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Es ist die Frage zu beantworten, ob sich bei der auf Strahlungsdetektion basierenden berührungslosen Temperaturmessung nicht etwa der Messwert in Abhängigkeit von der Messentfernung ändert. Um diese Frage beantworten zu können, ist - vorerst unter Vernachlässigung der Strahlungsverluste durch das übertragende Medium - zu bestimmen, wieviel Strahlung von einer Fläche dAs (Strahler) mit einer Strahlstärke L auf eine bestrahlte Fläche dAE (Empfänger) übertragen wird.

Als erstes werden hierfür einige wichtige strahlungsphysikalische und optische Einheiten und Zusammenhänge definiert. Den Beginn macht der Raumwinkel Ω, welcher in der Optik (z.B. für die Beschreibung des Leuchtkegels einer Taschenlampe) genutzt wird.

Abb. 23: Raumwinkel

Gl. 28

Legende:

Ω ...	Raumwinkel [sr = Steradiant]
A ...	Fläche [m2]
r ...	Radius [m]

 Kugel: 4 π · r2/r2 = 4 π [sr]

 Halbkugel: 2 π · r2/r2 = 2 π [sr]

Während für einen Punktstrahler die in den gesamten Raum (Vollkugel) abgegebene Strahlungsleistung mittels des Wärmeflusses (Strahlstromes) Φ in der Einheit W (Watt) beschrieben werden kann, gibt die Strahlstärke I in W/sr (Watt/Steradiant) an, wie viel Wärmestrom in einen Raumwinkel Ω abgegeben wird.

Gl. 29

Legende:

I ...	Strahlstärke [W/sr] (= raumwinkelbezogene Strahlungsleistung)
Φ ...	Strahlstrom (hier = Wärmefluss) [W]
Ω ...	Raumwinkel [sr]

Abb. 24: Strahlstärke

Wird anstelle des Punktstrahlers ein flächig ausgedehnter Strahler mit einer Fläche As betrachtet, so hat dieser eine spezifische Ausstrahlung M in der Einheit W/m², welche sich folgendermaßen berechnen lässt:

Gl. 30

Legende:

M ...	spezifische Ausstrahlung [W/m2] (= strahlflächenbezogene Strahlungsleistung)
Φ ...	Strahlstrom (hier = Wärmefluss) [W]
AS ...	abstrahlende Fläche [m2]

Abb. 25: spezifische Ausstrahlung

Der von einem Flächenstrahler in einen bestimmten Raumwinkel abgegebene Strahlstrom, also die Strahldichte L hat die Einheit W/m²sr und wird mit folgender Gleichung bestimmt:

Gl. 31

Legende:

L ...	Strahldichte [W/m2sr]
Φ ...	Strahlstrom (hier = Wärmefluss) [W]
Ω ...	Raumwinkel [sr]
As ...	abstrahlende Fläche [m2]
Asβ =	As · cos εβ ... effektive Abstrahlungsfläche in Richtung des Raumwinkels [m2]

Abb. 26: Strahldichte (raumwinkelbezogener Wärmestrom)

Zwecks Vereinfachung der Betrachtung wird im Weiteren das Modell des Lambertschen Strahlers verwendet, in dessen Falle gültig ist, dass die Strahldichte L unabhängig vom Abstrahlwinkel und unabhängig von der Lage der partiellen Teilfläche innerhalb der Abstrahlfläche ist. (L = konstant = L0).

Hieraus ergeben sich folgende Zusammenhänge und Schlussfolgerungen:

Gl. 32

Gl. 33

Legende:

I ...	Strahlstärke (= raumwinkelbezogene Strahlungsleistung) [W/sr]
L ...	Strahldichte [W/m2 sr]
Asβ ...	effektive Abstrahlungsfläche in Richtung des Raumwinkels [m2]

Von diesen Definitionen und Abhängigkeiten ausgehend, kann die Eingangs erwähnte Frage, wie viel Strahlung einer mit Strahldichte L strahlenden Fläche dAs aus geometrischer Sicht eine Empfängerfläche dAE erreicht. Die zu betrachtende Anordnung nimmt hierbei folgende Form an:

Abb. 27: Anordnung von Sender und Empfänger

Vom Lambertschen Strahler ausgehend, kann der Strahlstrom Φ wie folgt bestimmt werden:

Gl. 34

Der Empfänger befindet sich - vom Strahler aus betrachtet - in folgendem Raumwinkel:

Gl. 35

Aus den vorherigen Gleichungen ergibt sich nunmehr das sogenannte Fotometrische Grundgesetz:

Gl. 36

Wegen der Symmetrie der Gleichung könnten Sender und Empfänger auch vertauscht werden. Die auf eine Flächeneinheit des Empfängers einfallende, von einer Flächeneinheit des Senders ausgehende Strahlungsenergie nimmt zwar mit dem Quadrat der Entfernung r ab, jedoch wächst auf Grund des unveränderlichen „Sichtwinkels” des Empfängers die durch jede der Flächeneinheiten desselben empfangene Senderfläche (die Anzahl der „betrachteten” Senderflächeneinheiten) dagegen mit dem Quadrat der Entfernung.

