Читать книгу Цифровое моделирование на C# - Дмитрий Павлов - Страница 18

В случае интерполяции набора точек многочленом мы получаем аналитическое выражение, с помощью которого можно получать значения в промежуточных точках, причем в самих исходных точках у нас будет полное совпадение. Иногда исходные значения меняются по некоторому линейному закону, но в силу погрешностей измерений и влияния других вероятностных факторов, они не лежат на одной прямой. Можно сказать, что данные линейны, но в них присутствует некоторый «шум». В этом случае нет смысла добиваться точного совпадения значений интерполяционной формулы и исходных данных. Гораздо важнее уловить сам линейный закон. Эту задачу решает линейный тренд. Не стремясь пройти через какую-либо исходную точку, линейный тренд стремится соответствовать самому закону, по которому эти точки получены.

Пусть имеется набор из N-точек (Xi, Yi), i=1..N. Будем искать интерполяционную формулу в виде y=a⋅x+b. При этом потребуем, чтобы сумма квадратов разностей между исходным значением и аппроксимированным была минимальна.

рис. 1.11

Имея набор исходных точек, нам нужно найти неизвестные коэффициенты a и b. Запишем условие о минимальности суммы квадратов между исходными значениями и аппроксимированными в виде:

Получение a и b незатруднительно само по себе, но требует некоторых знаний из дифференциального исчисления. Опуская некоторые выкладки, можно показать, что a и b являются решениями следующей системы линейных уравнений:

где

Данный метод построения линейного тренда по заданному набору точек носит название метода наименьших квадратов. Этот метод можно использовать не только для того, чтобы вычислять значение в промежуточных точках (задача интерполяции), но и за пределами минимального и максимального значений по X (задача экстраполяции). Метод наименьших квадратов позволяет предсказывать новое значение y по x, имея исходный набор точек. Этот метод также лежит в основе линейных моделей машинного обучения.