Читать книгу Filosofía Fundamental, Tomo IV - Balmes Jaime Luciano - Страница 5

[31.] Una de las propiedades características de la idea de lo infinito es su aplicacion á órdenes muy diferentes. Esto da lugar á importantes consideraciones que contribuyen no poco á la aclaracion de dicha idea.

[32.] Desde el punto en que me encuentro, tiro una línea en la direccion del norte, y es evidente que puedo prolongarla hasta lo infinito. Dicha línea es mayor que otra cualquiera finita; ninguna de estas puede ser tan larga como ella; porque siendo finita, tendrá un valor determinado, por lo cual si la superpongo á la infinita, solo llegará hasta un cierto punto, y no pasará de allí. Parece pues que esta línea es infinita en toda la propiedad de la palabra; porque no habiendo medio entre lo finito é infinito, y no siendo ella finita pues que acabamos de demostrar que es mayor que todas las finitas, habrá de ser infinita.

La demostracion anterior parece que nada deja que desear; no obstante, hay tambien en contra de la infinidad de dicha línea una razon concluyente. Lo infinito carece de límites, y esta línea los tiene, pues que partiendo del punto desde el cual se la tira, hácia el norte, no se extiende en la direccion del sud.

[33.] Esta línea es mayor que todas las finitas; pero es dable encontrar otra mayor que ella. Si la suponemos prolongada en la direccion del sud, la que resulte de ella mas la prolongacion, será mas larga; y si en la direccion del sud se la prolonga hasta lo infinito, el resultado será una línea doble de la primera.

[34.] Con la prolongacion de una línea hasta lo infinito en las dos direcciones opuestas, parece que resulta una línea absolutamente infinita. A primera vista no se concibe que pueda haber un valor lineal mayor que el de una recta prolongada hasta lo infinito, en direcciones opuestas; sin embargo no es así; y considerando que al lado de esta recta se pueda tirar otra, finita ó infinita, y que la suma de las dos formará un valor lineal mayor que la primera, tenemos que esta no era infinita; puesto que es dable encontrar otras mayores que ella. Y como por otra parte es evidente que se pueden tirar infinitas líneas prolongadas hasta lo infinito, resulta que ninguna de ellas forma un valor lineal infinito, puesto que no es mas que una parte de la suma lineal que resulta del conjunto de las líneas que se pueden tirar.

[35.] Reflexionando sobre esta contradiccion que parece encontrarse en nuestras ideas, se descubre que la idea de infinito es indeterminada, y por tanto susceptible de aplicaciones diferentes. Así en el caso que nos ocupa, no puede dudarse de que la recta prolongada hasta lo infinito tiene alguna infinidad, pues que es cierto que carece de límite en sus respectivas direcciones.

[36.] Este ejemplo hace conjeturar que la idea de infinito no nos representa nada absoluto; pues que aun en los objetos que mas claros se ofrecen á nuestro espíritu, cuales son los de la intuicion sensible, encontramos bajo un aspecto la infinidad, que por otro vemos contrariada.

[37.] Lo que hemos observado en los valores lineales, se extiende tambien á los numéricos expresados en series. En las matemáticas se habla de las series infinitas; pero si bien se reflexiona no hay ninguna que merezca este nombre. Sea la serie a, b, c, d, e… se la llamará infinita, si sus términos continúan hasta lo infinito. No puede negarse que hay infinidad bajo un aspecto, porque falta el límite que ponga fin á la serie en un sentido; pero es evidente que el número de sus términos no será jamás infinito, pues que hay otros mayores; cual seria por ejemplo, si al continuar la serie de izquierda á derecha la continuásemos al mismo tiempo de derecha á izquierda en esta forma

… e, d, c, b | a, b, c, d, e…

en cuyo caso es evidente que el número de los términos seria duplo del primero.

Luego las series llamadas infinitas no lo son ni pueden serlo, hablando con rigor.

[38.] Pero lo curioso es que la infinidad no se encuentra en la serie, ni aun suponiéndola prolongada en direcciones opuestas; porque si á su lado imaginamos otra, es evidente que la suma de los términos de las dos, será mayor que la de una de ellas; de donde resultará que ninguna será infinita. Y como es evidente que sean cuales fueren las series, siempre se pueden imaginar otras, resulta demostrado que no puede haber una serie infinita en el sentido que los matemáticos toman la palabra serie; esto es, por una continuacion de términos; no excluyendo la posibilidad de otras continuaciones, á mas de la supuesta infinita.

[39.] Las dificultades contra la infinidad lineal, se extienden á la de superficie. Suponiendo un plano infinito, es evidente que se pueden tirar infinitos planos distintos del primero, y que le corten en infinita variedad de ángulos: la suma de estas superficies será mayor que una cualquiera de ellas. Luego la prolongacion infinita de un plano en todas direcciones, no constituye una verdadera superficie infinita.

[40.] Un sólido dilatado en todas direcciones parece infinito; pero si se reflexiona que en la idea matemática del sólido no entra la de impenetrabilidad; se verá que dentro de un sólido infinito, se puede colocar otro, cuyo volúmen sumado con el del primero, dará un valor duplo de este. Sea E un espacio puro y vacío, que imaginaremos infinito; sea M, un mundo de igual extension que se coloca en él, y le llena; es evidente que E+M, será mayor que E. Luego aunque supongamos á E infinito igual á ∞; tendremos que siendo M tambien igual á ∞, resultará E+M = ∞ + ∞ = 2 ∞. Y como este valor expresa el volúmen; el primero no será infinito, porque se puede duplicar. Si se prescinde de la impenetrabilidad, la operacion puede repetirse hasta lo infinito; luego, el primer infinito, lejos de merecer este nombre parece una cantidad susceptible de incrementos infinitos.