’Ellipse, comme14est à 11. Supposons encore la mesme figure, le petit axe AB35,&le grand axe CD50, en multipliant50par35, l’on aura1750pour le contenu du rectangle fait de deux axes de l’Ellipse, puis ordonnant la regle de proportion ainsi l’on dira, comme14—à11.—1750. soit à un autre nombre, il viendra1375pour la superficie de l’Ellipse, comme par la methode cy-devant expliquée.

PROPOSITION XIII.

Mesurer des Portions d’Ellipse.

LEs portions d’Ellipse qui ont mesme raison aux portions du cercle d’escrit du petit axe, font entre elles, comme le grand axe est au petit axe des mesmes Ellipses.

Cecy est un corollaire de la premiere methode que j’ay donnée pour mesurer le cercle; car puisque la superficie d’une Ellipse est à la superficie d’un cercle décrit du petit axe de la mesme Ellipse, comme le grand axe est au petit, toutes les portions d’Ellipses qui répondront aux portions de cercle, feront entre elles, comme la superficie de l’Ellipse est à la superficie du mesme cercle: ce qui est connu par la presente figure, où je suppose le cercle ABCD décrit du petit axe de l’Ellipse. Exemple. Supposons que la superficie du cercle ABCD soit encore de 9621/2,&que la superficie de l’Ellipse soit 1375; les deux secteurs IKD, NLH seront entr’eux comme35est à50, c’est a dire comme les deux axes,&que le secteur IKD soit la septiéme partie du cercle, il contiendra137 1/2; si l’on mene les lignes à plomb, elles répondront aux mesmes parties du secteur LNH de l’Ellipse; Ainsi pour en trouver la superficie l’on dira par une regle de proportion, comme35—50—137 1/2soit a un autre nombre, qui sera1961/7, pour la la superficie du secteur LNH de l’Ellipse. Les segmens d’Ellipses seront mesurez par la mesme methode: car, par exemple, si l’on veut avoir la superficie du segment d’Ellipse GHM, il faut connoistre le segment du cercle DCO qui luy répond,&l’augmenter suivant la proportion du petit axe au grand axe de l’Ellipse,&ainsi de même danstoutes les autres portions d’Ellipses.