Читать книгу Цифровое моделирование на C# - Дмитрий Павлов - Страница 15

Формулы, конвертирующие координаты точки из обычной системы координат в компьютерную, содержат минимальное и максимальное значения, которые достигает функция на отрезке. Для непрерывных функций эти величины обязательно существуют. Для разрывных функций это выполняется не всегда. По причине того, что минимум и максимум для разрывных функций могут не достигаться, использовать формулы, приведенные выше, нельзя.

Существует несколько типов разрывов функций. В данном разделе мы рассмотрим вариант построения графика разрывной функции с разрывом типа «скачок через бесконечность». Такой разрыв называется разрывом второго рода. Например, функция y=1/x на отрезке [-1, 1] как раз претерпевает такой разрыв в точке 0.

Чтобы научиться строить графики функций, имеющих разрыв, давайте попробуем понять поведение функции в окрестности точки разрыва. Как видно из рисунка ниже, при приближении к точке разрыва начинается быстрый рост приращения функции, при этом шаг по X остается фиксированным:

y₂ – y₁ <y₃ – y₂ <y₄ – y₃ <y₅ – y₄ и т. д.

Такое поведение функции указывает на то, что мы предположительно подошли к точке разрыва.

рис. 1.10

Необходимо вырезать из области определения точки разрыва вместе с некоторой окрестностью. После этого график функции распадается на две или более непрерывных кривых, заданных на участках, где точки разрыва отсутствуют. На каждом таком участке максимум и минимум будут достигнуты. Затем среди этих максимумов и минимумов нужно найти самое большое и самое маленькое значение и использовать их в качестве Ymax и Ymin, которые присутствуют в формуле для конвертации. Таким образом, мы снова сможем использовать формулы для конвертации точек из обычной системы в компьютерную.

Быстрый рост приращения функции в окрестности точки разрыва типа «скачок через бесконечность» является необходимым условием разрыва, но не достаточным. Можно привести пример функции, когда значение приращения будет сколь угодно велико, но тем не менее функция может оставаться непрерывной. Данный подход построения разрывного графика не является универсальным и подходит только для некоторых функций. Наиболее правильным было бы проанализировать аналитическое уравнение функции и найти, например, точки, где знаменатель обращается в ноль. Такие точки всегда являются точками разрыва, но не всегда относятся к типу «скачок через бесконечность».