Читать книгу Вещи не то, чем кажутся. 100 фреймов УНИВЕРСУМА - Владимир Крамаренко, Владимир Юрьевич Крамаренко - Страница 3

Топология, по сути, является наукой о пространстве. Её возникновению предшествовал длительный период развития математической мысли. Геометрия Евклида в течение двух тысячелетий рассматривалась в качестве единственной геометрии нашего мира. Однако работы Лобачевского и Гаусса показали, что она является лишь одним из типов геометрий, которые могут быть реализованы не только как объекты математического мышления. Великое достижение математической мысли конца XIX и начала XX века, как отмечал немецкий математик Гильберт, заключалось в том, что удалось изгнать чертежи из математики и свести геометрию к алгебре. Возникновение алгебраической геометрии явилось предтечей топологии, которая пошла ещё дальше в своём развитии. В отличие от алгебраической геометрии, изучающей метрические свойства пространства, топология сконцентрировала своё внимание на его качественных свойствах.

С точки зрения топологии, выделяются количественные и качественные (собственно топологические) свойства пространства [4]. К количественным свойствам относятся кривизна, измерение углов, измерение площадей. Качественные свойства пространства представлены размерностью, ориентированностью, связанностью.

Немецкий математик Гаусс ввёл понятие кривизны или деформации пространства, а также разработал метод, позволяющий исследовать искривление той или иной поверхности. Он создал обобщающую систему координат, где угол между осями может быть криволинейным. Кратчайшее расстояние между двумя точками в обобщённой системе координат получило название геодезической линии. Изменился постулат о параллельных прямых в евклидовой геометрии, согласно которому через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной. Теперь между точкой, лежащей вне геодезической линии, можно было в зависимости от кривизны не провести ни одной геодезической линии параллельной данной или провести их бесконечное количество. В первом случае кривизна положительна, и пространство замкнуто. Образом такого пространства является шар, на котором все геодезические линии, как дуги больших радиусов, пересекаются, а сумма углов треугольника больше 180 градусов. Во втором случае геодезические линии имеют бесконечную длину, пространство разомкнуто, оно имеет отрицательную кривизну. На поверхности с отрицательной кривизной траектории разбегаются и нигде не пересекаются. Сумма углов на подобной поверхности будет меньше 180 градусов. Моделью такой поверхности является седло, а также обратная сторона тора или бублика. Геометрия Евклида оказалась геометрией плоского пространства с кривизной равной нулю. Кривизна во взаимодействии с качественными свойствами порождает огромное топологическое разнообразие пространства.

Рассмотрим такое топологическое свойство, как размерность. Точка как математический объект не имеет измерения. Движение точки порождает линию. Она имеет одно измерение – длину и представляет пример одномерного пространства. Перпендикулярное движение точки относительно линии порождает двухмерное пространство или плоскость. Продолжим алгоритм и получим трёхмерное, а затем четырёхмерное и N-мерные пространства. Представить себе многомерную метрику нельзя, возможности нашего мозга ограничены, но вычислить её можно, используя для этого многоиндексные массивы или матрицы, где количество столбцов и будет определять мерность пространства. Необходимо использовать компьютеры и выполнить проекции, перебрав многомерное многообразие в двухмерных или трёхмерных проекциях. В настоящее время аппарат многомерной метрики широко используется в различных областях науки.

Важной характеристикой размерности пространства является чётность или нечётность. Например, в четырёхмерном пространстве любые две точки будут разделены чем-либо трёхмерным, в двухмерном – одномерном. В подобном пространстве возможно существование таких пар точек, для которых сфера или плоскость, заключающая одну из них, не сможет отделить эти объекты друг от друга. Препятствие в этом случае всегда можно обойти и достичь одной и другой точки, не проникая в сферу. Жук сможет выползти из закрытого ящика стола, желток можно отделить от белка, не разбивая яйцо. Тюрьма в таком пространстве невозможна. Заключённые всё равно убегут, так как препятствия всегда можно обойти.

