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2. Kegelschnitte

Kegelschnitte in der Himmelsgeometrie zur Berechnung von Datumslinien auf Horizontalsonnenuhren (erschienen in MNU, Jahrgang 2001).

Unter dem Titel „Kegelschnitte in der Himmelsgeometrie, zur Berechnung von Datumslinien auf Horizontalsonnenuhren“ beschreibt B. Steinrücken in [W02] sowohl mathematisch als auch geometrisch anschaulich die Zusammenhänge.

Abb. 07: Kegelschnitte in der Himmelsgeometrie: Entnommen aus: https://sternwarterecklinghausen.de/astronomie/astronomiedidaktik/#Kegelschnitte

Nicht nur die Bahnen der Himmelskörper im Planetensystem werden durch die Kegelschnittkurven Ellipse, Kreis, Parabel und Hyperbel beschrieben, sondern auch die täglichen Spuren eines im Sonnenlicht schattenwerfenden Körpers, wenn die Fläche, auf die der Schatten fällt, eben ist. Je nach geografischer Lage auf der Erdkugel oder Orientierung der Aufzeichnungsebene stellen sich wieder Hyperbeln, Ellipsen oder Kreise ein, deren geometrische Gestalt sich auch ohne die Kenntnis der sphärischen Himmelsgeometrie berechnen lässt, wenn man die von den Kegelschnitten bekannte projektive Geometrie anwendet.

Ein Schnitt durch einen Kegel, der senkrecht zur Kegelachse erfolgt (Schnittwinkel 90°), ergibt eine kreisförmig begrenzte Schnittebene.

Wird schräg in den Kegel hineingeschnitten, erhält man eine elliptische Begrenzung, wenn der Schnittwinkel größer ist als der Öffnungswinkel des Kegels. Entspricht der Schnittwinkel dem Öffnungswinkel genau, so wird die Schnittebene nicht mehr durch eine geschlossene Kurve begrenzt. Die Grenzlinie der Ebene folgt nun dem Verlauf einer Parabel und wird zur Hyperbel, wenn der Schnittwinkel den Öffnungswinkel übersteigt.

Download: kegelschnitte1.pdf

Im Grundriss, also im Blick aus der Vogelperspektive, wird die folgende Abbildung in der Dokumentation von B. Steinrücken dargestellt. Der Schattenstab steht im Mittelpunkt M. Beim Tag-und-Nachtgleiche (TNG) geht die Sonne genau im Osten auf. Osten ist in diesem Gebiet am Ritten nach Angaben von Geometern aber die Santnerspitze. Vom Menhir 01 ist heute die Santnerspitze nicht sichtbar, da die Gegend so stark bewaldet ist, dass keine Fernsicht zu irgendeiner Bergspitze möglich ist. Im Neolithikum und auch im Megalithikum war aber diese Gegend nicht bewaldet. Die Sicht vom Menhir 01 zu den Schlernspitzen Santner und Euringer war damals möglich. ⁷

Abb. 08: Der Schattenstab oder Schattenwerfer nach Steinrücken im Grundriss. Entnommen aus: https://sternwarte-recklinghausen.de/astronomie/astronomiedidaktik/

In einer früheren Zeichnung in einem Entwurf der Dokumentation „Das Steinzeit-Sonnenobservatorium in Wolfsgruben am Ritten in Südtirol“ aus dem Jahr 2005 von mir habe ich folgende Abbildung 05 gefunden:

Berechnung von Datumslinien bei Sonnenuhren

Bei der Suche nach den Gründen warum es in der Menhiranlage von Wolfsgruben ein Dreieck – das Solare Dreieck - von Menhiren gibt wurde in der Literatur eine Erklärung dafür gefunden ^{8 9 10 11 12 13}

So schreibt Helmut Minow ¹⁴

„Bereits bei den alten Kulturvölkern wurde der Schattenstab als astronomisches Instrument genutzt; auch griechische Gelehrte setzten den „ Sonnenzeiger“ (Gnomon) für astronomische und geometrische Zwecke ein. Mit der Anwendung des Gnomons und seiner „ Schattentafeln“ wurde die praktische Astronomie schon in der antiken Wissenschaft zu einem Zweig der Geometrie, mit der zudem die sich später entwickelnde Trigonometrie verbunden ist.“

So schreibt Nicola Severino, der italienische Experte für antike Sonnenuhren ¹⁵

„‘Irgendwann‘, so beginnt René R. J. Rohr seine berühmte Abhandlung über ‚Die Sonnenuhr‘, “im gletschererstarrenden Rahmen der Eiszeiten muss es geschehen sein, da das geistige Abenteuer der Menschheit zu dämmern begann.“ Und wie es Menschen eigentümlich ist, beginnt dieses Abenteuer des Geistes immer wieder auf Neue und wir Nachfahren können uns glücklich schätzen, wenn Relikte dieses Nachdenkens auf uns gekommen sind! Dann stehen wir staunend davor und versuchen zu verstehen, messen nach, rechnen nach, zeichnen nach und bauen nach.

