Читать книгу Querschnitte - Hans J. Unsoeld - Страница 10

Interpretation der Riemannschen Zahlenkugel

unter Einbeziehung von Fraktalen

Die Riemannsche Zahlenkugel bedeutet eine verbesserte Darstellung der komplexen Zahlenebene. Jedem Punkt dieser Ebene wird durch Projektion eindeutig ein Punkt auf der Kugeloberfläche zugeordnet, der als alternative Darstellung der entsprechenden komplexen Zahl dienen kann.

Auf ihr lassen sich wie in der komplexen Zahlenebene Schwingungsvorgänge darstellen, also etwa der jedem Radio- oder Fernsehsender zugrunde liegende Oszillator. Die üblichen Anwendungen der Riemannschen Zahlenkugel lassen sich am unteren Teil dieser Kugel darstellen. Entlang der x-Achse werden nach links und rechts zum Beispiel die Ladungen angegeben und entlang der y-Achse die Magnetstärke, wobei vorne und hinten dem Nord- bzw. Südpol entsprechen. Dem unteren Teil kann ein sogenannter Zahlenkörper zugeordnet werden, wobei Standardoperationen der Mengenlehre Anwendung finden.

Es sei an dieser Stelle bereits darauf aufmerksam gemacht, dass der nur einmal vorhandene Punkt 0 auffällig mit der Tatsache koinzidiert, dass es keinen magnetischen Monopol gibt. Hat dieser Tatbestand eine bedeutungsvolle mathematische Entsprechung?

Die übliche Erweiterung der Zahlenkugel auf ihren oberen Teil wird meist durch die Benennung des obersten Punktes mit der Bezeichnung ?, welche für „unendlich“ steht, durchgeführt. Diese ist mit ziemlicher Sicherheit dem theologischen Sprachgebrauch entlehnt und eigentlich kaum hinterfragt worden. Dem oberen Teil kann ebenso ein Zahlenkörper zugeordnet werden, und damit der gesamten Kugel. In den üblichen Anwendungen hat aber der untere Teil der Zahlenkugel eine gegenüber dem oberen Teil hervorgehobene und wichtigere Bedeutung.

Es wird nun folgende gegenüber der bisherigen abweichende Interpretation vorgenommen: Der oberste Punkt wird nicht als „unendlich“, sondern als „Kontinuum“ interpretiert. Der erste Punkt links von diesem Punkte auf der x-Achse stellt dann ein (z.B. Ladungs-) Loch im Kontinuum dar, - eine aus der Festkörpertheorie und auch in Flüssigkeiten und Gasen wohlbekannte Erscheinung. Der erste Punkt rechts vom Kontinuumspunkt stellt einen „freien“ Ladungsträger dar. Entsprechendes kann man auch auf der y-Achse für magnetische Erscheinungen postulieren.

Mit Löchern und „freien Teilchen“ kann man im Prinzip wie mit Ladungsträgern und Magneteinheiten operieren, nur mit dem entscheidenden Unterschied, dass als Bezugspunkt nicht die Null, sondern das Kontinuum dient. Doch wirklich nur „im Prinzip“; denn Löcher bzw. „freie Teilchen“ im Kontinuum bedeuten in Wirklichkeit natürlich Felder.

Damit kommen wir zu dem entscheidenden Schluss, dass entsprechend den de-Broglieschen Vorstellungen von der Gleichwertigkeit der Teilchen- und der Wellendarstellung die Darstellung auf der Riemannkugel auch völlig symmetrisch ist und es keine Bevorzugung der unteren oder oberen Hälfte gibt, außer dass diese oder jene in Spezialfällen geeigneter sein mag. Der untere Teil der Kugel stellt die Teilchenwelt dar, wogegen der obere Teil die Welleninterpretation liefern muss.

Die Maxwell'schen Gleichungen geben uns nun den entscheidenden Hinweis auf die zu verwendenden Operatoren mit, wobei der del-Operator angewandt auf ein Vektorfeld die Divergenz und rot angewandt auf den del-Operator die Rotation eines solchen Feldes bedeuten. Hiermit werden Feldschwingungen beschrieben.

Alle Werte auf der Riemannschen Kugel bezeichnen so Vektoren und Skalare treten nur in Sonderfällen auf, z.B. bei Beschränkung auf eine Achse. Von einem „Zahlenkörper“ kann man nur unter Vorbehalt sprechen.

Die damit aufzubauende fraktale Mathematik müsste sehr viel einfacher als bisher Felder darstellen und damit natürlich auch als Sonderfälle die populär allgemein als Fraktale bezeichneten zweidimensionalen farbigen computererzeugten Darstellungen sowie die fraktalen Darstellungen von Bildern, insbesondere beispielsweise Wolken und Gesichtern, mit relativ niedrigen Koeffizientenzahlen.

Im Prinzip würden dafür wie in den Maxwellschen Gleichungen Operatoren taugen, die Quellen und Rotationen darstellen. Die mit ihnen arbeitende Mathematik müsste so einfach wie die erste Schulmathematik sein, nur mit dem einzigen Unterschied, dass statt mit „Teilchen“ wie etwa Ladungen und Magneten mit Operatoren wie etwa Quellen und Kreiseln gearbeitet würde, und dass diesen nicht Anziehungskräfte, sondern Felder zugeordnet werden.

An dieser Stelle müssen wir wieder die Unterschiede zwischen traditionellem westlichen und östlichen Denken beachten. Das westliche Denken basiert auf der Teilchenvorstellung, wie sie bereits von Demokrit sehr früh hervorgebracht worden ist. Den Teilchenmengen werden Zahlen zugeordnet. Es lassen sich relativ einfach logische Operationen entwickeln, mit denen man praktisch arbeiten kann. Das sind zunächst die einfachen Rechenoperationen wie plus, minus, mal und geteilt, und sodann die bekannten logischen Verknüpfungen wie entweder-oder und sowohl-als-auch.

Das östliche Denken tendiert dazu, vom Kontinuum auszugehen und tat sich in seiner Frühphase deshalb schwerer damit, diese Operationen gedanklich zu entwickeln. Dadurch haben sich die östlichen Kulturen überhaupt schwerer mit der zunächst auf Mechanik fußenden technischen Entwicklung getan. Erst in jüngerer Zeit sehen wir, dass deren philosophische Basis völlig gleichwertig ist und bei anderen modernen Entwicklungen sogar spezielle Vorteile mit sich bringen kann.

Ist es nicht ein Charakteristikum der östlichen Kulturen, in Feldern zu denken? Dazu kommt die Bevorzugung des Denkens in Generationsbegriffen statt wie in westlichen Kulturen in Dimensionsbegriffen, auf die bereits im vorigen Kapitel (Außenseitergedanken zur Entstehung der Welt; 2005) verwiesen wurde. Der Zeitbegriff hängt eng mit den verwendeten Operatoren zusammen. Mit Teilchen kann man zunächst operieren, ohne auf die Zeit Bezug zu nehmen. Mit Operatoren wie Divergenz und Rotation ist das dagegen nicht möglich.

August 2007