Читать книгу Моделирование реальности: история науки, техники и цивилизации - Светлана Львовна Бутина-Шабаль - Страница 15

Геометрия Евклида

Подлинно научным заделом античности стала евклидова геометрия. Практические задачи определения площадей и объемов физических тел обусловили развитие древней геометрии, которая была некоторой совокупностью измерительно-вычислительных технологий. Научную основу в геометрию и математику⁹ заложил греческий математик из Александрии Евклид, представив свою систему в тринадцати томах (свитках) сочинения «Начала» (325 г. до н.э.). Примерно через две тысячи лет Ньютон и Лейбниц продолжили разработку «Начал».

Название «Начала» («Elementa») свидетельствовало о том, что пространственные отношения и величины, ставшие предметом исследования, Евклид отнес к элементам, изначальным стихиям, составляющим основу реальности. Понятия евклидовой геометрии носили признаки абстрагирования от реальных предметов (как утверждают исследователи терминологического аппарата евклидовой геометрии, слово «точка» произошло от глагола «ткнуть», «линия» от латинского слова «лён», «льняная нить»; «прямая» – результат абстрагирования натянутой льняной нити). При этом, в отличие от философских и логических, геометрические понятия схватывали не субстанции и причинно-следственные отношения, а отношения между субстанциями, которые могут быть выражены через местоположение и число. Дальнейшее развитие этих понятий ясно раскрыло их чистую числовую природу: математик XVII века Рене Декарт рассматривает точку как упорядоченную пару действительных чисел (x; y), где x; y – координаты точки в системе координат; прямую – как совокупность точек, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению.

Закрепив содержание понятий в «определениях» («точка есть то, что не имеет частей», «линия есть длина без ширины» и т.п.), Евклид переходит к аксиомам и постулатам. Аксиомы – утверждения, которые благодаря своей очевидности принимаются без доказательства («равные порознь третьему равны между собой»). Постулаты – требования построить некоторые простейшие фигуры («требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию»). На основе определений, аксиом и постулатов Евклид логически выводит теоремы, раскрывающие свойства геометрических фигур. Свою систему он завершает теорией правильных многогранников.

Как целое система Евклида представила метод построения допустимых в трехмерном пространстве геометрических фигур – мыслительных моделей, полученных в результате абстрагирования пространственных свойств физических тел, и их взаимоотношений, то есть метод моделирования трехмерного пространства реальности. А поскольку геометрия трехмерного пространства была образована путем отвлечения от субстанции тел, от их внутренних, вещественных свойств и прежде всего их массы¹⁰ , то пространство евклидовой геометрии, захватывающее лишь внешние поверхности и объемы тел, оказалось изотропным (не имеющим выделенных направлений движения) и однородным.

Таким образом, под исследование чувственно опознаваемых пространственных свойств физических тел (местоположения, величины, объема, формы) был подведен теоретический фундамент, логически развернутый из аксиом и постулатов. Спустя две тысячи лет, аксиомы получили свое осмысление: вслед за рационалистами Нового времени аксиомы стали считаться истинами, присущими самому разуму и предшествующими всякому опыту – априорными¹¹ формами мышления. Априорные формы накладываются на чувственные ощущения, организуют их и тем придают знанию характер всеобщности и необходимости, что позволяет им составлять фундамент научного знания. В геометрии Евклида аксиомы принимаются как исходные положения науки, из которых далее чисто логическим путем посредством доказательства выводятся все остальные утверждения. Поэтому метод моделирования трехмерного пространства в евклидовой геометрии называется аксиоматическим.

Представление об априорных формах мышления со временем усложнялось. Однако заметим, что, так или иначе, без априорных форм научное знание невозможно. Априорные (интуитивные, а поэтому принимаемые как самоочевидные, не требующие доказательства) формы знания удостоверяют принадлежность субъекта этой реальности и, следовательно, возможность субъекта понимать реальность изнутри, достигая ее сущности.

