Читать книгу Вещи не то, чем кажутся. 100 фреймов УНИВЕРСУМА - Владимир Крамаренко, Владимир Юрьевич Крамаренко - Страница 10

В обыденной жизни часто происходят ситуации, которые сопровождаются резкими скачкообразными трансформациями, несмотря на привычные плавные движения. Классические методы математического анализа, основа которых была создана ещё Ньютоном и Лейбницем, ориентированные на исследования гладких плавных изменений, не справляются с описанием и прогнозированием подобных процессов.

Теоретические принципы, сформулированные классической наукой, базируются на парадигме того, что протекающие в нашей действительности процессы рассматриваются в виде постоянно меняющихся параметров. Однако большинство совершающихся трансформаций происходят скачкообразно, резкими качественными изменениями объектов и процессов: внезапное разрушение моста, закипание жидкости, возникновение тюремных бунтов, наступление биржевого кризиса или крушение самолётов. И такие кардинальные метаморфозы возникают обычно на фоне предшествующих весьма плавных изменений системы, когда их появлению вроде бы ничего не предвещает. Собственно катастрофой называется скачкообразные внезапные трансформации, возникающие в системе в виде её ответа на предшествующие плавные изменения внешних условий. При этом такие трансформации крайне плохо поддаются предсказаниям [14]. Однако в современной области математических знаний, которая носит название теории катастроф, разработаны методы, позволяющие в определённых условиях производить оценки подобных явлений.

Фазовое пространство Ляпунова. Изменение цвета показывает переход системы от упорядоченного состояния к хаотическому [15]

Французский математик Рене Том предложил называть теорией катастроф топологическую теорию динамических систем, используемую для оценки метаморфоз явлений природы, а также совокупность приложений теории особенностей, указав на наличие в подобных процессах структурной устойчивости. При установленных ограничениях переменных и параметров всё многообразие протекающих процессов можно свести всего к семи (!) классическим топологическим конструктам, к которым и будет стремиться поведение системы [16]. Анализируя топологические портреты, являющиеся особыми зонами в фазовом пространстве состояний, возможно установить границы бифуркационных множеств, при попадании в которые система станет совершать скачкообразные трансформации.

Двухмерные образы катастроф. Эллиптическая и параболическая омбилики

При стратификации успеваемости существуют довольно устойчивые группы, соответствующие как максимуму (отличники и близкие к ним студенты), так и слой студентов, соответствующий минимуму – имеющих неудовлетворительную успеваемость и занимающихся по нижней грани оценки удовлетворительно. Они находятся на разных листках топологической поверхности достижений. С точки зрения теории катастроф, в педагогическом процессе основные усилия по контролю знаний и обучению должны быть сконцентрированы на тех студентах, которые находятся в бифуркационной зоне. Так как студенты, имеющие посредственную успеваемость, могут скачком перейти в область хороших и отличных достижений, а хорошо успевающие студенты очень быстро выйти из опасной зоны бифуркации и обрести устойчивый ранг высоких оценок. Располагая данными IQ студентов, параметрами, обеспечивающими качество учебного процесса и используя методы теории катастроф, можно будет прогнозировать, и в определённых пределах более эффективно управлять качеством образования.

Практическое применение теории катастроф заключается в том, что огромное количество явлений, встречающихся в мире, она позволяет свести к очень ограниченному набору стандартных форм, и уже с их помощью провести количественные и качественные оценки динамично изменяющихся феноменов. Так как методы теории катастроф универсальны, они могут использоваться в сфере политики, экономики, управления, медицины, образования и т. п. Таким образом, научное познание получает новые эффективные инструменты для исследования феноменов реальности, до настоящего времени недоступных традиционным методикам и технологиям.