Dank dieses Zusammenhanges gleicht sich also die quadratische Abnahme der auf eine Empfängerflächeneinheit wirkende Strahlungsintensität genau durch die gleichzeitige quadratische Zunahme der betrachteten Empfängerfläche aus. Umgedreht gilt auch, dass zwar die von einem Strahler auf eine Flächeneinheit des Empfängers ausgesandte Strahlung in ihrer Intensität quadratisch mit dem Abstand abnimmt, sich aber die Größe der bestrahlten Fläche in gleichem Maße erhöht.

Damit kann auch ausgesagt werden, dass im Falle eines endlos großen Strahlers und ebenfalls unendlich großen Senders die Summe der übertragenen Strahlung unabhängig vom Abstand zwischen Sender und Empfänger ist. (Wieder unter der Voraussetzung der verlustfreien Übertragung über ein ideales Fenster zwischen Sender und Empfänger.) Aus dem Sichtwinkel des Energieerhaltungsgesetzes ist das natürlich auch so zu erwarten gewesen.

Hinweis: Insofern Sender und / oder Empfänger nur endliche Abmessungen besitzen, dann gilt der oben genannte Zusammenhang nur bis zu einer bestimmten maximalen Entfernung zwischen Sender und Empfänger. Nämlich bis zu der Entfernung, bei der sich die gesamte Strahlung des Senders noch vollständig auf der Fläche des Empfängers abbildet, bzw. keine andere Strahlung (außer der des betrachteten Senders) auf die Empfängerfläche trifft. Überschreitet die räumliche Ausbreitung der Abstrahlung des Senders die Empfängerfläche (d.h. die Abbildungsfläche der Senderstrahlung auf der Empfängerfläche) oder überschreitet die räumliche Abmessung des Empfängersichtfeldes die Senderfläche (d.h. die Abbildung des Sichtfeldes des Empfängers auf der Senderfläche), dann gilt die obige Gesetzmäßigkeit natürlich nicht mehr. (Grund dafür ist die nicht erfasste oder aus einer anderen Quelle stammende - mit erfasste - Strahlung. Je nachdem, ob die Sender- oder die Empfängerfläche überschritten wurde.)

Wegen der Wichtigkeit dieses Themas und dessen Auswirkungen aus Sicht der Optik, wird das photometrische Gesetz im Kapitel 2.1.4. „Fotometrisches Grundgesetz bei Messsystemen mit Sammellinsen” speziell für die messtechnischen Lösungen der berührungslosen Temperaturmessung weiter behandelt.

Erklärendes Praxisbeispiel

Viele - die theoretischen Grundlagen nicht kennende - Thermografieanwender würden ohne viel Nachdenken die am Anfang des Kapitels gestellte Frage nach der Änderung des zu erwartenden Messwertes in Abhängigkeit vom Messabstand in völliger Allgemeingültigkeit mit „ja” beantworten. Auch unter den Voraussetzungen der Einhaltung der geometrischen Auflösung und der verlustfreien Übertragung. Andere würden wahrscheinlich den vermuteten Zusammenhang mit der abstandsabhängigen Beleuchtung eines Objektes durch eine Taschenlampe erklären. Mit Sicherheit wird aber wird fast niemand standfest aussagen, dass der Abstand unter Einhaltung der geometrischen Auflösung und bei verlustfreier Übertragung keinen Einfluss auf das Messergebnis hat.

Um den Zusammenhang leichter verständlich zu machen, folgt hier also ein Beispiel, welches sich gerade (mit Absicht!) auf die soeben erwähnte Beleuchtung eines Objektes durch eine Taschenlampe stützt. Für unsere Beispielbetrachtung wird allerdings die Taschenlampe auf ein Fernrohr montiert, so dass der Lichtkegel der Taschenlampe und der Beobachtungsraumwinkel (ebenfalls ein Kegel) des Fernrohres in exakt die gleiche Richtung ausgerichtet sind. (Hierbei wird jetzt geflissentlich vernachlässigt, das die optischen Achsen beider Geräte natürlich nicht aufeinander, sondern mit einem gegebenen Abstand parallel zueinander liegen.)