В системе Евклида априорную природу в чистом виде имеет пятый постулат (аксиома параллельности), который в отличие от других аксиом не очевиден, его нельзя подтвердить или опровергнуть опытом и нельзя вывести логически из других постулатов.

V постулат

И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

В современных учебных пособиях используется формулировка, данная Проклом:

В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

На протяжении двух тысячелетий V постулат привлекал пристальное внимание и усилия ученых, пытавшихся исключить его из списка аксиом и вывести его как теорему. В результате появилось огромное количество эквивалентных форм постулата, многие из которых более очевидны, чем исходная форма. Однако оказалось, что они не могут заменить V постулат, поскольку каждая из них для своего доказательства требует привлечения V постулата. И наоборот, любая из эквивалентных форм постулата, взятая в качестве аксиомы, позволяет доказать сам постулат, то есть в результате многовековой разработки этой задачи обнаружился порочный круг, замыкающий V постулат сам на себя. Так усилия ученых по обоснованию данного постулата не достигли поставленной цели, но в конце концов привели к пересмотру представлений о геометрии физического пространства.

По этому поводу Н.И. Лобачевский писал: «В самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения»¹².

Неочевидный и не выводимый из очевидного знания, не подтверждаемый однозначно в опыте V постулат заключал исходную интуитивную установку исследователя на геометрию физического пространства. Евклид воображал и моделировал физическое пространство как трехмерное с плоскостью нулевой кривизны, он был уверен, что живет именно в таком пространстве. В этом случае V постулат сделал возможной стройную систему евклидовой геометрии.

Н.И. Лобачевский, заменив только пятый постулат, получил другую – неевклидову геометрию.

Итак, исторический момент появления евклидовой геометрии может быть охарактеризован как высвобождение науки из философии. В чем же заключалась специфика нарождающейся науки? Мы видели, что Аристотель систематизировал описание мира на основе интуитивных обобщений повседневного опыта. Для понимания скрытых закономерностей этого мира было достаточно ответить на вопросы: откуда все произошло и для чего? Поэтому картину мира Аристотель достроил рациональной схемой причин (материальная, формальная, целевая, движущая), относимой к любому объекту или миру в целом. Схема причин была абстрагирована Аристотелем из целесообразной производительной деятельности человека. То есть положенный в основание картины мира человеческий опыт восприятия действительности замыкался человеческой же продуктивной деятельностью. В философии действительность сама по себе не достигается, а присутствует в формах восприятий и практики человека. Эти формы спаивают частные явления в единство среды, которая понимается, однако, как «единство мира». А воссозданный производственно-технический генезис явлений выдается за их естественную причинно-следственную динамику и за всеобщую процессуальность мира. Но поскольку ни в отношении «единства мира», ни в отношении его «причинно-следственной динамики» у человека не может быть достаточного непосредственного опыта: ни то, ни другое не стягивается в «здесь и сейчас», где осуществляется реальное взаимодействие человека со средой, – постольку и «единство мира» и его «всеобщая процессуальность» оказываются только умозрительными конструкциями.

Выделившаяся из этого типа мышления наука рассматривает реальность как частные явления, находящиеся во взаимодействии, то есть наука не спаивает, а наоборот, структурирует реальность как предмет своего исследования и выделяет именно отношения, пространство «между» (явлениями как частями реальности), которое и обеспечивает связанность частей. Взаимодействие частных явлений всегда конкретно и может быть схвачено «здесь и сейчас» органами восприятия, пусть и усиленными их искусственными продолжениями (приборами и инструментами). Однако изучать взаимодействие частных явлений, преследуя познание всеобщих закономерностей, все же невозможно без исходного представления о том, что есть реальность вообще. В науке это представление моделируется на основе интуитивных данностей, достроенных до рациональных конструкций, как это произошло в геометрии Евклида.

Система Птолемея

Заложенная в методологический фундамент науки евклидова геометрия дала возможность под крышей аристотелизма создать физическую теорию, которая на основе открытых закономерностей не только объясняла все наблюдаемые движения небесных тел, но и предсказывала их «фактические» положения в ближайшем будущем. Последнее было практически важно, поскольку небесная сфера определяла наземную динамику и небо являлось для человека универсальным навигатором жизнедеятельности.