Ориентированность – ещё одно важное качественное свойство пространства. Под ориентированностью понимается сохранение при движении в таком пространстве положений верх-низ и право-лево. Действительно, двигаясь в этом пространстве, и даже совершая кругосветное путешествие, придя в отправную точку или место нашего движения, мы не заметим никаких изменений – положения лево-право и верх-низ не изменились. Такое пространство называется ориентированным. Неориентированное пространство – это такое пространство, при движении в котором, возможно изменение состояний, приводящих к ситуации, когда левое станет правым, а пол поменяется местами с потолком. Как это возможно? Немецкий математик Мёбиус продемонстрировал топологический конструкт, получивший название в его честь, реализующий пример неориентированного пространства. Если взять вытянутую в прямоугольник бумажную ленту, перекрутить её на пол-оборота и склеить противоположные края, то мы получим так называемый лист Мёбиуса. С одной стороны, его геометрия в небольших масштабах не отличается от евклидовой, но с другой – если жук проползёт из исходной точки этого конструкта и вернётся назад, то он окажется на противоположной стороне листа, и низ станет верхом, а левое будет правым. Не пересекая края листа, можно кисточкой покрасить одной краской обе его поверхности. Это пример так называемой односторонней поверхности и неориентированного пространства.

Может ли такое произойти с нашим трёхмерным пространством? В принципе, это возможно. Если на больших расстояниях, следуя указанному алгоритму, деформировать пространство, то космонавт, вернувшись после путешествия, обнаружит, что левое стало правым, а низ превратился в верх.

Топология особым способом описывает свойства геометрических фигур. С точки зрения этой науки, пирамида, куб, шар являются проявлениями одного и того же топологического образца, поэтому эти фигуры одинаковые, несмотря на их различную геометрию. Она изучает свойства геометрических фигур, которые сохраняются при деформациях, лишь бы это не сопровождалось разрывами и склеиваниями. Деформируя пирамиду, можно перевести её в шар, но ни при каких усилиях шар не превратить в тор.

Важнейшей топологической характеристикой является связанность. Если взять на круге какую-нибудь кривую, то деформациями мы можем стянуть её в точку. Такое пространство называется односвязанным. Между тем, если эта кривая будет находиться на кольце, то сжать её в точку не удастся. Только сделав разрез, она превратится в односвязанную поверхность. Связанность измеряется количеством разрезов области пространства N, которые переводят его в односвязанное, увеличенное на единицу. Связанность характеризуется прерывностью пространства, наличием в нём разрывов. Какое это имеет отношение к физическому пространству нашей Вселенной? Выясняется, что самое непосредственное. С точки зрения теории суперструн, пространство имеет, по крайней мере, девять измерений, три из которых расширились в момент рождения Вселенной, а остальные шесть остались на микроуровне, искривлены и компактифицированы. Более того, в пространстве имеются прерывности. При взаимодействии с таким сложным топологическим конструктом суперструны реализуют физические процессы, происходящие в микромире, благодаря чему теория суперструн единообразно описывает основные виды физических взаимодействий.

Топология разводит такие понятия, как бесконечность и безграничность, которые раньше отождествлялись [5]. Безграничность – это топологическое свойство пространства, указывающее, что у него нет границ ни в каком направлении. Бесконечность – метрическое свойство, согласно которому можно продвигаться как угодно далеко. Примером безграничного, но не бесконечного пространства является шар. Перемещаясь по шару, мы не встретим никаких границ при своём движении, но это пространство метрически конечно, так как имеет вполне определённую площадь. Напротив, плоскость – это пример бесконечного и безграничного пространства. В целом для топологических характеристик пространства необходимо применять понятия, характеризующие их свойства, как замкнутое (метрический признак «конечное») или открытое (метрический признак «бесконечное»), ориентированное или неориентированное, а также показатель связанности.

В настоящее время топология является ключом к пониманию многих процессов, происходящих как в макро-, так и в микромире. Какой в наших представлениях окажется Вселенная на разных уровнях масштаба, во многом будет зависеть как от развития самого топологического знания, так и от его применения в различных научных сферах.