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Nachdem die bisherigen Kapitel die die berührungslose Temperaturmessung beeinflussenden Faktoren beschrieben haben, wird nunmehr die Möglichkeit der mathematischen Korrektur derselben untersucht.

Abb. 51: Zusammensetzung der gemessenen Strahlung Φ_M aus Teilstrahlungen

Die durch einen Körper mit Emissionsgrad ε bei einer Eigentemperatur (Objekttemperatur) ϑ_O emittierte Strahlung Φ_ε , kann folgendermaßen bestimmt werden:

Gl. 46

Hierbei ist Φ(ϑ_O) die von einem idealen Strahler mit gleicher Temperatur ausgesandte (emittierte) Strahlung. Von der Objektoberfläche können noch zwei weitere Strahlungen ausgehen:

Gl. 47

Gl. 48

Hierbei ist ϑ_U die strahlungsproportionale Durchschnittstemperatur der Objekte, deren Strahlung sich auf der Objektoberfläche in Richtung des Messsystems spiegelt. Die sich hinter dem Objekt befindlichen Körper, deren Strahlung vom Objekt durchgelassen und damit ebenfalls in Richtung des Messsystems übertragen wird, werden mit ihrer Temperatur ϑH in Betracht gezogen.

Durch Addition dieser beiden Teilstrahlungen aus Gleichungen 47 und 48 zu der vom Messobjekt emittierten Strahlung aus Gleichung 46, so ergibt sich daraus die in die Übertragungsstrecke eintretende Strahlung Φ_S.

Gl. 49

Im Falle von undurchsichtigen Körpern (was in der Praxis für Wärmestrahlung häufig auftritt) ist der Transmissionsgrad des Objektes τ = 0, weshalb sich das Energieerhaltungsgesetz

Gl. 45 (aus Kapitel 1.4.3.)

folgendermaßen vereinfacht:

Gl. 50

Damit kann die vom Messobjekt ausgehende, in die Übertragungsstrecke eintretende Strahlung mit folgender - vereinfachter - Gleichung ausgedrückt werden:

Gl. 51

Obige Strahlung erfährt entsprechend der Transmissionseigenschaften τA der Übertragungsstrecke (in den meisten Fällen ist dies die Atmosphäre) einen Übertragungsverlust:

Gl. 52

Nach dem Kirchhoffschen Gesetz gibt aber auch die (nicht ideale) Übertragungsstrecke eine - mit ihrer eigenen Temperatur im Zusammenhang stehende - Strahlung ab, welche ebenfalls vom Messsystem empfangen wird. Die gemessenes Strahlung setzt sich daher wie folgt zusammen:

Gl. 53

Die von der Übertragungsstrecke selbst abgegebene Strahlung kann - unter der Voraussetzung, dass diese keine Reflexion ausübt - mit folgender Gleichung bestimmt werden:

Gl. 54

Damit setzt sich die messbare Strahlung aus der Summe der in der Übertragungsstrecke gedämpften - vom Objekt stammenden - Strahlung und aus der Eigenstrahlung der Strecke zusammen:

Gl. 55

Durch Einsetzen der Gleichung 51 für in die Übertragungsstrecke eintretende, mit den Strahlungseigenschaften und der Temperatur des Messobjektes in Zusammenhang stehende Strahlung, ergibt sich die sogenannte Pyrometrische bzw. Thermografische Grundgleichung. Diese bildet das mathematische Modell für die berührungslose Temperaturbestimmung anhand der Erfassung von Wärmestrahlung, beispielsweise mittels Strahlungsthermometern oder thermografischen Systemen:

Gl. 56

Durch Umstellen nach der Objekttemperatur ϑ_O entsteht der nachfolgende Term, welcher in einer Thermokamera für jeden Bildpunkt und jede Bildauffrischung anhand der aktuellen Messwerte (und den Angaben für ε, τ_A, ϑ_U und ϑ_A) immer wieder neu berechnet wird:

Gl. 57

In der obigen Gleichung sind die Strahlungswerte Φ_M, Φ(ϑ_U) und Φ(ϑ_A) die im durch die Sensitivität des Messsystems (siehe Abbildung 38) begrenzten Wellenlängenbereich detektierten Strahlungen, Φ^-1 bedeutet inverse oder Umkehrfunktion. Wie der mathematische Zusammenhang aufzeigt, sind zur Berechnung der Objekttemperatur außer der Erfassung der Strahlung Φ_M weitere Parameter notwendig. Diese sind im Falle der hier getroffenen Vereinfachung für Infrarot-undurchsichtige Messobjekte:

ε . . .	Emissionsgrad des Messobjektes
ϑU . . .	Umgebungstemperatur (Durchschnittstemperatur der Gegenstände, deren Strahlung sich auf der Objektoberfläche in Richtung des Messsystems spiegelt)
τA . . .	Transmissionsgrad der Übertragungsstrecke
ϑA . . .	Temperatur der Übertragungsstrecke

Oftmals ist die atmosphärische Übertragungsstrecke (ohne weitere Materialien in der Übertragungsstrecke) so kurz, dass deren Einfluss (Dämpfung) auf die übertragene Wärmestrahlung so gering ist, dass diese vernachlässigt werden kann. Die Gleichung 57 vereinfacht sich daher auf:

Gl. 58

Bei kurzen atmosphärischen Übertragungsstrecken spielen also nur noch die Umgebungstemperatur und der Emissionsgrad des Messobjektes eine Rolle. Bei den meisten Praxisanwendungen ohne Messfenster - insbesondere im langwelligen Infrarotbereich - kann diese Vereinfachung angewendet werden!

Im Falle von Idealen Strahlern vereinfacht sich die Gleichung wegen ε = 1 noch weiter. Selbst die Umgebungstemperatur verliert ihren Einfluss, da keine Reflexion auftritt.

Gl. 59

Hinter diesem Zusammenhang verbirgt sich nichts anderes, als das Stefan-Boltzmann-Gesetz. Vorausgesetzt natürlich, dass Messobjekt und Übertragungsstrecke ideale Eigenschaften aufweisen und die Strahlungsmessung alle Wellenlängen von 0 bis unendlich umfassen muss.

* Hinweis: Es tritt Wärmeleitung auch in Gasen und Flüssigkeiten auf, deren Größenordnung (von wenigen Ausnahmen - z.B. Quecksilber - abgesehen) wegen der sehr geringen Wärmeleitfähigkeit von Gasen und Flüssigkeiten (im Vergleich zur Wärmeleitung in Festkörpern) äußerst gering ist.