Mit der Taschenlampe wird nun eine Reflexionsleinwand (Projektionsleinwand) beleuchtet, deren Reflexionseigenschaft für dieses Beispiel mit 100% angenommen wird. Es entsteht (bei rechtwinkliger Anordnung) auf der Leinwand eine kreisrunde beleuchtete Fläche. Diese wird mittels des Fernrohres betrachtet, wobei das Fernrohr so eingestellt wird, dass exakt die durch die Taschenlampe beleuchtete Fläche erfasst wird (nicht mehr, aber auch nicht weniger). Viele Erklärungen sind hier sicher nicht notwendig, um klarzustellen: die Lichtstärke im Fernrohr entspricht genau der Gesamtstrahlungsleistung der Taschenlampe.

Abb. 28 und 29: Betrachtung einer durch Taschenlampe beleuchteten Kreisfläche mittels eines Fernrohres (die rechte Abbildung stellt die Situation bei verdoppeltem Abstand zur Leinwand dar)

Bei der Verdopplung des Abstandes zwischen Leinwand und Taschenlampe (und damit auch zwischen Leinwand und Fernrohr) vergrößert sich natürlich der Radius der beleuchteten Fläche auf der Leinwand auf das Doppelte. Dies entspricht einer Vervierfachung der Fläche, genau der quadratischen Regel des photometrischen Gesetzes entsprechend. Da sich die auf die Leinwand projizierte Gesamtstrahlungsleistung hierbei natürlich nicht geändert hat, verringert sich die auf eine Flächeneinheit entfallende Strahlungsleistung - und damit die flächenspezifische Bestrahlung - auf ein Viertel, verglichen mit dem Wert der vorherige (kürzeren) Entfernung. Aber auch die Beobachtungsfläche des Fernrohres wächst durch die Verdopplung der Entfernung an, und zwar auf den doppelten Radius. Damit wird wiederum genau die durch die Taschenlampe beobachtete Fläche betrachtet und weiterhin genau die Gesamt - strahlungsleistung der Taschenlampe erfasst. Damit ändert sich also die im Fernrohr zu beobachtende Lichtstärke nicht - welche damit also unabhängig vom Abstand Taschenlampe/Fernrohr und Leinwand ist!

Mit anderen Worten: mit der Verdoppelung des Abstandes zwischen Taschenlampe/Fernrohr und Leinwand verringert sich zwar die Lichtintensität auf ein Viertel bei einer gleichzeitigen Vervierfachung der beleuchteten Fläche, zur selben Zeit wird aber auch eine vierfache Fläche (mit der geviertelten Leucht - stärke) beobachtet. Aufgrund dieses Umstandes ist also die im Fernrohr beobachtet Lichtstärke unabhängig von der Entfernung.

Abb. 30: Betrachtung einer durch Taschenlampe beleuchteten Kreisfläche mittels eines Fernrohres (Darstellung der die Leinwandabmessung überschreitenden Beleuchtung)

Die obige Darstellung dagegen beschreibt die Grenzen des photometrischen Gesetzes: den Fall nämlich, wo der zu große Abstand zur Leinwand eine die Abmessung der Leinwand überschreitende Beleuchtungsfläche erreicht. Hierbei kann das Fernrohr nur noch einen Teil der von der Taschenlampe ausgestrahlten Energie empfangen, die über den Rand der Leinwand hinausgehende Beleuchtungsfläche wird nicht von der Leinwand reflektiert und damit nicht erfasst. (Bei dieser Betrachtung wird die aus dem Raum neben der Leinwand stammende Strahlungsenergie der Einfachheit halber vernachlässigt.) Damit entspricht also die beobachtete Strahlungsenergie nicht mehr der durch die Taschenlampe ausgesandten Menge!

Dieses Problem führt zu den Messfehlern der Infrarot-Strahlungsthermometer bei mangelnder Ausfüllung des Messfleckes (siehe Absatz 3.1.2.1. „Pyrometeroptiken - Messfläche (Messfleck) und Lasermarker”), bzw. zu den Messfehlern bei Nichteinhaltung der Anforderungen an die geometrische Auflösung bei Thermokameras (siehe Absatz 3.2.11.2. „Geometrische Auflösung thermografischer Systeme”).