Великий астроном и математик Клавдий Птолемей в своем главном 13-томном труде по астрономии «Большое математическое построение», известном как «Альмагест», каталог которого включал более 1000 звезд, обобщил результаты многовековых наблюдений и измерений греческих и халдейских астрономов и других исследований по астрономии и сопутствующим наукам. Исходя из принципа Аристотеля, «мир таков, каким я его вижу» (вывод из повседневности, по определению А. Эйнштейна), Птолемей спроецировал результаты текущих наблюдений движения небесных тел в пространство геометрических форм и измерений. В этом пространстве конкретные небесные тела были абстрагированы в геометрические точки, а траектории движения обрели геометрические формы. Для понимания того, как именно движутся планеты, Птолемей применил предложенную еще Аристотелем для движения небесных тел форму круга. В итоге получилась искусственная многоярусная схема деферентов и эпициклов¹³ , где сложные криволинейные движения планет представлены в виде суммы простых круговых движений, или в виде суммы циклических функций. Заметим, что в начале XIX века французский математик Жан Фурье доказал теорему о возможности представления любой функции в виде ряда по циклическим функциям, что означает, Птолемей открыл новый математический метод, который спустя семнадцать столетий был заново разработан под названием гармонического анализа!

Так видимое глазом движение планет получило математическое объяснение, на основе которого была сконструирована теоретическая модель Космоса, служившая для вычисления положений планет, Луны и Солнца, солнечных и лунных затмений с высокой точностью на годы вперед. Наряду с астрономическими исследованиями Птолемей занимался астрологией, которой посвятил особый трактат, где оговаривал, что его астрономические выводы основаны на достоверности, астрологические – только на вероятности. Возможно, именно это основание следует брать для различения науки и паранауки (лженауки).

Фундированная математическим методом система Птолемея была столь продуктивна, что в 1475 году немецкий астроном и математик Региомонтан составил таблицы, названные им «Эфемериды» (от греч. ephemeridis – ежедневный). В них были вычислены положения Солнца, Луны и планет на 32 года вперед – с 1475 по 1506 г. Таблицы дополнялись методом определения долготы на море. Применяя несложные угломерные инструменты и справляясь с таблицами, можно было определять географические координаты судна. Первые глобальные путешествия: экспедиции Колумба и Америго Веспуччи в Америку, Васко да Гама в Индию, осуществлялись с помощью таблиц Региомонтана.

Космология Аристотеля-Птолемея была сконструирована столь основательно, что позволяла бесконечно совершенствовать феноменологическое описание движений в небесной сфере и на земле, не давая очевидного повода пересматривать существующую картину мира. Но в определенный момент рамки общепринятого мышления вдруг разрываются. Этот исторический феномен определяется как первая научная революция, которая имела свои сформировавшиеся предпосылки, а именно – качественно новые теоретические представления, ставшие научными сущностями.

9

Для математики Евклид разработал основу теории чисел, теории пределов и представления о бесконечно малых величинах.

10

Точнее сказать, веса, поскольку понятие «масса» будет введено только через два тысячелетия И. Ньютоном.

11

От лат. a priori – из предшествующего, априорное знание – то, которое предшествует опыту, а не следует из опыта, как знание апостериорное (от лат. a posteriori – из последующего).

12

Цит. по: Норден А.П. Об основаниях геометрии. М., ГИТТЛ, 1956. С. 61–62.

13

Деферент планеты – вспомогательная окружность, в центре которой находится Земля и по которой обращается не планета, а центр другой вспомогательной окружности – эпицикла, именно по которой движется планета. Для лучшего совпадения расчетных данных с астрономическими наблюдениями приходилось вводить не один, а несколько эпициклов для каждой планеты, где центр каждого последующего эпицикла движется по окружности предыдущего, а планета – по последнему из них. Эта модель имела чисто математический характер.