Читать книгу Занимательная механика - Яков Перельман - Страница 16

«Никакое человеческое знание не может притязать на название истинной науки, если оно не пользуется математическими доказательствами», – писал в XVI веке Леонардо да Винчи. Это было верно уже в младенческие годы науки; ещё правильнее такое утверждение для наших дней. В настоящей книге нам не раз придётся обращаться к формулам из механики. Для читателей хотя и проходивших механику, но забывших эти соотношения, дана здесь небольшая табличка-справочник, помогающая восстановить в памяти важнейшие формулы. Она составлена по образцу пифагоровой таблицы умножения: на пересечении двух граф отыскивается то, что получается от умножения величин, написанных по краям. (Обоснование этих формул читатель найдет в учебниках механики.)

Покажем на нескольких примерах, как пользоваться табличкой.

Умножая скорость v равномерного движения на время t, получаем путь S (формула S = vt).

Умножая силу f на путь S, получаем работу А, которая в то же время равна и полупроизведению массы m на квадрат скорости .[13]

Подобно тому как с помощью таблицы умножения можно узнавать результаты деления, так и из нашей таблички можно извлечь, например, следующие соотношения.

Скорость v равнопеременного движения, делённая на время t, равна ускорению а (формула )

Сила f, делённая на массу m, равна ускорению а; делённая же на ускорение а, равна массе m:

Пусть для решения механической задачи вам потребовалось вычислить ускорение. Вы составляете по табличке все формулы, содержащие ускорение, прежде всего формулы:

а затем и формулу

Среди них ищете ту, которая отвечает условиям задачи.

Если пожелаете иметь все уравнения, с помощью которых может быть определена сила, табличка предложит вам на выбор:

fS= А (работа)

fv = W (мощность)

ft = mv (количество движения)

f = mа.

Не надо упускать из виду, что вес (Р) есть тоже сила, поэтому наряду с формулой f = mа в нашем распоряжении имеется и формула Р = mg, где g – ускорение силы тяжести близ земной поверхности. Точно так же из формулы fS = А следует, что Ph = А – для тела весом Р, поднятого на высоту h.

Пустые клетки таблицы показывают, что произведения соответствующих величин не имеют в механике никакого смысла.

Ещё важное замечание. Формулы механики полезны только в руках того вычислителя, который твёрдо знает, в каких мерах надо выразить входящие в них величины. Если, вычисляя работу по формуле А = fS, вы выразите силу f в ньютонах, а путь S – в сантиметрах, то получите величину работы в редко употребительных единицах – в ньютоно-сантиметрах и, конечно, легко можете запутаться. Чтобы получился надлежащий результат, сила должна быть выражена в ньютонах, а путь – в метрах, тогда работа получится в ньютоно-метрах, или, по-другому, в джоулях. Но вы можете выразить силу и в динах, а путь в сантиметрах, тогда результат покажет число эргов работы (дина – сила, равная 1/100 000 ньютона, т. е. 100 мН) – дино-сантиметров.

Точно так же равенство f = mа даст силу в динах только тогда, когда масса выражена в граммах, а ускорение – в сантиметрах в секунду за секунду.

Умению выбирать единицы мер и безошибочно определять, в каких мерах получился результат, нельзя научиться в четверть часа. Кто этим умением ещё не обладает, тому следует во всех случаях пользоваться мерами системы «сантиметр – грамм – секунда» (СГС), а полученный результат, если нужно, переводить в другие меры[14].

Эти практические мелочи очень существенны, незнание их зачастую приводит к самым нелепым ошибкам.