Unsere Vorfahren schauten gebannt in den Himmel, verfolgten den Lauf der Gestirne und bildeten diesen Himmel ganz verwegen in Stein nach. Im 3. Jahrhundert v. Chr. kam, wie R. Rohr schreibt, der in Alexandrien lebende Priester Berosos auf die Idee, der Sonnenuhr die Form einer hohlen Halbkugel zu geben, deren Schattenwerfer sich in ihrem Mittelpunkt befand und aus der Spitze eines lotrecht in der Kugelfläche gestellten Metallstabes bestand. Berosos hatte so einen Weg gefunden, mittels einer Sonnenuhr nicht nur die in seiner Zeit üblichen Tagestunden, sondern darüber hinaus mit einiger Genauigkeit noch das Datum der Sonnendeklination zu bestimmen.“

Zur Erinnerung wird nochmals das rätselhafte Dreieck (Abb. 06, 07, 11, 80) betrachtet:

• SA Äquinoktium - Sonnenaufgang zur Tag- und Nachtgleiche (SA TGN)

• SA Sommersolstitium - Sonnenaufgang zur Sommersonnenwende (SA SSW)

• SA Wintersolstitium Sonnenaufgang zur Wintersonnenwende (SA WSW)

Abb. 09: Das große solare Dreieck von Wolfsgruben. Überzeichnet von Dietmar Bernardi. Aktuell unter: https://sternwarte-recklinghausen.de/astronomie/astronomiedidaktik/

Ich habe für dieses Dreieck die Bezeichnung „solares Dreieck“ vergeben.

Ein weiteres Merkmal des solaren Dreiecks am Roarer Windspiel ist durch Vergleich mit der Hyperbelkonstruktion aus Abb. 04 festgestellt worden.

Das solare Dreieck aus den Menhirreihen wurde genau nach diesem Konstruktionsplan in der Natur mit Hilfe der projektiven Geometrie und der Gnomonischer Projektion erstellt! Zum Beweis wird die Hyperbelzeichnung aus Abb. 04 geringfügig erweitert. Eine der Asymptoten wird parallel verschoben und als Tangente an den Kreis gezeichnet. Schon ist der Plan für das große solare gleichschenkliges Dreieck in der Natur fertig.

⁷ Holzner Werner, (Archäologische) Interpretation der Megalithischen Anlage am „Roarer Windspiel“ in Wolfsgruben am Ritten (Südtirol, Italien). Rev. 18.01.2004, noch nicht veröffentlicht

⁸ Kegelschnitte in der Himmelsgeometrie – Teil I Westfälische Volkssternwarte und Planetarium Recklinghausen, http://www.sternwarte-recklinghausen.de/files/kegelschnitte1.pdf, 2008-05-19

⁹ Leigermann Dieter et. al., Zum antiken astro-geodätischem Messinstrument Skiotherikós Gnomon, ZfV, Heft 4/2005, S 248, Deutscher Verein für Vermessungswesen – Gesellschaft für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement

¹⁰ Marx Antonius, Darstellende Geometrie für Unterricht, Studium und Praxis. Verlag H. Dähmlow, Neuss,1990

¹¹ Wunderlich Walter, Darstellende Geometrie, Band 1, Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien /Zürich, Hochschultaschenbücher Band 96, 1966, S. 62

¹² Wunderlich Walter, Darstellende Geometrie, Band 2, Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien /Zürich, Hochschultaschenbücher Band 96, 1966, S. 79

¹³ Zenkert Arnold, Faszination Sonnenuhr, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 2005

¹⁴ Minow Helmut, Schattenmessung mit dem Gnomon, ‚ ZfV, Heft 4/2005, S 248, deutscher Verein für Vermessungswesen – Gesellschaft für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement

¹⁵ Nicola Severino, Orologi Solari Greco Romani, https://www.ta-dip.de/fileadmin/user upload/bilder3/Gr SU severino.pdf, 2021-01-29